2026年高考数学模拟卷（五）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（五） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故. 2．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意得，则第60百分位数为. 3．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量与的夹角为120°，，则（   ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积求解向量的模即可. 【详解】 4．（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质可得，然后逐一验证选项即可求解. 【详解】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有， 代入得： 解得，当时，，符合要求. 当时，，是奇函数； 对于AD：、对应为偶函数； 对于B：对应非奇非偶，均不符合. 5．（2026·河北·二模）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可知，从而计算出，再根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】由题意得数列是等差数列，所以，可得， 因此. 6．（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 7．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用抛物线的定义和余弦定理，分别用表示出与，进而表示出，借助于求导判断函数单调性，即可求得其最小值. 【详解】由：可知，准线方程为，设，， 根据抛物线的定义可得：，， 因为中点，则， 于是， 令，，所以. 在中，， 由余弦定理，得， 则， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 设，， 则，所以在上单调递增， 则当时，取最小值为，此时取最小值， 故的最小值为. 8．（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 10．（2026·江西·二模）已知函数与的图象关于原点对称，则（   ） A．函数的最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象 D．，存在唯一的，使得 【答案】ABD 【详解】设为函数图象上任意一点，则. 因为点P关于原点的对称点在的图象上，. 即. 所以，， 所以.其最大值为，A正确； 在中，令，，得，， 令，得，所以的图象关于点对称，B正确； 将的图象向左平移个单位长度可得，C错误； 当时，，所以在上的值域为，当时，. 所以函数在单调递增，且值域为，又. 所以，存在唯一的使得，D正确． 11．（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽·模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】函数的导数为， 所以切线的斜率，切点为，则切线方程为． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题. 13．（2026·湖南岳阳·二模）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 【答案】 【分析】设事件：“出现了正面朝上”，事件：“未出现连续3次正面朝上”，分别求出事件与事件可能的结果，利用条件的公式即可求解. 【详解】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，所有可能的结果共种； 设事件：“出现了正面朝上”，则可能的结果有种； 设事件：“未出现连续3次正面朝上”，包含以下种情况： (1)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (2)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (3)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (4)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (5)出现次反面朝上，可能的结果有种; 所以事件：“未出现连续3次正面朝上”，可能结果有种情况； 则事件可能的结果有种； 所以 14．（2026·江西南昌·二模）已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时，________． 【答案】5 【分析】根据空间向量共面性质，结合线面垂直的判定定理、空间向量模的性质进行求解即可. 【详解】设，， 因为，所以向量，不是共线向量， 所以向量与向量，是共面向量， ，要想最小， 只需与向量，所确定的平面垂直， 即， 解得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）结合题意与正弦定理得到，再利用余弦定理证明即可. （2）利用余弦定理建立方程，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，最后结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得. （2）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为与互补，所以， 即，则， 整理可得，所以， 此时，可得为直角三角形， 故的面积为. 16．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，， (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面； （2）先根据余弦定理求得，利用空间垂直关系的转化可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，结合向量法可求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）证明：因为，所以四边形是菱形，所以， 又，且，所以， 因为平面平面，所以平面； （2）在中，由， 所以， 如图，取的中点，连接， 因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为平面， 且，所以平面， 因为平面，所以. 因为的中点为，所以， 在和中，可知， 以为坐标原点，直线． 所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，得， 设平面的法向量为， 则，即，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 17．（2026·江西南昌·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)讨论在R上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为；当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合的范围分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 令，即 ，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即最大值，为 所以当时，在上的最大值为． （2）， 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，，此时在R单调递减，无增区间． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 18．（2026·河北·二模）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用四个独立事件同时发生来计算概率即可； （ii）利用全概率公式来求解即可； （2）利用构造数列的递推思想，求解通项公式，即可求得概率. 【详解】（1）（i）由题意得，若比赛进行四轮结束第一轮甲进攻乙胜，第二轮乙进攻甲胜， 第三轮甲进攻乙胜，第四轮乙进攻乙胜， 故比赛进行四轮结束的概率为． （ii）因为两队规则对称且初始分数相同，乙进攻时甲获胜概率为， 所以由全概率公式得：，解得：． （2）记为甲队的分数为分且乙为进攻方时甲队最终获胜的概率． 由规则，对，有① ② 边界条件：，且自然定义（甲得满分时获胜）． 由①解出，代入②得， 整理得．③ 这说明是等差数列 下面确定和的关系． 由②取并结合得． 又由①取得，代入得 ， 设公差为，则，故．于是对任意， 有．利用边界， 得,因此. 19．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【详解】（1）过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. （2）设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. （3）若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（五） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北宜昌·二模）一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 3．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量与的夹角为120°，，则（   ） A．3 B．7 C． D． 4．（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 5．（2026·河北·二模）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 10．（2026·江西·二模）已知函数与的图象关于原点对称，则（   ） A．函数的最大值为 B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象 D．，存在唯一的，使得 11．（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽·模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________. 13．（2026·湖南岳阳·二模）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 14．（2026·江西南昌·二模）已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·湖北宜昌·二模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设点为线段延长线上一点，若，求的面积. 16．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，， (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（2026·江西南昌·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)讨论在R上的单调递增区间． 18．（2026·河北·二模）甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为． (1)当时， （i）求比赛进行了4轮结束的概率； （ii）求的值； (2)求的表达式（用和表示）． 19．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $