2026年高考数学模拟卷（四）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（四） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意知，集合， 集合，所以推不出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】B 【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得. 【详解】当时，，则， 故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 3．（2026·安徽安庆·三模）已知四边形为平行四边形，、、，，若，则n的值为（   ） A． B． C．-7 D．7 【答案】D 【分析】设，根据求出点坐标，利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】设，因为四边形为平行四边形，、、， 所以，即,则，∴，∴， ∴，而，，∴ 4．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口或三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳两种情况. 三次均投入壶口得6分的概率， 三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳得5分的概率， 所以甲的总得分不少于5分的概率为. 5．（2026·山东潍坊·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，分类讨论，结合，可求答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即； 因为，所以， 当时，，所以， 此时. 当时，，所以，由可知，此时不合题意. 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解，最后得到即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 由，得， 故，即得 则，解得，故. 7．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为， 则，所以， 则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为， 此时面积，可知当时，即时，面积最大， 此时面积. 8．（2026·山东潍坊·一模）已知椭圆的右焦点为，直线交于两点，为坐标原点，且，过作，垂足为，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，两点后利用它们满足椭圆方程以及，得到关于的等式，再利用等面积法写出的表达式，将前面的等式代入化简得到为定值，最后根据直线与圆有公共点求出斜率的范围. 【详解】由方程可知，所以，所以， 设，， 则有，，即，，① 由可得， 即，将①代入得， 化简得， 对于，，即为上的高， 由等面积法可得 ，为定值， 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆， 直线与该圆应有公共点，设的斜率为， 则原点到直线即的距离小于等于半径， 即，平方得， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建·二模）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则，，，， 对于A，可得，， 则，得到，故A正确； 对于B，由题意得，，，， 则，，， 可得，得到， 可得，得到， 而平面，得到平面，故B正确； 对于C，由题意得，， 若，则，得到， 而不存在使方程组成立，即不成立，故C错误； 对于D，由题意得，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，得到平面，故D正确. 10．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 11．（2026·河北邯郸·二模）已知在中，，，，若，，且直线过中点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据题意结合余弦定理即可判断A，根据平面向量的数量积以及三角形三边的关系即可判断B，根据平面向量基本定理以及基本不等式即可判断C，通过将原问题转化为圆与直线的交点的几何问题即可判断D. 【详解】设，，，则根据题意有， 对于A，由余弦定理：， 所以，故A正确； 对于B，如图所示： 由以及平面向量基本定理可知， 又因为是线段的中点，因此， 则，， 因此，代入以及，化简得， 由三角形的三边关系：，即，又， 取，则，故B错误； 对于C，由三点共线，则存在实数使得，代入以及， 可得，则有，消去可得 则，当，即时取最小值，此时，，满足的条件，故C正确； 对于D，由三角形的三边关系：，即，又， 因此原问题转化为已知点在圆的第一象限的圆弧上运动，满足且，求的取值范围， 如图所示，当直线与圆相切时，切点为，取最大值， 此时原点到直线的距离为，即， 因此的最大值为，此时，由于，满足三角形三边的条件，因此的最大值可以取到， 当直线与圆相交于点时，取最小值，此时，由于，不满足三角形三边的条件， 因此的最小值取不到，即的取值范围是，故D正确. 【点睛】这是一道关于平面向量的综合题目，考察了平面向量的基本定理、数量积、线性运算、三点共线以及基本不等式等知识点. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江西·二模）已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则的公比________． 【答案】 【详解】等比数列中，，又， 所以，而， 则，， 由，得，而， 所以． 13．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】 展开式中通项为， 若展开式中含有常数项，则有解，则， 满足题意的一个正整数（答案不唯一，满足即可）. 14．（2026·高三下·浙江宁波·月考）已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 【答案】2 【分析】先联立方程计算求解的坐标，再求出所在直线斜率，可得的倾斜角，最后应用两角和的正切公式计算即可． 【详解】设所在直线方程为， 联立，得． 设，准线交x轴于点M，则， 又，，即， 联立 ，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或， 则，即， 设的倾斜角为，则， 由，， ， 可得； 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江温州·模拟预测）某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米． (1)若，求服务通道的长； (2)在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，整理得， 解得， 所以服务通道的长为； （2）在中，由余弦定理得， 由知，又， 所以 ，所以 ， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以折线赛道的最大值为． 16．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 17．（2026·江苏苏州·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (3)是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，作交于点，设，根据已知条件写出的坐标，再运用线面角的向量求法列出方程，可得即的长； （3）先假设存在点满足条件，得到即为（2）中的，写出长度的表达式，得出，故不存在满足条件的点. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，以为轴正半轴方向，建立空间直角坐标系， 在平面内，作交于点，则， 在中，，， 设，则，由得， 所以， ，设平面的法向量为， 由，得，取， 得平面的一个法向量为，又， 由直线与平面所成的角为可得， 即，解得或（舍去，因为）， 所以. （3）假设在线段上存在一点到的距离都相等，由， 得，从而，即为（2）中的点， 有，而在中， ， 与矛盾，所以在线段上不存在一点，使得到的距离都相等. 18．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 19．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）（i）根据题意设，结合单调性将证明转化为证明，构造函数，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （ii）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意；若，则.当时，，构造函数，结合导数证明即可. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，. 令，即，解得. 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故有极大值，为，无极小值. 故函数的极大值为，无极小值. （2）（i）因为，，不妨设， 要证，即证， 因为在上单调递减，故只需证. 又，只需证. 令，. ， 当时，，，故，所以在上单调递增， 因此，即. 又，所以，因此. （ii）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令，则，在上单调递减， 所以，所以，在上单调递增， 则，即，. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，和中至少有一个小于. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（四） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 3．（2026·安徽安庆·三模）已知四边形为平行四边形，、、，，若，则n的值为（   ） A． B． C．-7 D．7 4．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 5．（2026·山东潍坊·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 7．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东潍坊·一模）已知椭圆的右焦点为，直线交于两点，为坐标原点，且，过作，垂足为，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建·二模）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 11．（2026·河北邯郸·二模）已知在中，，，，若，，且直线过中点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江西·二模）已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则的公比________． 13．（2026·湖北宜昌·二模）写出一个能使的展开式中含有常数项的正整数的值为__________. 14．（2026·高三下·浙江宁波·月考）已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·浙江温州·模拟预测）某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米． (1)若，求服务通道的长； (2)在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号 16．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 17．（2026·江苏苏州·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (3)是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. 18．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 19．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $