2026年高考数学模拟卷（二）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（二） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建·二模）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·三模）是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2026·福建·二模）等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 5．（2026·山东德州·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东德州·二模）下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10．（2026·江西九江·二模）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 11．（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东德州·二模）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.在该坐标系下向量，，则______. 14．（2026·广东中山·三模）已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖南怀化·模拟预测）中，，P是内一点，. (1)若，求； (2)若，求中AC边上的高. 16．（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（2026·山东潍坊·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于0，求的取值范围. 18．（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 19．（2026·河北保定·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，的周长为面积的最大值为 (1)求椭圆的方程. (2)已知点，直线与椭圆交于两点，点为的垂心. （i）若 为等边三角形，求点的坐标； （ii）若直线过点，求的最大值. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（二） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建·二模）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2．（2026·安徽安庆·三模）是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】可得，可得，即是的必要条件； 由时，可得，因对数的真数必须为正数，故不一定成立， 故是的必要不充分条件. 3．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 4．（2026·福建·二模）等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 【答案】B 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 5．（2026·山东德州·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦化简题设中的方程后可求的值. 【详解】由题设有， 故， 若，则，与矛盾； 故 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，当二面角为时，则异面直线与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出二面角的平面角及异面直线与的夹角，再根据余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，， 因为四边形是正方形，所以，， 又，平面，平面，平面平面, 所以为二面角的平面角，且， 取，的中点、，连接，，，则，， 所以或其补角是异面直线与的夹角， 设，则，，， 在中， 由余弦定理得，，解得， 又因为，为中点，所以，， 在中，， 在中，由余弦定理可得，． 即异面直线AB与CD的夹角余弦值为． 7．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 8．（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】直线的倾斜角为，由题意可得，结合双曲线定义及已知可得，，分在第一象限，在第四象限时和在第四象限，在第一象限两种情况，求出与的关系，在中，利用余弦定理找到的关系，结合离心率的定义求解即可. 【详解】如图所示： 设直线的倾斜角为，则有，所以， 即，又因为，解得， 又因为直线与双曲线的右支交于两点，所以，即有， 所以，，所以，解得， 又因为所以， 由双曲线定义可得，所以， 又因为，在中，， 由余弦定理可得, 所以， 整理得：， 即，解得，负根舍去. 当在第一象限，在第四象限时，如图所示： 此时在中，， 由余弦定理可得, 所以，整理得：， 即，解得，负根舍去. 综上，或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山东德州·二模）下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 【答案】AC 【详解】,, 而回归直线为，故，故，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 10．（2026·江西九江·二模）如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 11．（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东德州·二模）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项. 【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.在该坐标系下向量，，则______. 【答案】 【详解】依题意，， 又，， ， ， . 14．（2026·广东中山·三模）已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______. 【答案】 【分析】设：，通过对称性确定，由在直线上，和，在抛物线上，确定数列是等差数列，再结合裂项相消法即可求解. 【详解】 设直线：， 因为与关于轴对称，所以 由在直线上得:， 又点，在抛物线上， 所以 得（常数），所以数列是等差数列. 又， 所以， 所以， 所以， 故 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖南怀化·模拟预测）中，，P是内一点，. (1)若，求； (2)若，求中AC边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理求得，再由已知及正弦定理求； （2）设，由余弦定理及列方程求参数值，结合等腰直角三角形的性质求高. 【详解】（1）根据正弦定理得， . ，则，而， . 根据正弦定理得， ； （2）设， 在中得， 化简得. 在中得， 化简得， . ， ，化简得，解得或. 又，则. 中AC边上的高为. 16．（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式和，得出是线段的中点，得出平面，再证平面平面即可； （2）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解. 【详解】（1）设点到平面的距离为， 则， 又因为三棱锥的体积为，所以； 又，是线段的中点，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以， 因为，， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得：， 17．（2026·山东潍坊·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，由导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，根据已知有，再确定的极小值，结合其大于0求参数范围. 【详解】（1）由，则，可得，满足题设， 所以，则，可得，而， 所以曲线在点处的切线方程，即； （2）由题设且， 当时，恒成立，显然不存在极值， 所以，则有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在极小值， 所以，可得. 18．（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. (1)若，求乙获得冠军的概率； (2)记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； (3)记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的对称性可求乙获得冠军的概率； （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战，则可求出，再利用等比数列的求和公式可求. （3）根据独立事件的概率公式结合（2）中结果可求甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率，由等比数列的求和公式可求. 【详解】（1）记：事件为“甲获得冠军”，事件为“乙获得冠军”，则 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此，解得， 所以乙获得冠军的概率为. （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战， 则抽签时乙的编号，其概率为， 甲和乙在第轮之前不被淘汰的概率分别为，所以， 所以. 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. （3）设表示甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 则. 所以. 19．（2026·河北保定·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，的周长为面积的最大值为 (1)求椭圆的方程. (2)已知点，直线与椭圆交于两点，点为的垂心. （i）若 为等边三角形，求点的坐标； （ii）若直线过点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据三者的关系求解椭圆方程； （2）先设出直线的方程，联立椭圆方程，再结合等边三角形的性质，建立方程求解直线参数，进而求解即可；利用垂直的斜率关系得到坐标的表达式，将坐标用直线参数表示后，结合函数求最值. 【详解】（1）由题可知，的周长为，即， 且最大面积为，解得， 又，所以，化简得. 即椭圆方程为. （2）（i）为等边三角形，由对称性可知轴， 设，，由得， 又在椭圆上，，代入得，解得（舍去）. 等边三角形垂心与重心重合，重心坐标为，因此. （ii）设，直线，代入椭圆得， 韦达定理得，. 是垂心，故，方程为， 方程为，方程为， 两式相减整理得， 则 ， 为到的距离， 令，则，代入得， 由基本不等式，等号成立当（满足）， 故. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $