5.2.2 导数的四则运算法则 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.2 导数的四则运算法则 【学习目标】 1. 理解导数的和、差、积、商运算法则的推导过程. 1. 能熟练运用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求函数的导数. 1. 会利用导数运算法则解决切线方程、瞬时变化率等实际问题. 1. 体会将复杂函数转化为简单函数求导的转化思想. 【学习重点】 1. 导数的和、差、积、商运算法则. 2. 运用法则求函数的导数. 【学习难点】 1. 积法则和商法则的记忆与应用. 2. 对函数式进行适当变形后再求导. 学习任务一 导数的和、差法则 【合作探究】 1. 设 ，，计算 以及 ，两者是否相等？再尝试 与 ，你有什么猜想？ 1. 根据你的猜想，尝试写出两个函数和（差）的导数法则（用文字语言和符号语言）. 1. 已知 ，如何求 ？请尝试求解. 【自主梳理】 导数的运算法则 1（和差法则）： · 文字语言：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）. · 符号语言：. 学习任务二 导数的积、商法则 【合作探究】 1. 设 ，，计算 与 ，它们相等吗？你认为积的导数应该怎样计算？ 1. 猜想并验证： 与 的关系. 1. 类比积的法则，猜测商的导数法则：（其中 ）. 1. 特例：设 为常数，求 .你能从积的法则推导出常数与函数乘积的导数公式吗？ 【自主梳理】 导数的运算法则 2（积法则）： 1. 文字语言：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数. 2. 符号语言：. 导数的运算法则 3（商法则）： 1. 文字语言：两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方. 2. 符号语言：，其中 . 常数与函数的积的导数： · （ 为常数）. 学习任务三 法则的综合应用 【合作探究】 1. 求下列函数的导数： (1) (2) (3) 1. 已知某商品价格 （ 为年数），求 ，并解释其实际意义（价格上涨的速度）. 1. 试比较用导数定义和用四则运算法则求 的导数，哪种更简便？ 【自主梳理】 利用四则运算法则求导的策略： 1. 分析函数结构，确定使用哪种法则（和、差、积、商）. 1. 若函数较复杂，可先进行代数变形（如展开、化简、分离常数等）再求导. 1. 尽可能将积、商转化为和、差，简化运算. 【自查自纠】（正误判断） 1. 恒成立. （ ） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. 求导前若能将函数化简，往往能简化计算. （ ） 【典例分析】 例1：求下列函数的导数： · (1) · (2) · (3) 解： 例2：已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程. 解： 【习题巩固】 1. 若 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的导数是（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 已知 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若函数 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）设 ，求曲线在点 处的切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $