5.1.2 导数的概念及其几何意义（第二课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦导数的几何意义、切线方程、导数符号与函数变化趋势及导函数概念，通过对比初中圆的切线定义与一般曲线切线的差异，结合割线逼近过程引出切线定义，搭建从旧知到新知的学习支架。 以合作探究与自主梳理结合，通过极限思想引导学生理解切线本质，培养抽象能力与推理意识，典例区分“在某点处”与“过某点处”切线问题，分层习题与自查自纠助力学生用数学语言规范表达，提升应用意识。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时） 【学习目标】 1. 理解导数的几何意义——函数图象在某点处切线的斜率。 2. 能根据导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程。 3. 会利用导数符号判断函数在一点附近的变化趋势（增、减及变化快慢）。 4. 理解导函数的概念，明确函数在一点处的导数与导函数的区别与联系。 【学习重点】 1. 导数的几何意义： 等于曲线在点 处切线的斜率。 2. 利用导数求切线方程。 【学习难点】 1. 以极限（逼近）思想定义切线，区别于初中圆的切线定义。 2. 从切线斜率角度理解导数正负与函数增减的关系。 学习任务一 导数的几何意义——切线的斜率 【合作探究】 1. 初中时我们如何判断一条直线与圆相切？（提示：根据公共点个数）对于一般曲线（如抛物线 ），还能仅凭公共点个数来定义切线吗？请举例说明。 1. 观察函数 的图象（想象一条光滑曲线），在点 附近取另一动点 。当点 沿着曲线无限靠近 时，割线 的位置会发生怎样的变化？这个变化最终会得到什么？ 1. 上述变化过程中，割线 的斜率与函数 在区间 上的平均变化率有什么关系？当 无限趋近 时，割线斜率的极限值对应什么？这个极限值在几何上又表示什么？ 1. 根据以上分析，试写出导数的几何意义： 【自主梳理】 1. 切线的定义（极限观点）： 在曲线 上任取一点 ，当点 沿着曲线 ________ 于点 时，割线 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点 处的 ________。 2. 导数的几何意义： 函数 在 处的导数 就是曲线在点 处的切线的 ________。 即 切线 3. 切线方程的求法（已知切点 和斜率 ）： 第一步：求导数 ； 第二步：利用点斜式写出切线方程：。 学习任务二 导数符号与函数变化趋势 【合作探究】 1. 观察高台跳水运动员高度函数 的图象（示意图：时间 为横轴，高度 为纵轴，曲线先上升后下降）。回答： 在最高点 处，切线与 轴平行，则 ________ 0，此时在 附近函数是 ________（上升/下降/平坦）。 在下降阶段的某点 处，切线斜率为负，则 ________ 0，此时函数在 附近 ________。 2. 比较下降阶段两个不同点 和 （），若 ，则哪一点附近函数下降得更快？这说明了什么？ 3. 根据导数几何意义，完成下列填空： 若 ，则切线斜率为 ________，函数在 附近单调递 ________，且 越大，变化越 ________。 若 ，则切线斜率为 ________，函数在 附近单调递 ________，且 越大，变化越 ________。 若 ，则切线 ________，函数在 附近 ________。 【自主梳理】 导数符号与函数变化的关系表： 的符号 切线斜率 函数在 附近的变化 变化快慢 ________ 单调递 ________ 越大，变化越 ________ ________ 单调递 ________ ________ 接近 ________ 学习任务三 导函数的概念 【合作探究】 1. 函数 在点 处的导数 是一个 ________（常数/变量）。当 在定义域内变化时， 也是 的函数，这个函数叫做 的 ________，记作 ________ 或 ________。 2. 函数在一点处的导数 与导函数 有什么区别与联系？ 区别： 是 ________（一个数）， 是 ________（一个函数）。 联系：。 3. 如何求一个函数的导函数？请以 为例，写出求导函数 的过程。 【自主梳理】 1. 导函数（简称导数）： 当 变化时， 是 的函数，称为 的导函数，记作 或 2. 函数在一点处的导数与导函数的关系： ，即点 处的导数等于导函数在 处的 ________。 【自查自纠】（正误判断） 1. 曲线在某点处的切线与该曲线一定只有一个公共点。 （ ） 2. 导数 的几何意义是曲线在点 处切线的斜率。 （ ） 3. 若 ，则函数在 处一定单调递增。 （ ） 4. 导函数 与函数 的定义域一定完全相同。 （ ） 5. 利用导数求切线方程时，必须先判断点是否在曲线上。 （ ） 【典例分析】 例1（在某点处） ：已知函数 ，求曲线在点 处的切线方程。 解： 例2（过某点处，需判断点是否在曲线上） ：求曲线 过点 的切线方程。 解： 【习题巩固】 1. 函数 在点 处切线的斜率为（ ） A.  B.  C.  D. 2. 若曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ） A.  B.  C.  D. 3. 函数 的图象如图所示（想象曲线：从左到右先下降后上升，在 处切线水平， 处切线倾斜角小于 处），则下列导数数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数 在 处可导，且 ，则曲线在点 处切线的倾斜角为（ ） A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定 5. （选做）求曲线 在点 处的切线方程，并判断该点附近函数的单调性。 学科网（北京）股份有限公司 $