5.1.2 第一课时 导数的概念 导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一课时 导数的概念 学案 学习目标 1了解导数概念的实际背景．　 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 情境导入 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析．作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念．那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数． 新知探究 知识点　函数的平均变化率 问题引导 　1.类比平均速度的概念，如何理解函数y＝f(x)的平均变化率？ 提示：如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝. 另外，图形上看，它代表割线AB的斜率． 2．类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？ 提示：瞬时变化率为 ＝ ，其几何意义是曲线的切线斜率． 知识点总结 1．函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝_． 1．平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f(x)图象上的两点(x0，f(x0))与(x0＋Δx，f(x0＋Δx))所在直线的斜率． 2．在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式． 典例探究 例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 解：(1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知＝4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， ＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. (3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. ∴＝2Δx＋8. 故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝ (2Δx＋8)＝8. 求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. (4)得瞬时变化率 . 变式训练 已知函数f(x)＝－. (1)函数f(x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ (2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？ 解：(1)∵f(x)＝－， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4， f(1.1)＝－， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝＝4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝＝. (2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝6. 思维提升 　导数的意义及应用 题型一　导数定义的应用 例2　(1)若函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝(　　) A．2　　　 B．1　　　　 C．　　　 D． 解析：B　根据导数的定义， ＝f′(1)＝1. (2)已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1　　　 B．－2　　　 C．1　　　 D．2 解析：B　由题意， ＝－ ＝－f′(3)，所以f′(3)＝－2. (3)利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝[＋2]－(＋2)＝，所以y′|x＝1＝ ＝ ＝－2. 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 变式训练 1．(1)(多选)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　) A. B. C. D. 解析：AC　对于A， ＝ ＝f′(x0)，A满足； 对于B， ＝2 ＝2f′(x0)，B不满足； 对于C， ＝f′(x0)，C满足； 对于D， ＝3 ＝3f′(x0)，D不满足． (2)已知函数f(x)＝求函数f(x)在x＝2和x＝4处的导数． 解：当x＝2时，f(x)＝3x2＋1， f′(2)＝ ＝ ＝ (12＋3Δx)＝12. 当x＝4时，f(x)＝2＋3(x－3)2， f′(4)＝ ＝ ＝ ＝ (3Δx＋6)＝6. 题型二　导数在实际问题中的意义 例3　(链接教材P65例2)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (2)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)从t＝0 min到t＝10 min时蜥蜴的体温的平均变化率为 ＝＝－＝－1.6， 它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (2)T′(5)＝ ＝ ＝－1.2， ∴T′(5)表示当t＝5 min时，蜥蜴的体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min. 1．导数的实际意义 导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小． 2．认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数f′(x0)反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况． 变式训练 2．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝ ＝＝3， 所以f′(2)＝ ＝3. f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)理解导数的概念，体会极限思想． (2)常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位． 课堂练习 1．若函数f(x)＝x2，则f′(－3)的值等于(　　) A.　　　 B．1　　　 C．－1　　　 D．－ 解析：C　f′(－3)＝ ＝ (Δx－1)＝－1. 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4　　　 B．4x C．4＋2Δx　　　 D．4＋2(Δx)2 解析：C　＝＝＝4＋2Δx. 3．若f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于________． 解析：因为＝＝＝， 所以f′(m)＝ ＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 答案：±2 4．求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－) ＝Δx＋， 所以＝＝1＋. ＝ (1＋)＝2， 所以f′(1)＝2， 则函数y＝x－在x＝1处的导数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一课时 导数的概念 学案 学习目标 1了解导数概念的实际背景．　 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 情境导入 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析．作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念．那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数． 新知探究 知识点　函数的平均变化率 问题引导 1.类比平均速度的概念，如何理解函数y＝f(x)的平均变化率？ 2．类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的几何意义是什么？ 知识点总结 1．函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝_． 1．平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f(x)图象上的两点(x0，f(x0))与(x0＋Δx，f(x0＋Δx))所在直线的斜率． 2．在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式． 典例探究 例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. (4)得瞬时变化率 . 变式训练 已知函数f(x)＝－. (1)函数f(x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ (2)函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？ 思维提升 　导数的意义及应用 题型一　导数定义的应用 例2　(1)若函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝(　　) A．2　　　 B．1　　　　 C．　　　 D． (2)已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1　　　 B．－2　　　 C．1　　　 D．2 (3)利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数． 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 变式训练 1．(1)(多选)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝求函数f(x)在x＝2和x＝4处的导数． 题型二　导数在实际问题中的意义 例3　(链接教材P65例2)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (2)求T′(5)，并说明它的实际意义． 1．导数的实际意义 导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小． 2．认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数f′(x0)反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况． 变式训练 2．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)理解导数的概念，体会极限思想． (2)常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位． 课堂练习 1．若函数f(x)＝x2，则f′(－3)的值等于(　　) A.　　　 B．1　　　 C．－1　　　 D．－ 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4　　　 B．4x C．4＋2Δx　　　 D．4＋2(Δx)2 3．若f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于________． 4．求函数y＝x－在x＝1处的导数． 学科网（北京）股份有限公司 $$