山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试题

**基本信息** 高二期中数学试卷以AI公司成绩、旅游投诉等现实情境为载体，通过线性回归、概率递推等问题设计，考查统计概率、函数导数等知识，体现数据意识、模型观念与逻辑推理的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相关关系、二项式定理|基础概念辨析，如身高与体重的相关关系判断| |多选|3/18|条件概率、残差分析|选项分层，如结合残差图分析回归方程精确度| |填空|3/15|轨迹方程、计数原理|情境应用，如卡片有放回抽取的计数问题| |解答|5/77|线性回归、正态分布、函数零点|综合探究，如旅游投诉回归预测、投篮比赛概率模型构建|

上党区一中2025-2026学年第二学期高二期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列两个变量中，具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与棱长 B. 匀速行驶的汽车的行驶路程与时间 C. 人的身高与体重 D. 人的身高与视力 2.已知集合（） A. B. C. D. 3.已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次基本技能比武大赛中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则这次比武大赛中，该公司的平均成绩和方差分别为（） A. 115分，65 B. 115分，140 C. 120分，20 D. 120分，75 5.如图，正方体中，的中点为N，则异面直线 与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6.2026年某单位跨年晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加全的区春节晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（   ） A． B． C． D． 7.下列结论正确的是(  ) A．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 B．命题的否定是 C．一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则m=12 D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低 8.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（    ） A． B．展开式中的常数项为45 C．含的项的系数为-210 D．展开式中的有理项有6项 10.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占总人数的40%、30%、30%，其中一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%、70%、80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A.该学生眼睛近视的概率为0.69 B.该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C.如果该学生是高二年级，那么该学生眼睛不近视的概率为0.3 D.如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 11.已知函数的定义域均为R，，，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数，则=_________. 13.已知A、B两点的坐标分别为，直线AM、BM相交于点M，且他们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是_______________． 14.一个盒子里装有六张卡片，分别标有数字1、2、3、4、5、6，这六张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c，则满足的情况有_____种. 四、解答题：（本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）随着人民生活水平的提高，国内旅游业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气、航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系. x 10 20 30 40 50 y 1 3 4 5 7 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数． 参考公式：． 16.（本小题满分15分）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17.（本小题满分15分）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3:2的比例混合在一起. （1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； （2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 18.（本小题满分17分）已知函数． （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 19.（本小题满分17分）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； （2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； （3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明：. 上党区一中2025-2026学年第二学期高二期中考试 数学学科参考答案 1-8 CABB DBCD 9-12 ABD AC ACD 12. 5 13. 14. 54 15.【解】（1）， -----------4分 ， ， ， -------------7分 ， -------------9分 所以y关于x的线性回归方程是． ------------10分 （2）当时，， 所以旅客的投诉次数约为11次． ------------13分 16【解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 -------3分 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. -------5分 （2）的可能取值为. --------6分 ; ; ; --------11分 的分布列为： 0 1 2 --------13分 数学期望. ---------15分 17【解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为，--------2分 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 --------3分 从这批混合零件中随机抽取一件事甲生产线生产的概率为，是乙生产向生产的概率为，----------4分 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 ----------6分 （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且 ----------7分 --------12分 所以的发布列为 0 1 2 3 4 P -------13分 所以 -------15分 18 【解】（1）当 -------1分 ------2分 切线方程为 ------3分 （2）函数的定义域为， --------4分 若． 所以在单调递增，在单调递减； --------6分 若． 所以在单调递增，在单调递减； --------8分 所以在单调递增； ---------9分 所以在单调递增，在单调递减； --------11分 综上：，在单调递增，在单调递减； 在单调递增，在单调递减； 在单调递增，在单调递减； ---------12分 （3） 令，则问题转化为 则， 所以在单调递增，在单调递减， --------14分 所以的大致图像为 --------15分 要使，则 即，所以a的取值范围是 --------17分 19【解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况一：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况二：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. --------2分 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. --------4分 （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. ------5分 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； --------6分 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， ---------8分 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， --------10分 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， ---------11分 所以. --- ------12分 （3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. -- ------13分 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. --------14分 当为奇数时，，，单调递增， 所以，且. -------15分 当为偶数时，，，单调递减, 所以，且 --------16分 综上，. --------17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $