贵州松桃民族中学2025-2026学年第二学期期中素养训练高二数学

2025-2026学年度第二学期期中素养训练 高二数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每个小题给出的四个选项中，只有一 个选项正确，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知复数==i(1+i),则三的虚部为() A.1 B.-1 C.i D.-i 2.已知'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x2-x,则f'(2)=() A.-4 B.-3 C.3 D.4 3.已知数列{an}是等差数列，a+a4=8,a,-2n2=5,则S1o=() A.60 B.40 C.80 D.90 4.从松桃民族中学高二年级的20个班中选出两个班分别参加3月12日早上和下午的植树节 活动，共有多少种不同的选法？() A.420种 B.380种 C.190种 D.400种 5.点M在抛物线C:y2=2px(p>0)上，F为C的焦点，MF⊥x轴，过M且与x轴平行的直 线与C的准线交于点N,△MWF的面积2，则P=() A.1 B.2 C.3 D.4 6.等比数列{an}中，a1+3a=7,a2a4=2a3,则a=() A.4 B.5 C.6 D.7 7.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员， 3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员，若从这10人中随机选取4人进行技术分析， 则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况数为() A.222 B.175 C.55 D.145 8.在探究(a+b)的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律.我 国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三 角，如下左图所示： 试卷第1页，共4页 第0行 第0行 0 第1行 第1行 0 1 第2行 1 第2行 0 2 2 第3行 3 第3行 0 3 6 3 第4行 6 第4行 0 412124 第5行 1010 1 第5行 52030205 第6行1 6 152015 6 第6行0 6306060306 杨辉三角第6行的7个数依次为C。,C。,C?.C。,C。.现将杨辉三角中第n(n≥1，n∈N)行 的第r(1≤r≤n+1,r∈Nn∈N)个数乘以(-1)，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵 如上右图：在这个新的三角数阵中，第n(n∈N)行的所有数的和为() A.n:2 B.n.2- C.(n-1).2 D.(n-1D.2 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.关于(x-1)的展开式，下列结论正确的是() A.展开式中共有9项 B.第3项为28x C.各项系数的和为256 D.二项式系数的最大值为70 10.已知直线：x-y+3k+2=0,圆C的方程为x2+y2-2x+2y-2=0,则下列表述正确的 是() A.当实数飞变化时，直线1恒过定点(-2,3) B.当直线1与直线x-2y-1=0平行时，则两条直线的距离为 5 C.当k=-3时，圆C关于直线对称 4 D.当=2时，直线l与圆C没有公共点 11.已知函数f(x)=x3+6x2+6(m∈R),则下列说法正确的是() A.若x=0为f(x)的极小值点，则m的取值范围为(0，+o) B.不存在m,使得f(x)在(0，+o)上有且仅有一个零点 C.当m=1时，过点(0,0)存在两条直线与曲线y=f(x)相切 D.存在m,使得f八2026 2 +f( )+f 2026 +7 分)=4051 2026 试卷第2页，共4页 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。 12.已知n=(m,2,1)是平面a的一个法向量，直线1的一个方向向量为v=(4,-5,2),且111， 则m= 13.在(1-x)+(1-x)的展开式中，含x2的项的系数是 e(2x-1),x>0 14.已知函数f(x) g(x)=f(x)+f(-x),若y=g(x)恰有4个零点，则实数k (x+1),x<0, 的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15(13分).若f)=-x,xR,求： 3 (1)f(x)的单调递减区间： (2)f(x)在[0,2]上的最小值和最大值、极值. 16(15分）.己知(1-2x)°=a+a,x+a,x2++aox0. (1)求a2的值： (2)求a+a+…+a1o的值； 3)求a+2++ad的值. 17(15分).在图(1)五边形ABCDE中，△ADE是等边三角形，AB/DC,AD⊥DC,CD=2AB= 2AD=4,将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如图(2)所示的四棱锥S-ABCD,点F 为SC的中点. D A 图(1) 图(2) (1)证明：BF∥平面SAD; (2)当CD⊥SD时，求平面BCF与平面BDF夹角的余弦值 试卷第3页，共4页 18(17分).已知函数f(x)=e+ax2-x(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)若f(x)在R上单调递增，求a的值； (3)若f(x)存在极小值点x。且f(x。)<-1,求x。的取值范围. 19(17分).椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线 过椭圆的另一个焦点.已知椭圆2：号+二=1(a>b>0)的左顶点为A(2,0）,点月在2上， a2b2 且在x轴的上方，从E的左焦点F(-1,0)发出的光线EB,经过E反射后，交E于点2.按照 如下方式依次构造点Pn和2.(n=2,3,…):光线P9,经过E反射后，交E于点P1;光线P+2 经过E反射后，交E于点O+H (1)求E的方程： (2)设直线APn的斜率为k,求证：数列{k}是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线2恒过定点，并求出该定的坐标 试卷第4页，共4页2026年4月高二年级期中数学参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 0 B B 9 D B ABD ACD 题号 11 答案 AD 12.2 13.16 ,+00 15.(1)-1,1 ②纠在0，到上的最小值为子最大值为子，极小值为号 【详解】(1)(6分)对函数求导得'(x)=x2-1=(x+1)(x-1), 3分 当-1<X<1时，f'(x<0;… 4分 当x>1或X<-1时，f'(x>0;5分 所以∫x)的单调递减区间为-l,1.6分 (2)(7分)由(1)可知，当-1<x<1时，f'(x<0; 当x>1或x<-1时，f'(x)>0; 7分 因为xe[0,2],所以当0≤x<1时，f'(x<0; 当1<x≤2时，f'x>0;… 9分 所以f(x)在[0,1上单调递减，在[1,2上单调递增，所以当x=1时，(x)取得极小值 f刊=-子，无极大僧 又f0=02-=号f0=}1=号 3 12分 所以f纠在0,2上的线小值为子，最大值为号 13分 16.(1)180 (2)1 (3)59048 答案第1页，共2页 【详解】(1)(5分)展开式通项为T1=C。·10-(-2x)=C。(-2)x(0≤k≤10，keN), 令k=2,可得a2=C。(-2)=45×4=180 5分 (2)(4分)令x=1,则a+a+…+a。=(-1)°=1 9分 (3)(6分)解法一：设f(x=(1-2x)°=a+a,x+a,x2+…+aox0, 展开式通项为T+1=C。(-2)x(0≤k≤10，k∈N),则a=C。(-2)(0≤k≤10，k∈N), 当k为偶数时，a>0;当k为奇数时，a<0. 12分 所以，a1+la2+…+ao=-a1+a2-…+a10=(a0-a1+a2-…+a10）-a0 =f(-1-f(0）=310-1=59048;15分 解法二：(1-2x的展开式通项为T1=C。(-2)x*(0≤k≤10，k∈N), 则a%=C。(-2）(0≤k≤10，k∈N),11分 设g(x=(1+2x0=b。+bx+b2x2+…+box0, (1+2x)°的展开式通项为A1=C。10-(2x)=C。·2x(0≤k≤10，k∈N), 则la=C(-2)=Co2*=b(0≤k≤10，k∈N), 13分 所以，a,+a,+…+ao=b+b,+…+bho=(b+b,+b,+…+bo-b, =g1）-g0）=30-1=59048.15分 17.(1)证明见解析 o 【详解】(1)(7分)证明：取SD中点G,连接AG,FG,如下图所示： F为sC的点.G/Dc,FG-CD=2,2分 D B 又：AB11DC,AB=2,FG/1AB,FG=AB,四边形ABFG为平行四边形，4分 :.BFI/AG,又BF4平面SAD,AGc平面SAD, 答案第1页，共2页 BF1/平面SAD. 7分 (2)(8分)当CD⊥SD时，：AD⊥DC,AD∩DC=D,AD,DCc平面SAD, .CD⊥平面SAD,又：CD平面ABCD, :平面ABCD⊥平面SAD, 以D为原点，DA,DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z 轴， 8分 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), 812.20.ca40,s0间.r29 9分 设m=(x,y,)是平面BCF的一个法向量， m⊥BC -2x+2y=0, 则 3 m⊥BF, 3 25+23=0, 令2=5，则x=y=1m=(11,5, 11分 设元=(x,y2,22)是平面BDF的一个法向量， n⊥DB, 2x2+2y2=0, 则 n⊥BF, 3 2+23=0, 令名，=5，则x=,h=-山i=山，-lW5),l3分 om成=mi m5 因此平面BCF与平面BDF夹角的余弦值为cos(m,)= .15分 5 18.(1)y=(e+1x-1 ②片 (3)(2,+0 【详解】(1)(4分)当a=1时，f(x)=e+x2-x,f(x=e+2x-1.2分 答案第1页，共2页 f（1）=e,f'(1=e+l,. .3分 :曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1), 即y=(e+1x-1 .4分 (2)(6分)设g(x=f'(x=e+2ax-1,则g(x)=e+2a… 5分 ①a≥0时，g'x)>0,gx)在R上单调递增 当x<0时，gx)<g0)=0,f(x单调递减； 当x>0时，gx>g0)=0,∫x单调递增，不符合题意7分 ②a<0时，令g'(x=0,得x=ln(-2a, 当x∈-o,ln(-2a)时，g'(x<0;当x∈(n(-2a,+oo)时，g'(x>0: gx)在(-oo,ln(-2a)上单调递减，在(n(-2a),+o上单调递增， 故g(x)mn=g(ln(-2a）=-2a+2aln(-2a-1. 设p(x=x-xlnx-1,则p'(x)=-lnx, 当x∈(0，)时，p'(x>0,此时px单调递增， 当x∈(1，+o)时，p'(x)<0,此时px单调递减，则p(x)max=p1)=0…9分 :当且仅当-2a=1时，年a=号时，8到=了八20，f(纠在R上单调递塔， 1 综上，a=-2 10分 (3)(7分)由(2)知，当a≥0时，f(x存在极小值点x=0且f(x)=1,不符合题意 当a=时，八在R上单调递婚，八四不存在极小值点，不符合题意 当a<0且a≠-2时，g(x)am<0, 又当x→+0时，gx→+0；当x→-0时，g(x→+0. 当a号0j时，此时a-2ak0,且8=8a(-al<0. 结合(2)中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点x,x2使得g(x)=0, 答案第1页，共2页 且x,e-o,ln-2a月，x2eln-2a,+o）, 又因为g(x)=0,g(0)=0,则x。=x,x2=0, 当xe-o,x)时，f'(x=gx>0,当x∈(x,ln(-2a)时，f'(x=gx)<0, 则此时x为极大值点，显然不合题意，舍去， .15分 当ae（,}时，此时a-2a>0,且gn=8a-20l<0, 结合(2)中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点x,x4使得g(x)=0, 且x;e-o,ln-2a)月，x4e(ln(-2a,+oo）, 结合g(x)=0,g(0)=0,则x=0,x4=x, 16分 当xe-o,0)时，f'(x=gx>0,当xe(0,ln-2a)时，f'(x=gx<0, 当x∈(n(-2a)xo)时，f'(x=g(x)<0,当xe(x,+o)时，f'(x=gx)>0, :0为极大值点，x为极小值点，符合题意， 而fx）=e+ax-x; 又8()=0e5+2a-1=0,a=1e 2x0 f=e+2eg--2-e- 2x0 2 令fx<-1,得x-2)e+x。-2>0, 当x-2>0时，原式化简得e+1>0,显然恒成立，则x>2. 当x-2=0时，原式化简得0>0，显然不成立，无解， 当x。-2<0时，原式化简得e+1<0,显然不成立，无解， 综上，的取值范围是(2，+0）17分 19.0￥+-1 43 (2)数列k}是等比数列，公比为9 答案第1页，共2页 ⑧宜线隐相过定点（号0 【详解】(1)(3分)由题意得a=2,c=1,.b2=3, 1分 故E的方程为 4+3 =13分 (2)(7分)设P(x,乃，Q(x2,y2),直线P的方程为x=少+m,…4分 x=ty+m 由兰+=1消去x,整理得(3+4到y2+6my+3m-12=0,5分 43 -6tm 3m2-12 △>0，y+少=3+44= 6分 312+4 直线AP,AQ的斜率之积为 kk=片h yiy2 yiy2 x+2x+2(+m+2(,+m+22y5+(m+2(以+2)+(m+2 3m2-12 3(m-2) t2(3m2-12）-6r2mm+2+3r2+4(m+224(m+2' 7分 设直线AQn的斜率为sn,依题意可知k,sn均存在且不为零， 31-2)1 由P2经过E的右焦点B1,0,知，线-41+2一4①8分 3(-1-2）9 由P0,经过E的左焦点F-1,0),知k,=4-1+2-4 ②，9分 9。故数列k是等比数列，公比为9 (3)(7分)直线P2的方程为x=y+m,由(2)知 -6-% 4m+2) ,3(m-2)1 故4m+2)36’解得m=213 287 15分 13 故直线2恒过定点 ,0 .17分 7 答案第1页，共2页 P P2 F2 F 合 ⑨t 9 答案第1页，共2页