山西省长子县第一中学等校2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测数学试题

2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D:随机变量X服从二项分布XB(4,子）∴P(X=2)=C·(子).(1-3）)=员 2.A因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.即该运动员罚球1次的得分 X的均值是0.8. 3D由题意知，X~B(5,3 子3)，所以0=5Xn子=3，解得m=2所以X一B(6,号)，所以D(X)=5X 是×(1-是)=g 4.D含x3的项的系数为：一(C+C%+C+C)=一(10+20+35+56)=一121. 5.B因为A,B相互独立，故P(AnB)=PAP(B)=子×合=子 6.D函数y=2在R上单调递增，而函数f(x)=2在区间(0,1)上单调递减，则有函数y=x(x一a)= (x一号)）-宁在区间(0,1D上单调递减，因此号≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，十o∞).故选，D 7.B由题意可得：合+p叶号=1，解得p=合，因为BX)=2,所以0X合+2X合十a×号=2，解得a=3.所 以DxX0=(0-2y×合+(2-2)2X号+(3-2)2×号=1.所以D2X-3)=4D(X0=4. 8.C当面SAB与面SDC同色时，面ABCD有4种染色方法，面SDC有3种染色方法，面SAD有2种染色方 法，面SAB有1种染色方法，面SBC有2种染色方法，即4×3×2×1X2=48种；当面SAB与面SD℃不同 色时，面ABCD有4种染色方法，面SDC有3种染色方法，面SAD有2种染色方法，面SAB有1种染色方 法，面SBC有1种染色方法，即4×3×2×1×1=24种.故不同的染色方法总数为48+24=72. 9.AB在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(B引A),故A中说法错误.·P(AB)=PAB), P(B)' PBA),P(A)与PCAB不一定相同，放B中说法错误若事件A与B相互独立，即PCB) =PAP(B,且PA)>O,则PBA)=PB)=PAPB)=P(B:反之，若P(B1A)=P(B,且P(A) P(A)P(A) >0,则P()=2PA=PAP(.即事件A与B相互独立，因比，当PCA)>0时，当且仅当事 件A与B相互独立时，有P(BA)=P(B),所以C中说法正确.P(B|A)表示事件A发生的条件下，事件B 发生的概率，这时AB也发生了，D中说法显然正确.故选AB. a+b+c=1, 10.ABC由题知3a=5b, 解得a=0.5,b=0.3,c=0.2,A选项正确；所以E(X)=1×0.2+2×0.3十3× 、2b=3c, 0.5=2.3,B选项正确：D(X)=(1-2.3)2×0.2+(2-2.3)2×0.3十(3-2.3)2×0.5=0.61，C选项正确： D(2X)=2·D(x)=2.44,D选项错误.故选ABC. 【高二检测·数学参考答案第1页（共4页）】 1.ABC由正态分布的函数表可得(0)=号，P(<a)=P(-a<a)=2Φ(a)-1,Φ(-)=1-(r即 得A、B、C均正确.而P(>a)=1一P(≤a)=1-[2Φ(a)-1]=2[1-Φ(a)],即D不正确.故选ABC. 12.9由分类加法计数原理可知不同选法的种数是5+4=9（种）， 13.5+6.x+15x2+20+15x-2+6.x4+x6 (x+I)=(z+x-)=Q+4rx-+Grx+ C%x3x3+C4x2x4+C8xx-5+C8x6=x6+6.x+15x2+20+15.x2+6.x4+x-6. 14.号 法一：依题意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为53=125，其中X=1:三次抽取同一球，选择 球的编号有5种方式，放P(X=D=亮一宏，X=2:恰好丙种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现 一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种 可能，故事件X=2的可能情况有5×4X3=60种，故P(X=2)= 器-号X=3:三种不同球被取出，由排 列数可知事件X=3的可能情有况5×4×3=60种，故P(X=3)= 器-号所以E(X)=1XPX=1D+2 ×PX=2)+3×P(X=3)=1X7高+2x号+3×号- 2525 法二：依题意，假设随机变量X,其中i=1,2,3,4,5:其中X,= 1,这3次选取中，球至少被取出一次，则 0,这3次选取中，球i一次都没被取出， X=∑X,由于球的对称性，易知所有ELX]相等，则由期望的线性性质，得ELX]=EL∑X]=2E[X]= 5E[X],由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球i的概率为 P(X=0)=(告)广=赏因此球i至少被取出一次的概率为：PX=D=1-酷头放ELX]=品， 所以优X灯=5X]=5×品-器 15.解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 =Ai00=100X99X98=161700:…… A 31 (2)从2件次品中抽出1件的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件的抽法有C种，因此抽出的3件中 恰好有1件次品的抽法种数为 CXC8=2X98X97=9506,………8分 2！ (3)方法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根 据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 C2XC38十C号XC8=9506+98=9604.…. …13分 方法2：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都 是合格品的抽法种数，即 Cm-C%=161700-98X97X96=9604. 3！ 13分 【高二检测·数学参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)令x=1可得，展开式中各项系数之和为（一1）”，而展开式中的二项式系数之和为2， .2-(-1)=255,n=8.……4分 (2)T,+1=C6x号(-2)x克=(-2)rC6x号-克， 当8一专为整数时，T为有理项，则=2或=8， 7分 所以展开式所有的有理项为：112x,256.x-4 9分 (3)设第十1项最大，且r为偶数 (-2)rC8≥(-2)+2C82 ,解得r=6, 12分 (-2)C8≥(-2)2Cg 所以展开式中系数最大的项为(-2)°C③x宁-号=1792x号. 15分 17.解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”. (1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试 验的样本空间2包含20个等可能的样本点，即 n(2)=A号=5X4=20.…3分 因为a(AB)=A×AN=3X2=6,所以P代AB=0=易=是 …8分 (2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的 概率显然P(A)=是.利用条件概率公式，得 3 P(BIA)=P(AB) 10 P(A) 3 2. 15分 5 18,解，(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对该题目的概率为0专。 …3分 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,则P(A)=0.2,…4分 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,则P(A)=0.25, …5分 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)=P(A)P(B)十P(A)P(B)=0.35,…7分 而X可取0,1,2，P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6,…10分 故X的分布列如下表： X 0 2 P 0.050.350.6 11分 故E(X)=1X0.35+2X0.6=1.55.…… 13分 (3)P1<P2 17分 设D为“甲校掌握该知识的学生”，因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 放PD)+子1-P(D)=0.8即n+是×1-A)=Q8,故p=号 【高二检测·数学参考答案第3页（共4页）】 同理有0.85p:十十×(1-)=0.75，放y=青，放P<. 19.(1)解：为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故巾3=C(们一p)0p3=p3,…2分 p:为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故p1=C9(1一p)1p3+C(1一p)°p=4p3(1一p)+p=p(4一3p). 4 分 (2)解：由(1)得p3=p,p:=p3(4-3),同理9g=q,94=q3(4一3q), 若8舟-+g-1.则6-48号-器得8-积-（名）-4 q4一q3 94一934(4-3q)-g3 由于0<pg<1,所以p=2g=21-)>0,解得力=号 …8分 (3)证明：我们有 a-am=Cp女-Cp产1女-Cp2女-Cpr-女-Cp1g =(I-p》ECpr女--对-EC.p-g1-C'p21t -CpCp. 10分 以及pe2一p1=2C3+p寸-C+1p2+1-女 =2CP-寸+2C1p+-g-C选+1pw1-g =2Cs+女+C3+1pg+(p-1DC5P+d =2Cp寸+C31pq-Cp产t =C1pPtg+C8pq-C+1p中=Cpq, 至此我们得到p2m一p2mh=C%1pm+”,p2m+2一p2m+h=C%n+1p+2q”，…12分 同理有q2m一q2m+1=C1qm+1p”,92m+2一q2m+1=C8+1q+2p.… 13分 故p2m一p2m+1=C81pm+1d”=p·(C31pgm)>q·(Cpq")=C8q"+1pm=q2m一q2m+1,即p2m+1- g2m叶1<p训g2m…14分 另一方面，由于 pm+2一pm=(pm+2一p2m+1)一（p2n一p2n+1)=C8m+1pm+g”-C8n'bm中”=pq”·p(p·Cn+1一Cgn1) =pg·(:9m品am）2点rg·p(） (2m)1 且同理有92r·g女》。 16分 放结合p(。2）(g）=叶g）2g)=(g》件9= (p-q)>0, 就能得到p2w十2一p2m>q2m+2一qn,即p2m一q2n<pan+2一q2m+2,证毕. 17分 【高二检测·数学参考答案第4页（共4页）】2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测 数 学 皇 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2。考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 圜 3.本试卷命题范围：选择性必修第三册（第六、七章)。 的 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 散 是符合题目要求的 长 1已知随机变量X服从二项分布X~B(4, ,则P(X=2) 的 ? A号 B号 c n号 2.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么 他罚球1次的得分X的均值是多少？ 女 A0.8 B.0.64 C.0.2 D.0.16 起 3.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5 安 次，设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= A号 B号 C.1 n号 4.在(1一x)5+(1一x)+(1一x)7+(1一x)8的展开式中，含x3的项的系数是 A.74 B.121 C.-74 D.-121 5.己知事件A,B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=,事件B发生的概率为P(B)= 则事件A∩B发生的概率P(A∩B)为 A合 B子 c D.0 器 6.设函数f(x)=2一在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 A.(-∞，-2] B.[-2,0)》 【高二检测·数学 第1页（共4页）】 11167B C.(0,2] D.[2,+∞) 7.若随机变量X的分布列如表，且E(X)=2,则D(2X一3)的值为 0 2 A.5 B.4 C.9.2 D.1 8.如图，将一个四棱锥的每一个面都染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如 果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 A.36 B.48 C.72 D.108 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中不正确的是 A.在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B) B.对事件A,B,有P(BIA)=P(A|B) C.若P(B|A)=P(B),则事件A,B相互独立 D.P(B引A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率 10.下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3a=5b,2b=3c,则 A.a=0.5 PA B.E(X)=2.3 C.D(X)=0.61 D.D(2X)=1.22 11.设椭机变量服从正态分布N(0,1),记D(x)=P(<x),则下列 结论正确的是 A(0)=号 B.P(l|<a)=2Φ(a)-1 C.(x)=1-(-x) D.P(||>a)=1-p(a) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 13.(x+)°的展开式为 14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取 出一次的球的个数X,则数学期望E(X)= 【高二检测·数学第2页（共4页）】 11167B 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分) 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件 (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 16.(15分) a吧知（版-是） 的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求n的值； (2求（版-是） 展开式所有的有理项， 3)求（五-2） 展开式中系数最大的项， 17.(15分) 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放 回.求： (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率 【高二检测·数学第3页（共4页）】 11167B 18.(17分) 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有 75人答对，用频率估计概率 (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率； (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数 学期望； (3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则 有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p 与p2的大小.（结论不要求证明） 夏 农 数 19.(17分) 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p ☒ (合<p<),乙胜的概率为q,p十q=1,且各球的胜负相互独立，对正整数k>2,记：为打 完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，9为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3,p(用p表示)； (2)若二色=4，求p: q4—q3 (3)证明：对任意正整数m,p2m+1一92m+1<p2m一q2m<P2m+2一92m+2· 【高二检测·数学第4页（共4页）】 11167B