精品解析：广东深圳市育才教育集团2025-2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷

育才教育集团2025-2026学年度第二学期 初二年级期中考试 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（ ）. A. B. C. D. 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为_____． 10. 若实数，满足，，则_______． 11. 关于的不等式组有实数解，则的取值范围是_____． 12. 如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=_______cm． 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三．解答题（共7小题，第14题8分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题7分，第19题12分，第20题9分） 14. 解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 15. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 16. 某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． （1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ （2）若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标_______，并画出． （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的． （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 18. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）若满足，求的值； （3）已知,（为任意实数），比较的大小； （4）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 20. 【问题初探】 （1）数学课上，老师出示了如下问题．如图1，在中，，，，在中，，将沿着进行翻折，恰好可以落在处，请求出的长．小明同学认为，可以借助勾股定理的有关内容完成解答，请你帮他完成求解过程． 【问题探究】 （2）李老师在该问题上进行了变式，如图2，在（1）的条件下，将沿着线段平移得到，在平移过程中，小王同学发现当点D的对应点平移到边上时，能求出此时的长，请你帮他完成求解过程． 【拓展提升】 （3）李老师在该问题上进行了拓展，若在中，，，，其他条件不变，通过几何变换，能否尝试探究出变换后的新的图形的性质．如图3，将绕点A顺时针旋转角度，得到．在旋转过程中，直线与的交点为M，与的交点为N．小李同学发现，存在M、N使得为等腰三角形，请你通过画图计算求出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才教育集团2025-2026学年度第二学期 初二年级期中考试 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形-三线合一的性质，熟知等腰三角形底边上的高也是底边上的中线是解题的关键． 先求出的长，然后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在的周长为，，长为， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项正误，即可得到答案． 【详解】解：、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； 、∵题目没有给出的取值范围，当时，若，可得， ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； 、∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 4. 如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设∠1=∠2=x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：设∠1=∠2=x， ∵∠4=∠3=∠1+∠2=2x， ∴∠DAC=180°-4x， ∵∠BAC=108°， ∴x+180°-4x=108°， ∴x=24°， ∴∠DAC=180°-4×24°=84°． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别求出每个不等式的解集，把每个解集在数轴上表示出来即可判断． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 把这两个解集在数轴上表示出来为： 故选：D． 6. 如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 7. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 8. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得到旋转后的点的坐标，然后总结规律，每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：如图，记图位置的点为，连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， ，，， ， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得： 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， ， 每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现， 点的坐标为， ， 点的坐标为，即， 连续旋转次后，点的坐标为． 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，直接计算点B的坐标． 【详解】解：点  先向左平移 个单位长度，横坐标减 ；再向上平移  个单位长度，纵坐标加 ，  点  的坐标为 ． 即：点B的坐标为． 10. 若实数，满足，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 11. 关于的不等式组有实数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组有实数解， 所以， 所以． 12. 如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=_______cm． 【答案】3.75 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm， ∴BC=AB=5cm， ∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠BCB1=∠A=30°， 在Rt△BCB1中，BB1=BC=2.5cm， ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5cm， ∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°， ∴B1C1=AB1=×7.5=3.75cm 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，     ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三．解答题（共7小题，第14题8分，第15题9分，第16题8分，第17题8分，第18题7分，第19题12分，第20题9分） 14. 解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【小问1详解】 ： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示出来，如图： 15. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 16. 某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． （1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ （2）若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】（1）A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 （2）该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【解析】 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； 【小问2详解】 解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，已知点坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请直接写出的坐标_______，并画出． （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的． （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1），画图见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵与关于原点成中心对称，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：∵，， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴和的对称中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标． 18. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据是的垂直平分线，得到，，再证，即可求解． （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，再求得，根据是等腰三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，， ， ， 在和中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 19. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）若满足，求的值； （3）已知,（为任意实数），比较的大小； （4）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1） （2）9 （3） （4），，16 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∴，即； 【小问4详解】 解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 20. 【问题初探】 （1）数学课上，老师出示了如下问题．如图1，在中，，，，在中，，将沿着进行翻折，恰好可以落在处，请求出的长．小明同学认为，可以借助勾股定理的有关内容完成解答，请你帮他完成求解过程． 【问题探究】 （2）李老师在该问题上进行了变式，如图2，在（1）的条件下，将沿着线段平移得到，在平移过程中，小王同学发现当点D的对应点平移到边上时，能求出此时的长，请你帮他完成求解过程． 【拓展提升】 （3）李老师在该问题上进行了拓展，若在中，，，，其他条件不变，通过几何变换，能否尝试探究出变换后的新的图形的性质．如图3，将绕点A顺时针旋转角度，得到．在旋转过程中，直线与的交点为M，与的交点为N．小李同学发现，存在M、N使得为等腰三角形，请你通过画图计算求出此时的长度． 【答案】（1）3．6；（2）3．6；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查了几何变换的性质、勾股定理、等腰三角形分类讨论及面积法的综合应用，解题的关键是熟练运用几何变换的性质转化边与角的关系，并结合勾股定理、面积法及分类讨论思想进行计算． （1）利用翻折性质得到，通过面积法求出，再用勾股定理计算 ，从而得到的长度． （2）利用平移性质得到 及平行关系，通过角度推导得出 ，进而得到． （3）分、、三种等腰三角形的情况，结合旋转性质、角度关系与勾股定理，分别计算的长度． 【详解】（1）由题意得，， 在中，由勾股定理得：， ， ∴ 在中，， ∵翻折， ∴； （2）设交于点M． ∵平移 ∴，，， ∴， ， ∴， ∵翻折 ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴； （3）在中， ∵，， ∴，， ①如图，当时，在上取一点H使得． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时，， ∴， ∴， ∴． ③如图，当时，， ∴， ∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $