5.2.2 导数的四则运算法则-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

064 随堂检测重反馈 1.已知f(x)=√x,则f'(16)= A.-s C.-4 D.4 2.（多选)已知曲线y=x在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标可以为 A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) 3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本，设生产x个单位产品的总成本函 数是C(x)=x,则生产4个单位产品时，边际成本是 () A.3 B.4 C.8 D.16 4曲线y在点M3,兮)处的切线方程是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16] 5.2.2导数的四则运算法则 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 数学运算 2.会用导数的四则运算法则求简单函数的导数 数学运算、数学建模 教材梳理 明要点 ⊙情境导入 [提示] 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的 可利用导数的四则运 函数.利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，而 算法则进行简化 计算. 常见的初等函数的导数能否借助基本初等函数的求导公式简化计算呢？ [知识点反思] P[提示] (1)导数的加法与减 白新知初探 法法则，可由两个可 导函数推广到任意有 知识点导数的四则运算法则 限个可导函数即 ((x)±万(x)±… 1.[f(x)±g(x)]'= 圹n(x)'=f'(x)± 2.[fx)g(x)]'= f2'(x)±…圹n'(x). 3. fx)1' (2)注意 R) 8(x)s g(x). I(x) g'(x)1 4.[gf(x)]'= ●[知识点反思] 065 ©预习自测 1.函数y=x4+sinx的导数为 A.y'=4x3 B.y'=cosx C.y'=4x3+sin x D.y'=4x3+cos x 2.已知f(x)=xsinx,则f'(x)= 3若fx)=x,则f(x)= e 题型探究提技能 题型一 利用运算法则求函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y=x-x2+c0sx; [方法总结1] (2)y=(2x2-1)(3x+1): 利用导数的四则运算 法则求函数导数的 (3) 策略 (4)y=x2+xIn x. ●[方法总结1] (1)分析待求导式子 符合哪种求导法则， 每一部分式子是由哪 种基本初等函数组合 成的，确定所需的求 导法则和基本公式， (2)如果求导式子比 较复杂，则需要对式 子先变形再求导，常 用的变形有乘积式展 开变为和式求导，商 式变乘积式求导，三 角函数恒等变换后求 导等； (3)利用导数运算法 则求导的原则是尽可 能化为和、差，尽量 少用积、商的求导法 则求导 066 》跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y=x3e; (2)y=x2+tan x; (3y=47 [方法总结2] 含∫'(c)函数的求导 题型二四则运算法则的综合应用 问题的解决策略 含∫'(c)函数在求导 例2(1)设函数)的导数为f(),且)=+f(号2-x,则() 时一定要抓住∫'(c) 为常数这一特点，也 就是说，不管应用 (2)若曲线/八x)=xsin在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相 加、减、乘、除哪一 垂直，则实数a= ●[方法总结2] 法则，求导时，把 ∫'(c)一律充当常系数 》跟踪训练2 处理 (1)记函数f八x)的导函数为f'(x),且f八x)=3f'(2)-2lnx,则f(1)等于 ( A.1 B.2 (2)函数f代x)=e'cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( A.0 B. C.1 D 067 随堂检测 重反馈 1.设f(x)=ax-b,若f'(-1)=4,则a= A.-2 B.-1 C.0 D.4 2.函数y=x2sinx的导数为 A.y'=2x+cos x B.y'=xcosx C.y'=2xcos x D.y'=2xsin x+xcos x 3函数)-的导数是 A./(x)=+6x (x+3)2 B.f'(x)=+6x x+3 C.f'(x)=,-2x (x+3)2 D.f'(x)=3r2+6x (x+3)2 4.若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17] 5.2.3简单复合函数的导数 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解复合函数的概念 数学抽象 2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数. 数学运算、数学抽象 教材梳理明要点 ●情境导入 函数y=ln(2x-1)不是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运 [提示] 可利用复合函数的求 算所得到的初等函数，无法利用初等函数的求导法则和公式求导.而y= 导法则进行求导 血(2x-1)可以看成是由y=nu和u=2x-1x>2)经过“复合"得到的， [知识点反思] (1)在复合函数中， 许多函数都可以看成是两个初等函数“复合”而成的，这样的函数如何求导 为了叙述明确，常把 函数y=f(u)称为外 呢？ [提示] 层函数，把u=g(x) 称为内层函数，内层 e新知初探 函数和外层函数通常 为基本初等函数； 知识点复合函数 (2)求复合函数的导数 1.概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y应处理好以下环节： 可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 ①中间变量的选择应 以拆分为两个基本初 函数，记作y= 等函数为准； 2.求导法则：一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=@求导由外向内，并保 持对外层函数求导时， f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'.= 内层不变的原则； 即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘③求每层函数的导数 时，注意分清是对哪 积 >[知识点反思] 个变量求导.4=1,即%=-2x(）+1=切点坐标 为(4) 5.2导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 012x3x2 1 2 知识点二 0a“-1 -sin x a'ln a e 11 xln a x 预习自测 1.CD由导数的运算公式可知，由y=ln2,则y'=0,所以A错 1 误：由y=（2),则y=-（ 1 ln2,所以B错误；其他选 项均正确 1 题型探究 提技能 例1：l解析】1)y=(5)n5=-(兮)n5 (2)y'=n10 (3)因为y==，所以y=()y==弓 （4)因为y=2o分-1=，所以y=(eos)=-n上 跟踪训练1：【解析】(1)因为y=ln2023是常数， 所以y'=(1n2023)'=0. (2)因为y=4,所以y'=41n4. (3)因为y==x, 所以y=(x)=分=2 2xJ (4)因为y=cos(牙-x）=simx,所以y=c0sx 例2：【解析】因为点(3,2)不在曲线y=(上， 所以设过(3,2)与曲线y=:相切的直线在曲线的切点为 (x0,%),则0= 因为y=,所以y=()=分1， 2/x 所以根据导数的几何意义， 曲线在点(0%)处的切线斜率k=、1 2 思为晚对点62.所听名左 即2压=，1，整理得()2-4瓜+3=0， 3-x02 解得=1或x=9,所以切点坐标为(1,1)或(9,3). 15 ①当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k=2, 所以切线方程为y-2=之(x-3),即x-2y+1=0, ②当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k=6, 所以切线方程为y-2=石(x-3),即x-6y+9=0, 综上可知：曲线y=√x过点(3,2)的切线方程为x-2y+1=0 或x-6y+9=0. 跟踪训练2：【解析】设切点为(xo,少)： 因为y'=3ln3,所以k=30ln3, 所以切线方程为y=3oh3·x. 又因为切点(，)既在切线上又在曲线y=3”上， 所以3oln3·=3*0, 1 所以=n3lgc,所以k=dn3. 例3：【解析】由题意得p'(t)=1.1n1.1, 所以p'(5)=1.151n1.1=1.611×0.095≈0.15（万元/年）， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万 元/年. 跟踪训练3：【解析】由g=cost得，g'=-sint, 所以g'(5)=-sin5,g'(7)=-sin7, 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是-sin5安，-sin7安. 随堂检测重反馈 18f右f62 1 2168 2.BCy=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1，则P点坐 标为(-1，-1)或(1,1). 3.AC()=3),C(4)=32=3.故选A 2 2 4x+9y-6=0=-子在点M(3,})处的斜率k 号在点(3，号)处的切线方程为y-了=-号(x-3). 即x+9y-6=0. 5.2.2导数的四则运算法则 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.f'(x)±g'(x) 2.f'(x)g(x)+fx)g'(x) 3.f'(x)x)=(g(x)≠0) [g(x)]2 4.cf'(x) 预习自测 1.D 2.sin x+xcos x 3.1f'()=e=e=1=x (e)2 er 题型探究提技能 例1：【解析】(1)y'=(x3)'-(x3)'+(cosx)'=5x4-3x2- sin x. (2)方法-：y=[(2x2-1)(3x+1)]'=(2x2-1)'(3x+1)+ (2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二：因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)′+(22)'-(3x)'-(1) =18x2+4x-3. 3r-(）'-e-=-E.-业 x x2 (4)y'=(x2+xnx)'=(x2)'+(xlnx) =2x+(x)'Inx+x(Inx)' =2+h+士 =2x+nx+1. 跟踪训练1： 【解析】(1)y=(x2)'e*+x2(e)'=(3x2+x)e. (2)因为y=x2+sinx Cos x 所以=(+（德 =2x+cosx-sin (-sin x)=x+ cos'x cos?x (3)y=e)'(x+1)-(x+1)'e (x+1)2 =e(x+1)-e (x+1)2 xe* (x+1)7 例2：(1)0(2)2 【解析】（1)因为)=+∫（号）-，所以f()=3x +2r(号)-1，所以∫（号）=3×（号）厂+2r(号)× 子-1，则f(号）=-1.所以f'(x)=3-2x-1,故fP(1) =0 (2)由题可得f"(x)=sinx+xcos'(受）=1.曲线f(x) =xsin在x=罗处的切线的斜率为1.：曲线fx)=xsin在 x=受处的切线与直线r+2y+1=0互相垂直，且直线x+ 2y+1=0的斜率为-分(-号）×1=-1，解得a=2 跟踪训练2：(1)D(2)B 【解折】（1r()=3(2)-2f2)=3(2)-1,解得 f(2)=7)=号-2h0= 15 (2)对函数求导得f'(x)=e(cosx-simx),f'(0)=1,∴.函 数f(x)=e'cosx的图象在点(0，f(0)）处的切线的倾斜角 为平 随堂检测重反馈 1.Df'(x)=a,f'(-1)=a=4,.a=4,故选D. 2.Dy'=(x2sinx)'=(x2)'·sinx+x2·(sinx）'=2 xsin x+ xcos x. 3.A f'()=(）广'=位t2+3 （x+3)2 2x(x+3)-8=+6 (x+3)2(x+3)2 4.2曲线y=x3+ax的切线斜率k=y'=3x2+a,又曲线在坐标 原点处的切线方程为2x-y=0,所以3×02+a=2,故a=2. 5.2.3简单复合函数的导数 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.fg(x)) 2.y'.·u'.y对uu对x 预习自测 1.BCDA不是复合函数；B、C、D都是复合函数 2.Bf'(x)=-2sin2x-3f(受)=-2sinm-3=-3. 3.-2e(x)=-2e2r+3,f(1)=-2e,即k=-2e. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)y=log2(2x+1)是复合函数，可以看作是由 y=log2u和u=2x+1“复合”而成的函数. (2)y=2x2-↓不是复合函数 (3)y=2是复合函数，可以看作是由y=2和u=lnx“复 合”而成的函数 (4y=cas(3x-石）是复合函数，可以看作是由y=0msu和 u=3-君复合”而成的函数 跟踪训练1：Cy=sin(2x-1)是由函数y=sinu和u=2x-1 复合而成，可见p(x)=2x-1. 例2：【解析】(1)设y=u2,u=4-3x,则y.'=2u,u'=-3, 于是y'=y.'·4'=2(4-3x)·（-3)=18x-24,即y'=18x -24. (2)设y=c0s,u=2x-平，则X'=-si,4'=2, 于是y,'=y.'·4'=-2sim(2x-平）， 即y=-2sin(2x-平） (3)设y=lnu,u=4x-1,即y'=,u,'=4, 4 4 于是y'='·4'=4x-即y=4x-