广东广州市华南师范大学附属南沙中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

南沙华附2025-2026学年第二学期3月月考 一、单选题 1.物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是() S S2 甲 S1 So O A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t。范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t=t。时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D.在t=t。时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 2.等差数列{a}中，S=11,S1=15,则a,+a,=() A.7 B.6 C.5 D.4 3.己知实数-1，，b,c,-4成等比数列，则abc=() A.-8 B.±16 C.16 D.±8 4.如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对的顶点C,则其中经过3条棱的路 线共有()条。 D A B B A.4 B.6 C.7 D.8 5.将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种 颜色可供使用，那么不同染色方法总数为 A.120 B.125 C.130 D.135 6.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x)为偶函数，'(x)是减函数，则 () 试卷第1页，共4页 A.f(1)<f(2)<f(-3) B.f(-3)<f)<f(2) C.f(2)<f(-3)<fI) D.f(-3)<f2)<f) 7.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、 乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1 名."对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列 可能的不同情况种数为() A.480 B.384 C.360 D.288 8.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用， 比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13， 21,34,55,89，，即4=a2=1,4.=a-1+4-2(≥3，n∈N),此数列在现代物理、准 晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列b}, 则b+b,+b++b3的值为(). A.2696 B.2697 C.2698 D.2700 二、多选题 9.已知等差数列{a}的公差为d,前项和为Sn,则下列说法正确的有() A.若d>0,则数列{an}一定是递增数列 B.若a=5,d=-2,则a,=-1 C.S.一定是关于n的二次函数 D.若4+a=10,则a4=5 10.己知a>0,x,2是函数f(x)=x3+2+3x+1的极值点，则（) A.实数a的取值范围是(3，+o) B.函数f四的图象关于点（号0对称 C.存在实数a,使得-3是f(x)的极大值点 D.若f)+f)>2,则a36 11.在下列图形中，能够不抬起笔、不回笔地一次性画出的是() 试卷第2页，共4页 A B 三、填空题 12.曲线y=e+1在x=0处的切线也是曲线y=n(x+1)+a的切线，则实数a= 13.若S=0+1+2+3+…+100!,则s的个位数字是 14.已知函数f(x)=x(x-2)2,对任意x∈[0，m],都有f(x)≤，则m的取值范围为 四、解答题 15.已知函数f(x)=x3-12x (1)求函数f(x)的单调区间： (2)求曲线y=f(x)在点(3，-9)处的切线方程. 16.己知数列{a}的首项4=1，且满足a+1=2a.+1. (1)求证：{a,+}是等比数列； (2)求数列{a}的通项公式及前10项的和. 17.某中学预计在“五·四青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的 高三学生.学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言， 一个应届学生代表发言，根据不同的要求，求本次活动的安排方法. (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数 字作答) 试卷第3页，共4页 18.己知函数f(x)=x-hx+1. (1)g(x)=f(x)-x2在(0，+n)单调递减，求m的取值范围； (2)若∫(x)有两个不同的零点，求m的取值范围. 19.己知数列{an},其前n项和为Sn,a=2,3Sn=(n+2)a. (1)求{a}的通项公式： (2)若b=1 名十2”设数列地的前n项和工，求证：T。<) (3)若a,-2·2”≤4对neN恒成立，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 《2026年3月25日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 C B D ⊙ & ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1.C 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到，范围内，甲、乙的平均速度都为之，故A、B错误： 因为甲对应的曲线在t=t。处的切线的斜率大于乙对应的曲线在t=t。处的切线的斜率 故在t=。处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 2.D 【详解】由S,=11,S2=15,则S2-S=4,+a4。=15-11=4, 在等差数列{a}中，a4+4,=a,+a,=4. 3.A 【分析】根据等比数列的下标和性质可得： 【详解】由题意得，ac=-1x(-4)=4,b2=-1×(4)=4, 又奇数项的符号相同，所以b<0,则b=-2, 故abc=-8 故选：A 4.B 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可 【详解】从顶点A出发有3条路线，分别经过AB,AD,AA. 经过AB有2条路线，经过AD有2条路线，经过AA有2条路线. 根据分类加法计数原理可知，从顶点A到顶点C,经过3条棱的路线共有2+2+2=6条， 故选：B. 5.A 答案第1页，共11页 【分析】将五棱锥的顶点染色有4种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为A,B,C,D,E,先 涂A,再涂B,E,然后涂C,D,再根据分步乘法原理求解即可」 【详解】将五棱锥的顶点染色有4种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为A,B,C,D,E, 先涂A,有3种方法，再涂B,E B,E两点颜色可相同也可不同，分成两类：一类B,E同色，则C,D有3种涂色方法，可知 共有3×2×1×3=18种方法， 另一类B,E同色，则C,D共有2种涂色方法，可知共有3×2×2=12种方法， 综上所述可得不同染色方法总数为4×(18+12)=120种. 故选：A 6.D 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求出f'(0),进而确定函数f(x)在[0，+o)上 的单调性并比较大小 【详解】由函数f(x)的定义域均为R,且f(x)为偶函数，得f(-)=f(x), 求导得-f'(-x)=f'(x),则f'(0)=0,由f'(x)是R上的减函数， 得当x>0时，'(x)<f'(O)=0,因此函数f()在[0，+o)上单调递减， 所以f(-3)=f(3)<f(2)<f) 7.B 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没 有要求的班级名次即可 【详解】分步乘法计数原理，分三步完成. 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有4种可能： 乙班的名次只可能是第2,3,4,5名，有4种可能： 剩余4个班的名次有A1=24种可能 所以6个班的名次排列有4×4×24=384种不同情况. 故选：B 8.B 【分析】列举数列b},得到数列的周期为6求解。 【详解】解：由题意得：数列b}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，… 所以该数列的周期为6， 答案第2页，共11页 所以b+b2+b+…+b2022+bo2g =337(b+b2+b+…+b)+b23 =337×8+b =2696+1=2697, 故选：B 9.ABD 【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求4，的值，可判 断B的真假：根据d=0时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法 求a,的值，可判断D的真假 【详解】对A:根据等差数列的概念，当d>0时，等差数列{a}一定是递增数列，故A正 确： 对B:若4=5，d=-2,则a4=4+3d=5-6=-1,故B正确： 对C:当d=0时，S,=a不是关于n的二次函数，故C错误； 对D:当4，+a=10时，4=马十a=10=5,故D正确 22 故选：ABD 10.ACD 【分析】根据极值点可知导函数有两个零点，利用判别式求解可判断A,根据函数对称的性 质取特殊点判断B即可，利用∫(-3)=0求出a,检验即可判断C,根据A及韦达定理，化 简(x)+∫(x),解不等式判断D 【详解】因为f(x)=3x2+2m+3, x1,x2是函数f(x)=x3+2+3x+1的极值点， 所以x1,x2是f"(x)=3x2+2+3=0的两个不等的实数根， 所以△=4a2-4×3×3>0,解得a>3或a<-3,由a>0, 所以a>3,故A正确； 答案第3页，共11页 在西数)的图象上取点P0.则P关于点（号0的对称点为P(冬- 2a 27+9 不恒等于-1， 27 故函数)的图象关于点〔令0不对称，故B错误， 当-3是f(x)的极大值点时，f"(-3)=3(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5, 当a=5时，f'()=3x2+10x+3=(x+3)(3.x+1), 所以当x<-3时，"()>0，f(x)在区间(-”，-3)上单调递增， 当3x时，了00，了在区同可3 上单调递减， 所以-3是f(x)的极大值点，故C正确： 由A选项知，x,x,是f'(x)=3x2+2m+3=0的两个不等的实数根， 所以气=受=1 所以f(x)+f(x2)=x+a+3x+1+(++3x,+1) =(x+x)+a(x2+x)+3(化+x)+2 =(s+x)s+x)'-3xx)+a(x+x)-2ax+3(s+x)+2 4a-54a+54>2, 27 由4a-54a+54>234a-54a>0→2ad-270, 27 a>0,所以2a2-27>05a2、273g →a> ,故D正确 2 11.ABD 【分析】根据节点处连接的线为偶数条则能一笔画，奇数条不能一笔画求解 【详解】将各图形绘制经过点的顺序描绘如下（顺序不唯一）： 2(8) A.6<1(13) 10 5412 答案第4页，共11页 2(6) B.1(5,9) 3(7) 4(8) 2(6 3(10) 7(11) D 5(9) 4(12) 1(8,13) 故ABD均正确： 对于C选项，图中存在4个节点处与5条线相连接， 无法用任何方式将其不抬起笔、不回笔地一次性画出，故C错误. 故选：ABD 12.2 【分析】利用导数的几何意义求出曲线y=e*+I在x=0处的斜率，求出切点，利用点斜式 求出切线方程，设y=n(x+1)+a的切线的切点为(x,%),利用导数的几何意义求出曲线 y=lh(x+I)+a在(x,)处的切线的斜率，由y=e*+1在x=0处的切线也是曲线 y=lh(x+l)+a的切线，通过斜率相等得到x。,将x。代入y=ln(x+1)+a得到。，从而得到 曲线y=lh(x+l)+a的切线的切点坐标，又切点在切线y=x+2上，代入得到a 【详解】将x=0代入y=e*+1,得到y=2,则切点为(0,2)， y=e+1的导数y=e,则k=y'lx=。=e°=1， 则切线方程为y-2=1(x-0),即y=x+2. y=血(r+l)+a的导数y= x+1’ 设y=ln(x+)+a的切线的切点为(x,y), 则k=y1Fx+1 1 因为y=e+l在x=0处的切线也是曲线y=n(x+1)+a的切线， 答案第5页，共11页 所以k=k,所以 。士=1，解得=0， 将x。=0代入y=ln(x+1)+a得到。=h(0+1)+a=a, 则切点为(0，a@),又切点在切线y=x+2上，则有a=2. 故答案为：2. 13.4 【分析】利用阶乘的公式计算即可得解 【详解】01=1,1！=1,21=2,3！=6,4！=24， 从51开始一直到100！的个位数字都是0. 要求$的个位数字，则只要将前面五个数加起来， 即1+1+2+6+24=34. 即S的个位数字就是4. 4 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即 可 【详解】f(x)=x(x-2)2→f'(x)=(x-2)2+x.2(x-2)=(x-2)(3x-2), 当xe0到时.了0树华调猫n。 当e后时，了01单调通藏。 当x∈(2，+o)时，'(x)>0,f(x)单调递增. 当m0引时。当血a则时，该径数竿调运绍。 所以f(x)s=f(m）=m(m-2, 所以对任意x∈[0，m],都有f(x)≤，一定有m(-2)≤m成立， 解得1≤m≤3，这与m∈0引相不盾，不将合思意： 当∈ 保2时，当Q则of)传八-品 所以对任意x=0网，都有f0≤m,一定有}m废立，百=(， 答案第6页，共11页 所以m∈ 器 当m∈(2，+o)时，设nax{a,b}表示a,b两数中最大的数， 因为当0引 时，f(x)单调递增， 当xe[2时，了儿)单词运减。 当x∈(2，+o)时，f(x)单调递增， 所以当x∈[0，则时，f(yx=max )叫 对在意x∈0侧，都有J≤m,一定有/)sm且了o侧=m(m-2八≤m, 解得2<m≤3， 综上所述： 32≤m≤3， 2 32 所以的取值范围为 273 15.(1)f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+0)：单调递减区间为(-2,2). (2)y=15x-54 【分析】(1)利用导数求解即可： (2)利用导数的几何意义求解即可. 【详解】(1)因为f'(w)=3x2-12, 令f'(x)>0,得x<-2或x>2, 所以f(x)的单调递增区间为(-0，-2)，(2+0)： "(x)<0,得-2<x<2,f(x)的单调递减区间为(-2,2) 综上，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)：单调递减区间为(-2,2) (2)因为k=f"(3)=15,且f(3)=-9, 所以切线方程为y+9=15(x-3), 即y=15x-54 所以曲线y=∫(x)在点(3，-9)处的切线方程为y=15x-54. 16.(1)证明见解析 答案第7页，共11页 (2)4.=2-1,2036 【分析】(1)利用递推证明等比数列即可： (2)利用等比数列通项公式和求和公式即可求解 【详解】(1)因为a1=2a+1,所以a1+1=2(a,+1), 又a=1,所以a+1=2,an+1≠0， 所以t=2,即扣+号是首项为2，公比为2的等比数列. a.+1 (2)由(1)得a+1=2×2-1=2",即4，=2”-1， 设数列{a}的前n项和为Sn, 所以8。=4+4*…+a=(2-1+(2-…+0-1)-20-2 -10=2036. 1-2 17.(1)14400 (2)30960 (3)20160 【分析】(1)分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任 选3个，安排三个发言节目即可： (2)分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且 励志歌曲乙不排在最后一个求解： (3)根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前， 是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解， 【详解】(1)解：根据题意，分2步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有A种情况，排好后有6个空位， ②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有A种情况， 则三个发言不能相邻的排法有A;×A?=14400种： (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：A种情况， 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：A。·A。·A 种情况， 答案第8页，共11页 共有：A+A。A。A。=30960种情况. (3)根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应 届学生代表发言.共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之 前，是固定顺序，8个位置选2个，有C种方法，其它位置，任意排列， 共有的方法数：C·A:=20160种情况. 18.(1)(-,22 a) 【分析】(1)题设等价于g'(x)≤0恒成立，结合分离参数法求最值即可求解； (2)求导，通过讨论≤0，>0讨论函数单调性、函数值情况即可求解. 【详解】(1)由题意g(x)=x-lnx+1-x2, 因为g(x)在(0，+∞)单调递减， 所以g()=士2x≤0在(Q+）上恒成立，即m≤2x在(Q+四)上恒成立， 又}2x22x=2万当且仅当}2日x=9时取等号， 2 所以m≤2√2，即m的取值范围是(-0,2V2]: 2)由f)=m-c1,得了()-m是定义域为0+）)， 当m<0时，了)=加<0在(Q+)恒成立，故f(在(0+)单调递减。 则f(x)在(0，+∞)最多有一个零点，不合题意，舍去： 当m≥0时，令f=0士0得x品 〔0时.f<0.f付单调减 e品一时，了因0，倒年湖滋。 且当x→0时，-lnx→+w,所以f(x)→+o, 当时，f到=m+1=a产动 因为此时血x→0，上→0，所以f(x)→+0， 答案第9页，共11页 要使得∫(x)在(0，+∞)有两个不同的零点， 1） 只需满足∫ L =1-1n+1<0即可，解得m<。,又m>0, 1 所以0<m<e, 综上可知：f(x)在(0，+∞)有两个不同的零点，m的取值范围是 19.(1)a.=n(n+1) (2)证明见解析 3)[1,+∞) 【分析】(1)根据Sn-Sn-1=a,(n≥2)作差得到(n-1)an=(n+1)a-,再用累乘法计算可得； 2)由1)可得=1 2nn+2 利用裂项相消法求和即可得证： (3)参变分离可得1≥ +14对mN恒成立，令d-nn+1)4 2为 ,利用作差法说明 2” d的单调性，即可求出(d,)c,即可得解。 【详解】(1)因为3S,=(n+2)a,当n22时3S1=(n+1)a1 所以3Sn-3Sn1=(n+2)a.-(n+1)a-1, 即3a.=(n+2)a。-(n+l)a-1,所以(n-1)a.=(n+l)an1, a州引所以g-3及号，品.46 即8=n+1 a1'a,2?4344,-十 (n≥2)， a-1n-1 累乘可得=n+) 41×2 2,又4=2，所以an=n(n+1), 当n=1时a,=n(n+1)也成立，所以a=n(n+1): (2)由(1D可得6=11=11】 a+nm(n+2)2nn+2; -北北0县)+指 号日 11 0点)品导 答案第10页，共11页 (3)因为a-·2”≤4对neN恒成立， 即n(n+1)-2.2”≤4对neN恒成立， 即≥m+1)-4对n∈N恒成立， 3分 令d=n+1)-4 2” 则d-d=0+20+1)4n+14-心2++6-+2)-3) 2*1 2 2 所以0<n<3时dnH-dn>0,当n=3时dn+-dn=0,当n>4时dn+1-dn<0, 即d(d(d,=d〉d)d。>…, 所以(d)=1,所以≥1，即实数元的取值范围为[1，+0)： 答案第11页，共11页