精品解析：湖北鄂东南联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年春季高二年级期中考试 数学试卷 考试时间：2026年4月22日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线 可化为 ，斜率为 ， 对 求导，， 曲线在点 处的切线斜率为：， 因为切线与直线平行，所以它们的斜率相等：， 解得：． 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将递推式子进行变形，得到数列是首项为，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出结果即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 所以，所以. 所以. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据等比数列的性质知，，成等比数列， 所以该新数列的公比为， 所以，则． 4. 设为坐标原点，，是（）的左､右焦点，若在双曲线上存在点，满足的面积为，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设点，再利用坐标表示条件中的几何量，即可求解. 【详解】设， 则，且，得， 所以，代入双曲线方程得， 整理为，即， 得，即，则双曲线的离心率. 5. 某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把5名学生分成3组，再分配到3个社区即可求得结果. 【详解】5名学生分成3组，每组至少1人，有和两种情况. ①分组共有种分法；再分配到3个社区：种； ②分组共有种分法；再分配到3个社区：种； 综上所述：共有种安排方式. 6. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解. 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 7. 已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点  代入得 ， 解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由  可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②， 又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 8. 已知函数，是的导函数，若对任意，恒成立，且存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当恒成立， 即恒成立，化简可得 设函数，求导可得， 当时，，单调递减， 所以，因此，即， 对函数求导可得， 令，求导可得， 令，求导可得， 因为，，所以，单调递减， 因此， 所以，单调递减，， 因为， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为 C. 已知函数，则的最小值为 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调区间；注意最值问题必须结合整个定义域分析，不能只看某一部分区间；对含有常数的函数关系式，可先求导再代入对应点求值. 【详解】对于 A，若 则 故A正确. 对于B，函数 求导得， 令则即 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则先增后减，最大值在处取得， 且的最大值为 故B正确. 对于C，函数 求导得 因为所以的符号由决定， 当时，，单调递减； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此函数在上先减后增，并且 但要注意，函数的定义域是 当时，从而 所以函数在整个定义域内没有最小值，故C错误. 对于D，由，得 令则整理得则 故D正确. 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由不等式符号判定项与1的大小关系，再结合推出公比范围、数列增减，进而分析和与积的变化. 【详解】已知，即，因此和异号，即中必有一项大于1，一项小于1. 因为，所以同号. 又因为为等比数列且，所以均为正. 结合可知数列为递增数列，公比，所以. 选项A：因为，而，所以，A正确； 选项B：由等比数列性质：，而，所以，因此，B正确； 选项C：当时，(变小)；当时，(变大).而，说明是是最后一次乘以小于1的项，之后乘以大于1的项会变大，即是从递减到递增的转折点，故是最小值，C错误. 选项D：因为为递增数列且，所以数列递增，无最大值，D正确. 11. 双曲线（），是坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线在第一象限内的一点，分别是的内心､重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 作于，则在圆上运动 C. 的最大值为 D. 若轴，且，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】 对于A，如图所示，由于是的内心，所以，解得，故A正确； 对于B，如图所示，延长交于，则， 所以，且为中点， 又是中点，所以. 所以在以为圆心，以为半径的圆上运动，故B正确； 对于C，设，则有， 设内切圆半径为，则 所以，则，即，故C错误； 对于D，，则 同理，则，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及椭圆定义得，分情况讨论焦点位置，列方程求解. 【详解】椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为， 所以，， 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去），不满足，不符； 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去）， ，所以符合. 13. 已知数列满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到 【详解】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 14. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求两曲线的切线方程，根据公切线条件列方程组，消元后得到关于的表达式，构造函数求最值，进而确定的取值范围. 【详解】设切点分别为， ，即， ，即， ，则， 设， 在单调递减，在单调递增， ， 又为正实数， . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件变形可得，进而可得是等差数列，运算得解； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 ，， 是以1为首项，1为公差的等差数列. ， . 【小问2详解】 ， . 16. 已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程. （2）设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示出，，进而得到，再利用表示出的面积，最后结合换元法和不等式思想求其最大值. 【小问1详解】 由题意，. 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 如图： 因为直线的斜率不为0，故可设. 将直线方程代入椭圆方程，可得， 整理得：. 由韦达定理得， . 令. 当，即时取等号. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）是否存在正实数，使得有且仅有一个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）当时，单调增区间为，无单调递减区间； 当时，单调递减区间为，单调递增区间为. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. （2）当时，根据函数的单调性，由函数的极小值为0求的值. 【小问1详解】 ，令， 当时，，故，即，则在单调递增； 当时，令，则（负根舍去）， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，在递减，递增，最小值为， 依题意，有即， 也即，可得， 令，则在上单调递增，又因， ，故. 验证：当时，代入可得， 此时在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 故有且仅有一个零点. 综上，存在正实数，使得仅有一个零点. 18. 已知：，抛物线：的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为（）的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （ii）过作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线准线方程代入圆方程求出弦长表达式，再结合已知弦长建立方程求解，最后得出抛物线方程. （2）（i）联立圆与抛物线方程，通过判别式为0得到与的关系式，由的关系推出的递推关系，结合首项求出通项. （ii）由（i）得到表达式，联立直线与抛物线方程，根据相关条件求出的值，再代入关于的表达式求出. 【小问1详解】 由题意可知抛物线的准线方程为， 将​代入圆可得：​， 因此，两边平方整理得， 又因为，所以，故抛物线的方程为：. 【小问2详解】 （i）设，则， ，整理可得：， 其中，化简得. 所以，即， 又，求解可得， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，， （ii）由（i）可知，，， 故l：与联立得：， 即，， 所以又，解得. 19. 设函数，，，，. （1）当时，讨论函数的单调区间； （2）若存在两个极值点，，且，与有3个不同交点.求的取值范围（用，表示）； （3）若，，有三个不等实数，，，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，再根据导数与的大小关系，分、、三种情况讨论函数的单调性. （2）由可知，，是方程的根，利用根与系数关系，通过设、，根据等式两边系数相等求、，最后根据与有3个交点确定范围. （3）先利用韦达定理化简所求式子并求解不等式得到的范围，再根据函数有三个不等实根，结合导数确定函数单调性，通过极值点函数值的正负进一步确定的范围，最后取交集得到最终的取值范围. 【小问1详解】 当时，在单调递增，单调递减，单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递增，单调递减，单调递增. 【小问2详解】 ，则为方程的两实根，且 设，，所以是方程的根， 所以是的一个因式， 又因为是的极值点，则直线与图象在处相切， 另外在处也相交，所以是的二重根，是的单根， 根据多项式的因式分解定理可知：， 方程两边的系数相等，得到，. 同理，设，则 ， 由与有3个交点，. 【小问3详解】 由于是的三个不等实根，所以根据多项式的因式分解定理可得： ， 所以，故， 解得， ，令，则或， 又因为为正实数，所以当时，，故在单调递增， 当时，，故函数在单调递减， 当时，，故函数在单调递增， 因此在处取得极大值，在处取得极小值， 又因为有三个不等实根， ，即， 求解可得且，综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高二年级期中考试 数学试卷 考试时间：2026年4月22日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为坐标原点，，是（）的左､右焦点，若在双曲线上存在点，满足的面积为，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校安排名学生到个社区进行志愿服务，每名学生只去个社区，每个社区至少有名学生，则不同的安排方法共有（ ）种 A. B. C. D. 6. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的导函数，若对任意，恒成立，且存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为 C. 已知函数，则的最小值为 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 11. 双曲线（），是坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线在第一象限内的一点，分别是的内心､重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 作于，则在圆上运动 C. 的最大值为 D. 若轴，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 13. 已知数列满足，，则__________. 14. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知椭圆（）的离心率，且椭圆过点，左､右焦点分别为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）是否存在正实数，使得有且仅有一个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知：，抛物线：的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为（）的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （ii）过作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 19. 设函数，，，，. （1）当时，讨论函数的单调区间； （2）若存在两个极值点，，且，与有3个不同交点.求的取值范围（用，表示）； （3）若，，有三个不等实数，，，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $