广东广州思源学校2025-2026学年高二下学期4月份月考数学试题

广州思源学校2025-2026学年第二学期高二4月份月考数学 姓名： 班级： 考号： 一、单选题(40分) 1.如图所示，运动方程y=(x)在A,B两点间的平均速度等于(】 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.函数y=f(x)的图像如图所示，则() A.f'(3)>0 B.f'(3)<0 C.f'(3)=0 D.f'(3)的正负不确定 3.小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一 件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为() A.5 B.6 C.8 D.9 4.计算：A×3!=() A.120 B.90 C.60 D.30 5.已知西数f)=m-图象过点1) 且在该点处的切线的斜率为1，则+2D=() A.1 C. 6函数fy)=在(a+切)上单调递减，则实数a的取值范围为（) A.(0,e) B.[e,+co) C.[0,e-1] D.(0,e-1) 7.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人 中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有() A.120 B.60 C.30 D.20 8.函数f(x)=lnx-x+1,若存在x∈(0，+n),使f(x)≥0有解，则的取值范围为() A.（-0,1] B.(-,2] C.[1,+oo) D.[2,+w) 试卷第1页，共3页 二、多选题(18分) 9.下列命题正确的有() A.己知函数f(x)=n(2x+1),若f"(x)=1,则x。=0 B.己知函数fx)在R上可导，若f'()=2,则1mL+A)-f但=2 △x C. xsinx+cosx x2 D.设函数f)的导函数为F).且f()=+3对(2)+bx,则了2)- 10.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是() A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 山.已知函数f)=。,则下列说法正确的是(） A.f(x)的单调递减区间是[1，+∞) B.若m<。,则方程f)=加有两个不等的实根 C.若点P是曲线y=f(x)上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为√互 D.若过点A(0,a)可以作曲线y=f()的三条切线，则0<a<。 三、填空题(15分) 12.函数f(x)=x3-3x在区间[-1,3]上的最小值为 13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地 区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有种 ·(以数字作答) 14.设a>0,若函数f(x)=xnx-x2+x在区间(a,+o)上单调，则a的取值范围是 试卷第2页，共3页 四、解答题(13+15+15+17+17=77分) 15.(3+4+3+3=13分) (1)求函数y=ln(5x+2)在x=1处的导数： (2)求函数y=C在x=处的导数 x+1 2 (3)计算A的值. (4)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(n∈N且n<55). 16.(8+7=15分)口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球. (1)至少有一个白球的取法有多少种？ (2)两球的颜色相同的取法有多少种？ 17.(5+5+5=15分)用0,1,2,3,4,5可组成多少个： (1)没有重复数字的四位数？ (2)没有重复数字且被5整除的四位数？ (3)比2000大且没有重复数字的自然数？ 试卷第3页，共3页 18.(8+9=17分)已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值. (1)求实数c的值： (2)若函数8(x)=∫(x)+a有三个不同的零点，求实数a的取值范围， 19.(7+10=17分)已知函数f(x)=a(e+0)-x. (1)讨论f(x)的单调性： 2)证明：当a>0时，f(c)>2na+) 3 思考题：已知x>0,e2x-2lnx+(4-a)x≥2lna恒成立，求正数a的取值范围. 答案第1页，共13页 高二4月份月考·数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B ⊙ A D B B A BD BD 题号 11 答案 ACD 1.B 【详解】由平均变化率公式可知：平均速度 1-3=-1. 3-1 2.B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数f(x)在(2,5)上单调递减，故在(2,5)上有f'(x)<0.故 f'3)<0. 故选：B 3.B 【分析】根据分步乘法计数原理可得， 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配 种数3×2=6. 故选B。 4.A 【详解】A3×3!=5×4×3×2×1=120 5.D 【分析】根据f(四)-；和∫"()=1求出a,b即可求解 【详解】依题意有f(6)=a+名，∴了但=a+b-1, 又J0即a-b- 2 1 a=3,b=a,·a+2b5 4 故选：D. 6.B 答案第2页，共13页 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解 【详解】函数f(x)=nr的定义域为(0，+)， 1 求导得f(x)= Ixx-Inx :1 1-Inx, x2 令f'(x)<0,解得x>e, 所以函数f(x)=n的单调递减区间为(e,+), 又函数f(y)=血在(a+切)上单调递减，所以a≥e. 所以实数a的取值范围为[e,+o) 故选：B. 7.B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e, 假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活 动，共有A=12种方法， 同理：b,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12=60种. 故选：B. 7.B 【分析】根据ab,c的特点，构造函数f(x)= ，判其单调性，得到了=回-。 故有f(e)>f(5),f(e)>f(2),再运用作差法比较f(⑤)，f(2)即得 【详解】设f)=血，则f)=1-nx x2 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)在(0，e)上递增； 当x>e时，'(x)<0,f(x)在(e,+o)上递减， 故fw=f(⊙)=1 答案第3页，共13页 哈是即ca 由h522h5-5h2_ 32<0可知c<a,故b>a>c. 52 10 10 故选：B. 8.A 【分析】构造函数8（⑧）三中，利用导数求最值，进而得心的取值范围 【详解】若存在x∈(0，+∞)，使得f(x)20有解，即m≤ (1+Inx 设g)=1+m,(x>0,则gx=1上+血）=。 x2 令g'(x)=0,解得x=1, 当x∈(0,1)时，8(x)>0,8(x)单调递增； 当x∈(L,+n)时，8'(x)<0,8(x)单调递减，所以8(x)m露=8(I)=1. 故m的取值范围为(-o,1]. 故选：A 9.BD 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出∫'(x),再由"(x。)=1,解方程即可判断 A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确： C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错： D选项，对函数求导，令x=2,即可判断D正确： 【详解A顿，G血2+中，得四2则了2宁1，解得号 故A错： B选项，由题意，根据导数的概念可得，则f'(1)=lim 1+△x)-f但-2，故B正确： △x C选项，根据导数的运算法则可得， -sinxxx-cosx×l=-xsinx+c0sx,故C错； x2 答案第4页，共13页 D选项，由f)=x2+3f(2)+nx得f()=2x+3/(2)+,则J(2)=4+3/2)+ 解得(2-}故D正确： 故选：BD 10.BD 【分析】根据分类与分步计数原理逐个计算即可. 【详解】A选项：取2个球，红、黄各1，有4×5=20种选法，该选项错误 B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有4×5×6=120种选法，该选项正确. C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况： 若取1红1黄，有4×5=20种选法： 若取1红1绿，有4×6=24种选法： 若取1黄1绿，有5×6=30种选法： 因此共有20+24+30=74种选法，该选项错误. D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有15×14=210种选法，该选项 正确。 故选：BD 11.ACD 【分析】对A,由∫'(x)<0及函数连续性可判断：对B、D,将问题转化为两个函数图象交 点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断：对C,当在点P处的切线与直线 y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小，求出点P坐标，用点到直线距离公式求 最值 【详解】对于A:了)。，由了()水0得x>1,又函数d)在L+)连续， 所以f(x)的单调递减区间是[1，+∞)，A正确： 对于B:当x∈(-n,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(1，+o)时f'(x)<0，f(x)单调递减： 当x=1时，f(x)取得最大值二，又x→-0时，f(x)→-： x→+o时，f(x)→0，所以f(x)的图象大致如图： 答案第5页，共13页 1 y=f(x) e y=a 当0<m<上时，函数y=m与函数y=f(x)图象有两个交点， e 即方程∫(x)=有两个不等的实根，B错误； 对于C:当曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距 离最小， 设点P飞则f化)-1=1，解得无=0，此时P00, 点P到直线y=x+2的距离d.D-0+2-万，C正确： V1+1 对于D:设过点A的切线切点为)，则E口上X,整理得a= e 若过点A可以作曲线y=f(y)的三条切线，则函数y=口与函数y=二有三个交点， ex er,v=2x-x 对函数y= ex 当x∈(，0)时y<0,函数y=单调递减： ex 当x∈(0,2)时y>0,函数y=单调递增， 当x∈(2，+o)时y<0,函数y=亡单调递减 ex 当x→-0时，y→+0：当x之+0时，y→0：X=0时，y=0:X三2时，y三号 所以函数y=二的图象大致如下： YA 4 y=a 则当0<a<。时，函数y=与函数y-。有三个交点， 此时过点A可以作曲线y=f(x)的三条切线，D正确. 答案第6页，共13页 故选：ACD. 12.-2 【解析】根据函数求导判断函数单调性，进而求得最值. 【详解】由f(x)=x3-3x,得f'(x)=3x2-3. 令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1. f(x)在区间[-1，上单调递减，在区间[1,3]上单调递增， 所以最小值为f)=-2. 故答案为：-2 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时， 要先求函数y=x)在[a,b]内所有使(w)=0的点，再计算函数y=x)在区间内所有使x) =0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得， 13.72 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜 色和四种颜色依次讨论即可 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有C2A4=48(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有A=24(种) 所以共有48+24=72（种） 故答案为：72 14.[1,+0) 【分折】由题意/()=血x-2x+2,设()=血x-2x+2,利用导数可得g()在(2+网上 单调递减，由f①=0，进而可得f(x)在区间2 上单调递增，在区间(1，+0)上单调递减， 进而可得。 【详解】f'(x)=nx+1-2x+1=lnx-2x+2, 设8()=血x-2x+2,则g(x)=1-2=1-2 故g()在（行+上单调递减，又了）-0，可知)在区间（合上单调递增。 答案第7页，共13页 在区间(1，+o)上单调递减，故(a,+o)三(1，+o),4的取值范围是[1，+o). 故答案为：[1，+o) 15.()e 9 (3)720:(4)A9 【分析】(1)先根据复合函数的求导法则求解出y=(5x+2)的导函数，然后将x=1代入 导函数即可求解； ②)先根据导数的除法法测求解出v三，的导函数，然后将x代入导函数即可求解 2 (3)【分析】利用排列数公式计算即得A。:(4)根据连乘积式，联想到排列数公式，求出 最大数和因数个数即可表示出来。 【详解】(1)因为函数y=ln(5x+2)可以看作函数y=lnu和u=5x+2的复合函数， 所以=双-5=32 5 所以当x=1时，多 (2)根据导数的除法法则阿知：y=C)(x+)-cx+_c任+1)-ee (x+1)2 (x+1)2 (x+12 11 1 所以当x=时， e2 、e2 2 2 2 )s 9 e2 1 9 +1 2 4 (3)A。=10x9×8=720: (4):55-,56-2,,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， (55-n)(56-n）(69-n）=AM. 16.(1)108 (2)73 【分析】(1)根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解： (2)根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解： 【详解】(1)根据题意分2类完成任务： 第一类：白球红球各一个有10=0形，第二类：均为白球，(8x)28华， 所以共有80+28=108种： 答案第8页，共13页 (2)根据题意分2类完成任务： 第一类：均为白球，×(87)=28种，第二类：均为红球，10x9)=45种 所以共有28+45=73种， 17.(1)300:(2)108:(3)1440 【分析】(1)先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位：(2)考虑个位是0或5两种情 况，再用分类加法原理计算：(3)从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算 【详解】(1)千位可以从1,2,3,4,5中任选一个，有5种，剩余的百位，十位和个位， 可以从剩余的5个数中任意选择，所以有A种，所以没有重复数字的四位数共有5A=300 种 (2)没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况： 个位数字为0时，有A=60种：个位数字为5时，千位可以从从1,2,3,4种任选一个， 有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有A,则有4A=48种， 利用分类加法原理可得：共有60+48=108种. (3)比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2,3,4,5中选一个有4种选法，再从 剩下的元素中选3个，有A种，共有4A=240种；当是五位数时，共有A-A=600种选 法：当是六位数时，共有A。-A=600种选法：故共有240+600叶6001440种，所以比2000 大的自然数共有1440种. 18.(1)-3 (2)-4<a<0 【分析】(1)由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解 得的根，可得答案： (2)由(1)明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将 问题等价转化为函数交点问题，可得答案。 【详解】(1)由函数f(x)=x(x+c)2,求导可得f'(x)=(x+c)(3x+c), 由函数∫(x)=x(x+c)在x=1处取极大值，则"(1)=0，解得c=-1或-3， 当c=-1时，可得f'(x)=(x-1)3x-1), 答案第9页，共13页 易知当x<1时，f"()<0:当1<x时，f”(x)>0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，舍去： 当c=-3时，可得f'(x)=(x-3)3x-3), 易知当x<1时，'(x)>0;当1<x<3时，f'(x)<0, 则此时函数∫(x)在x=1处取得极大值，符合题意。 综上所述，c=-3. (2)由(1)可得函数f(x)=x(x-3)2,求导可得f'(x)=3(x-1)(x-3), 令f'(x)=0,解得x=1或3，可得下表： (-0,1) 1 (1,3) 3 (（3,+0) f'(x) + 0 0 单调递 极大 单调递 极小 单调递 f(x) 增 值 减 值 增 所以函数f(x)的极大值为(1)=4，极小值为f(3)=0, 函数g(x)=f(x)+a存在三个零点，等价于函数f(x)图象与直线y=-a存在三个交点， 如下图： y=f(x) 由图可得0<-a<4,则-4<a<0. 19.(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即 答案第10页，共13页 可得解； (2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为a-】-na>0的恒成立问题，构造函数 &a=d-士naa>0叭，利用号数i证得ga)小s0即可 方法二：构造函数h(x)=e-x-1,证得e≥x+1,从而得到f(x)≥x+lna+l+ad2-x,进 而将问题转化为d-?na>0的恒成立问影，由此得证 【详解】(1)因为f(x)=a(e+a-x,定义域为R,所以f'(x)=a*-1, 当a≤0时，由于e>0,则ae≤0，故f'(x)=e-1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减： 当a>0时，令f'(x)=e*-1=0,解得x=-lna, 当x<-na时，f'(x)<0,则f(x)在(-o,-lna上单调递减： 当x>-lna时，'(x)>0,则f(x)在(-hna,+o)上单调递增； 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(-o,-na上单调递减，f(x)在(-a,+o)上单调递增 (2)方法一： 由(1)得，f(x)n=f(ha)=a(ea+a)+lna=l+d+lna, 要证2油a+子即证1+a+ha~2ha+子即证c一号ha>0恒成立， 3 令go)=d}naa>o),则g'a=2a-&241 令8a@0.则0a9:令ga>0,则n巨， 上单调递减，在V2 上单调递增， 所以当a>0时，f)>2血a+2恒成立，证毕 方法二： 答案第11页，共13页 令h(x)=e-x-l,则N(x)=e*-l, 由于y=e在R上单调递增，所以W(x)=e-l在R上单调递增， 又h(0)=e-1=0, 所以当x<0时，N(x)<0;当x>0时，N(x)>0: 所以h(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 故h(x)≥h(0)=0,则e*≥x+1,当且仅当x=0时，等号成立， 因为f(x)=a(e+a-x=ae+a2-x=e+a+a2-x≥x+lna+l+a2-x, 当且仅当x+na=0,即x=-na时，等号成立， 所以要证>2ha+子即法+ha1+a->2a+号即证心-分Na>0, 3 2 令g@)=心-号haa>0,则g(a=2a12a1 aa 令g'(a<0,则0<a<5;令g(回>0，则a>5； 2 2 所以8(a在0,2 上单调递减，在 2 92 上单调递增， 3 所以当a>0时，f(x)>2ha+一恒成立，证毕. 2 思考题：(0,2e] 【分析】将原不等式同构为e2+4x≥2ln(a)+ax,即e2x+4x≥ea)+2n(a),令 f(x)=e+2x,分析单调性可得lna≤2x-lnx,令h(x)=2x-hx(x>0)利用导数求出最值 得解。 【详解】由e2x-2lnx+(4-ad)x≥2lna,可得e2x+4x≥2n()+ax. 令f(x)=e+2x,易知f(x)在R上单调递增， 由e2+4x≥2n(a)+a=ea)+21n(a),可得f(2x)≥f(n(ax), 故2x≥ln(a),即lna≤2x-lnx. 答案第12页，共13页 令h()=2x-mx(x>0),则k(y)=2-1-2x-1 当0<x<时，N(x)<0,当x>时，(x)>0, 所以()在〔0》上单调适减，在行+回上单调递将。 则= =1+n2, 所以lna≤1+ln2,即0<a≤2e, 故正数a的取值范围是(0,2e]。 故答案为：(0,2e]. 答案第13页，共13页