5.2.3 简单复合函数的导数-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

067 随堂检测 重反馈 1.设f(x)=ax-b,若f'(-1)=4,则a= A.-2 B.-1 C.0 D.4 2.函数y=x2sinx的导数为 A.y'=2x+cos x B.y'=xcosx C.y'=2xcos x D.y'=2xsin x+xcos x 3函数)-的导数是 A./(x)=+6x (x+3)2 B.f'(x)=+6x x+3 C.f'(x)=,-2x (x+3)2 D.f'(x)=3r2+6x (x+3)2 4.若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 5.2.3简单复合函数的导数 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解复合函数的概念 数学抽象 2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数. 数学运算、数学抽象 教材梳理明要点 ●情境导入 函数y=ln(2x-1)不是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运 [提示] 可利用复合函数的求 算所得到的初等函数，无法利用初等函数的求导法则和公式求导.而y= 导法则进行求导 血(2x-1)可以看成是由y=nu和u=2x-1x>2)经过“复合"得到的， [知识点反思] (1)在复合函数中， 许多函数都可以看成是两个初等函数“复合”而成的，这样的函数如何求导 为了叙述明确，常把 函数y=f(u)称为外 呢？ [提示] 层函数，把u=g(x) 称为内层函数，内层 e新知初探 函数和外层函数通常 为基本初等函数； 知识点复合函数 (2)求复合函数的导数 1.概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y应处理好以下环节： 可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 ①中间变量的选择应 以拆分为两个基本初 函数，记作y= 等函数为准； 2.求导法则：一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=@求导由外向内，并保 持对外层函数求导时， f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'.= 内层不变的原则； 即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘③求每层函数的导数 时，注意分清是对哪 积 >[知识点反思] 个变量求导. 068 目预习自测 1.(多选)下列哪些函数是复合函数 () A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=esin 1 2设x)=os2-3x,则f牙) A.-5 B.-3 C.-4 3.曲线f(x)=e2x+3在点(1f1)处的切线的斜率是 题型探究提技能 题型一复合函数概念的理解 例1判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： (1)y=log2(2x+1); （2y-2- [方法总结1] 判断复合函数的复合 (3)y=2m*; 关系的一般方法 从外向里分析，最外 (4)y=ms3x-石月 [方法总结1] 层的主体函数结构是 以基本初等函数为主 体形式，各层的中间 变量结构也是基本初 等函数关系。这样一 层一层分析，最里层 应是关于自变量x的 基本初等函数 》跟踪训练1 函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(p(x),下列式子正确的是 ( A.p(x）=2x B.p(x）=sinx C.p(x）=2x-1 D.(x)=sin(2x-1) 069 题型二求复合函数的导数 例2求下列函数的导数： (1)y=(4-3x); [方法总结2] (2y=ms2x-年： 求复合函数的导数的 (3)y=ln(4x-1); 步骤 (4)y=e P[方法总结2] 分层 选择中间变量，写出 构成它的内、外层函数 分别求导 分别求各层函数对相 应变量的导数 相乘 把上述求导的结果 相乘 变量回代 把中间变量回代 )》跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y=(2x-1)4; (2)y=102r+3 (3)y=e·sin2x; (4)y=n(3x) 070 题型三复合函数的导数的综合应用 [方法总结3] 例3.(1)曲线y=(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 (1)利用导数的几何 ( 意义可以将曲线上的 A.5 B.25 C.35 D.0 点、到定直线距离的最 小值问题转化为切点 (2)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)= 到直线的距离； 3in行+石(0≤≤24)，其中：的单位是m,4的单位是h,求 (2)将复合函数的求 函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义. 导与问题中的实际意 [方法总结3] 义结合，函数在某点 处的导数反映了函数 》跟踪训练3 在该点、的瞬时变化 (1)质点M按规律s(t)=(2t+1)2做直线运动（位移单位：m,时间单位： 奉，体现导数揭示物 s),则质点M在t=2时的瞬时速度为 m/s 体在某时刻的变化状 (2)设函数f代x)=cos(√3x+p)(0<p<T),若f(x)+f'(x)是奇函数，则p 况 随堂检测 重反馈 1.(多选)下列函数是复合函数的是 A.y=-1 +1 By=casx+军到 C.y=In x 1 D.y=(2x+3)4 2.函数y=x(1-ax)2(a>0),且y'1x=2=5,则a= A.1 B.2 C.3 D.4 3曲线y=in在点A石，4} 处的切线的斜率是 4,已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18]题型探究提技能 例1：【解析】(1)y'=(x3)'-(x3)'+(cosx)'=5x4-3x2- sin x. (2)方法-：y=[(2x2-1)(3x+1)]'=(2x2-1)'(3x+1)+ (2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二：因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)′+(22)'-(3x)'-(1) =18x2+4x-3. 3r-(）'-e-=-E.-业 x x2 (4)y'=(x2+xnx)'=(x2)'+(xlnx) =2x+(x)'Inx+x(Inx)' =2+h+士 =2x+nx+1. 跟踪训练1： 【解析】(1)y=(x2)'e*+x2(e)'=(3x2+x)e. (2)因为y=x2+sinx Cos x 所以=(+（德 =2x+cosx-sin (-sin x)=x+ cos'x cos?x (3)y=e)'(x+1)-(x+1)'e (x+1)2 =e(x+1)-e (x+1)2 xe* (x+1)7 例2：(1)0(2)2 【解析】（1)因为)=+∫（号）-，所以f()=3x +2r(号)-1，所以∫（号）=3×（号）厂+2r(号)× 子-1，则f(号）=-1.所以f'(x)=3-2x-1,故fP(1) =0 (2)由题可得f"(x)=sinx+xcos'(受）=1.曲线f(x) =xsin在x=罗处的切线的斜率为1.：曲线fx)=xsin在 x=受处的切线与直线r+2y+1=0互相垂直，且直线x+ 2y+1=0的斜率为-分(-号）×1=-1，解得a=2 跟踪训练2：(1)D(2)B 【解折】（1r()=3(2)-2f2)=3(2)-1,解得 f(2)=7)=号-2h0= 15 (2)对函数求导得f'(x)=e(cosx-simx),f'(0)=1,∴.函 数f(x)=e'cosx的图象在点(0，f(0)）处的切线的倾斜角 为平 随堂检测重反馈 1.Df'(x)=a,f'(-1)=a=4,.a=4,故选D. 2.Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx）'=2 xsin x+ xcos x. 3.A f'()=(）广'=位t2+3 （x+3)2 2x(x+3)-8=+6 (x+3)2(x+3)2 4.2曲线y=x3+ax的切线斜率k=y'=3x2+a,又曲线在坐标 原点处的切线方程为2x-y=0,所以3×02+a=2,故a=2. 5.2.3简单复合函数的导数 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.fg(x)) 2.y'.·u'.y对uu对x 预习自测 1.BCDA不是复合函数；B、C、D都是复合函数 2.Bf'(x)=-2sin2x-3f(受)=-2sinm-3=-3. 3.-2e(x)=-2e2r+3,f(1)=-2e,即k=-2e. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)y=log2(2x+1)是复合函数，可以看作是由 y=log2u和u=2x+1“复合”而成的函数. (2)y=2x2-↓不是复合函数 (3)y=2是复合函数，可以看作是由y=2和u=lnx“复 合”而成的函数 (4y=cas(3x-石）是复合函数，可以看作是由y=0msu和 u=3-君复合”而成的函数 跟踪训练1：Cy=sin(2x-1)是由函数y=sinu和u=2x-1 复合而成，可见p(x)=2x-1. 例2：【解析】(1)设y=u2,u=4-3x,则y.'=2u,u'=-3, 于是y'=y.'·4'=2(4-3x)·（-3)=18x-24,即y'=18x -24. (2)设y=c0s,u=2x-平，则X'=-si,4'=2, 于是y,'=y.'·4'=-2sim(2x-平）， 即y=-2sin(2x-平） (3)设y=lnu,u=4x-1,即y'=,u,'=4, 4 4 于是y'='·4'=4x-即y=4x- (4)设y=e“,u=x2,则y'=e“,w,'=2x, 于是yx'=y'·u.'=e2.2x,即y'=2ae2 跟踪训练2：【解析】(1)设y=u,u=2x-1, 则yx'=y'u,'=(u)'(2x-1)'=4u3.2=8(2x-1)3. (2)设y=10,u=2x+3, 则y'=y'u'=(10)'(2x+3)” =101n10×2=2n10.102+3. (3)y.'=(e-)'sin2.x+e·(sin2x)' =-e-*sin 2x +2e*cos 2x. (4)y'=[n(3x)'·e-n(3x)·(e (e*)2 ·e-n3)·eh3 (e)3 例3：(1)A（2)见解析 【解析】(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x,y%)处的切线与 2 2 直线2x-y+3=0平行.y=2x-心10=20-=2， 解得x=1,∴yo=n(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).∴.切点 1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=2-0+31=5,即 √4+1 曲线y=n(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离 是5 （2)设)=3nx,=p()=没+爱 所以()=f"(x)e'()=3(os)·晋-平ms(晋+ )· 将1=18代入0)，得18)=平s=5（. 3 s'(18)表示当t=18h时，潮水的高度上升的速度为牙m/h 跟踪训练3：(1)20(2)石 【解析】(1)s(t)=(2t+1)2,∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+ 4,则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s). (2)f'(x)=-√5sin(5x+p),.fx)+f'(x)=cos(5x+ p)-5sin(5x+p),令g(x)=cos(5x+p）-√5sin(3x+ p),:其为奇函数，g(0)=0,即cosp-5 sin=0,.tanp =得，又0<p<e=吾 随堂检测重反馈 L.BCDA不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B由y= cos,u=x+平复合而成：C由y=,u=nx复合而成；D由 y=u,u=2x+3复合而成. 2.Ay'=(1-ax)2-2ax(1-ax)=3a2x2-4ax+1,则y'lx=2= 12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1(舍负). 3.(sin)'=2sin (sin)'=2sin xcossi y1学=血号夏商线在点A(名 1 3 ）处的切线的 斜率为 4.2设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)切于点(xo,yo),则yo =引+%=h(6+w),又曲线的导数为y=十a心yl, 1=l,即+a=1.又%=n(0+a)小%=0，= xo +a -1,.a=2. 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 单调递增单调递减 知识点二 范围陡峭较慢平缓 预习自测 1.D易知f'(x)=-sinx-1,xe(0,π)，∴f'(x)<0,则f(x) =cosx-x在(0，T)上单调递减 2.Af'(x)=元 -1,令f'(x)>0,又x>0,0<x<1,则fx) 的单调递增区间是(0,1). 3.(-1,2),(4,+∞)由题图可知，在区间(-1,2)，(4，+∞) 上f'(x)>0;在区间(-∞，-1)，(2,4)上f'(x)<0.由导函 数的正负与函数单调性的关系可得，函数f(x)的单调递增区 间是(-1,2)，(4，+0). 题型探究提技能 1 例1：【解析】（1)因为代x)=3-+2x-5, 所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, 所以函数)=了-+2-5在R上单调递增 (2)图为)=x--n,e(0,+0）: 所以f(x)=1+文 11 2 1 3 x2-x+1 x-2 *470, 所以f(x)=x- 上-lnx在(0，+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=x-e",x∈(0，+∞)， 所以f'(x)=1-e<0, 所以f代x)=x-e在(0，+o)上单调递减. 0