精品解析：2026年黑龙江大庆市第十六中学等校升学模拟大考卷(一) 数学试卷

二○二六年大庆市升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. B.   C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 110° B. 150° C. 120° D. 100° 6. 下面说法正确的个数有(　　) ①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 把一副三角板按图甲所示的方式放置，其中，， ，，，把三角板绕点C顺时针旋转得到 (如图乙)，与交于点O，连接，则线段的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 8 D. 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A．过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象、反比例函数的图象分别交于点C、D．若，则a的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 9. 如图， 为正方形的中心， 分别为的中点，，点 从点 出发沿方向匀速运动，同时点从点 出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点 运动到点 时，两点同时停止运动．设点 运动的路程为的面积为 ，则 随 变化的函数图象大致是（ ） A. B.     C.   D. E. 10. 《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，， ，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点 在线段上平移至点，连接， 与直线 分别相交于点 ，点（如图2），则平行四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 25 D. 二、填空师（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 分解因式：__________． 13. 已知 与x成正比例，且时，y的值为7，求y与x的函数关系式_____． 14. 如果不等式组无解，则m的取值范围是______． 15. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 16. 如图，菱形中，对角线 与相交于点 ，按如下步骤作图：以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点 、 ，再分别以点 、 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线 ， 交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 17. 如图所示，为美化市容，绿化处的工人师傅为街道两侧设计了花坛和盆花的摆放方式，那么n座相连花坛四周所需的盆花数目为______________． 18. 如图，矩形中，，， ， 分别为边 和 上的两个动点，满足，将四边形沿直线 翻折，得到四边形；其中为 的对称点，则的最小值为___________． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值∶，其中． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 22. 圭表（如图1）是中国古代的一种天文仪器，由直立的标杆（表）和南北方向水平放置的与标杆垂直的长尺（圭）组成，用于测定正午的日影长度，进而推算节气等．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直于圭 ，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为 ，夏至正午太阳高度角（即 ）为，表的长为4.75米，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长）．（结果精确到0.1米，参考数据： ，， ，） 23. 为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，槐荫区某校开展主题为“乐学悦读”的读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A．2本；B．3本；C．4本；D．5本，将各类的人数绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生 人， ，将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D类型所对应的扇形的圆心角度数是 度； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 24. 如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O， ． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求四边形的面积． 25. 在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． （1）求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． （2）该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，直线AB交x轴于点C，连接AO、连接BO． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求； （3）根据图象直接写出当x取何值时，? 27. 如图，是 的直径，点C是 上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接 并延长交的延长线于点P． （1）求证：； （2）如图2，延长 交于点M，若，，求的长． 28. 如图，抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 ， ． （1）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． （2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 的平行线交线段 于点 ． ①试探究：在直线上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点 ，与直线 交于点．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年大庆市升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. B.   C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值、有理数乘方、利用相反数化简多重符号等知识点，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0成为解题的关键． 分别利用有理数乘方、相反数化简，然后求出绝对值，最后比较即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是． 故选A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项B：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项C：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意． 3. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数，已知的溶度积约为0.00000000014，将数据“0.00000000014”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， 是正数；当原数的绝对值小于1时， 是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由正方体组成的几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到图形是解题的关键．根据从正面看到图形作判断即可． 【详解】解：由题意可得：这个几何体的主视图为： 故选B． 5. 若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 110° B. 150° C. 120° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】圆锥的底面半径是，母线长，圆锥底面周长是，根据弧长的公式可求出侧面展开图的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得： 圆锥底面周长：， 母线长是，则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形和圆锥的相关计算，解题的关键在于理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 6. 下面说法正确的个数有(　　) ①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【详解】解：①∵三角形三个内角的比是1：2：3， ∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x， ∴x+2x+3x=180°，解得x=30°， ∴3x=3×30°=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本小题正确； ②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°， ∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确； ③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点， ∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确； ④∵∠A=∠B=∠C， ∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x， ∴x+x+2x=180°，解得x=45°， ∴2x=2×45°=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本小题正确； ⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差， ∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和， ∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确； ⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和， 由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， ∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确． 故选D． 7. 把一副三角板按图甲所示的方式放置，其中，， ，，，把三角板绕点C顺时针旋转得到 (如图乙)，与交于点O，连接，则线段的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明 是等腰直角三角形，即可求出和，用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵旋转的角度为， ∴， 又∵ 。 ∴ 是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何旋转问题，涉及到等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A．过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象、反比例函数的图象分别交于点C、D．若，则a的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】用a表示出和的值，列出不等式，解得即可． 【详解】解：过点平行于x轴的直线与反比例函数的图象交于点D， ∴D的纵坐标为 ， ∴将纵坐标代入得，， ∴ ， 过点且平行于x轴的直线与一次函数的图象交于点C， ∴C的纵坐标为 ， ∴将纵坐标代入得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，；当时， ； 综上所述， 或； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，正确表示出线段的长度分情况讨论是解题的关键． 9. 如图，为正方形的中心， 分别为的中点，，点 从点 出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点 运动到点时，两点同时停止运动．设点 运动的路程为的面积为，则随 变化的函数图象大致是（ ） A. B.     C.   D. E. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点 在上，点在上，求得 ，故图象是正比例函数，当时，点 在上，点在 上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点 在上，点在 上，求得，据此可求出答案． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点 在上，点在上，如图， ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点 在上，点在 上，如图， 此时， 为 中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点 在上，点在 上，如图， 此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 10. 《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，， ，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点 在线段上平移至点，连接， 与直线 分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，正确列出方程是解答本题的关键．设正方形的边长为x，证明，则，得到 解得，即可求出正方形的边长为，即可得到答案． 【详解】如图1，设正方形的边长为x， 根据题意得，四边形都是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵平行四边形的面积 故选：B． 二、填空师（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，求解自变量的取值范围即可． 【详解】由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零， ∴， 解得：． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式 ． 13. 已知 与x成正比例，且时，y的值为7，求y与x的函数关系式_____． 【答案】 【解析】 【分析】设函数关系式为，将时，y值为7代入求出k即可得到答案. 【详解】解：∵ 与x成正比例， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查求函数关系式，设函数解析式后将x与y的对应值代入解答. 14. 如果不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】m≥2 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，结合大大小小无解了可得答案． 【详解】解：解不等式x+8≥4x﹣1，得：x≤3， 解不等式x﹣m＞1，得：x＞m+1， ∵不等式组无解， ∴m+1≥3， 解得m≥2， 故答案为：m≥2． 【点睛】此题考查不等式组的解集的应用，正确解不等式，掌握不等式组解集的几种情况是解题的关键． 15. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：记甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的有2种， ∴抽取两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率． 16. 如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线 ， 交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查尺规作垂线、菱形的性质、直角三角形的中线性质，根据作图过程得到 是解答得关键．先根据菱形的性质 ，，再由作图过程得 ，然后利用直角三角形的中线性质得到，进而利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ，， 由作图过程得 ， ∴ ， ∴， ∴，又， ∴菱形面积为． 故答案为：20． 17. 如图所示，为美化市容，绿化处的工人师傅为街道两侧设计了花坛和盆花的摆放方式，那么n座相连花坛四周所需的盆花数目为______________． 【答案】4n+2或2（2n+1） 【解析】 【分析】根据所给的图，正确数出即可．在数的过程中，能够发现多一个花坛多4盆花，用字母表示这一规律，然后代值计算． 【详解】解：1个花坛拼在一起可放1×4+2=6盆，2个花坛拼在一起可放2×4+2=10盆，3个花坛拼在一起可放4×3+2=14盆，那么n个花坛拼在一起可放(4n+2)或2(2n+1)盆； 故答案为：4n+2或2(2n+1)． 【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 18. 如图，矩形中，，，，分别为边 和上的两个动点，满足，将四边形沿直线翻折，得到四边形；其中为 的对称点，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长、交于点，连接 、 、，通过矩形的性质可证，结合可解得 、 ，在中，利用勾股定理求得，在 中，由三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接 、 、， 由沿翻折，可知直线经过点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 解得： ， ， 在中，， 四边形沿直线翻折，得到四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在 中，， 当点、、三点共线时，取得最小值，为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，理解题意、正确添加辅助线是解题关键． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值∶，其中． 【答案】原式，当时，原式 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，然后把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得 ， 经检验， 是原方程的解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 22. 圭表（如图1）是中国古代的一种天文仪器，由直立的标杆（表）和南北方向水平放置的与标杆垂直的长尺（圭）组成，用于测定正午的日影长度，进而推算节气等．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直于圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为 ，夏至正午太阳高度角（即 ）为，表的长为4.75米，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到0.1米，参考数据： ，， ，） 【答案】5.1米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，米，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∴圭面上冬至线与夏至线之间的长约为5.1米． 23. 为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，槐荫区某校开展主题为“乐学悦读”的读书月活动，要求每人读2至5本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型：A．2本；B．3本；C．4本；D．5本，将各类的人数绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查学生 人， ，将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D类型所对应的扇形的圆心角度数是 度； （3）学校拟将读书量不低于4本的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有2000名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 【答案】（1）100，40， 补全条形统计图如下： （2）72 （3）估计该校此次受表扬的学生人数有1100人 【解析】 【分析】（1）根据C类型的抽查人数和所占百分比即可求出抽查学生总人数，进而求出B种类型所占百分比，再求出D类型的人数，并补全条形统计图即可； （2）根据D类型有20人，共有100人，得出其频率，再用乘以频率求得圆心角的度数； （3）用2000乘以样本中读书量不低于4本的学生频率即可． 【小问1详解】 解：由C类型的抽查人数和所占百分比可知， 本次抽查学生有 （人）， 其中B类型的所占百分比为 ， ∴D类型的人数为： （人）， 补全条形统计图略 解：D类型所对应的扇形的圆心角度数为 ． 【小问2详解】 解： （人）， ∴估计该校此次受表扬的学生人数有1100人． 24. 如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O， ． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴ ，则 ， ∴四边形是矩形； （2）四边形的面积． 【解析】 【分析】（1）先由已知条件证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出 ，由矩形的判定方法即可得出结论； （2）根据 ，，求出、的大小，即可求出四边形的面积是多少． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ，四边形是菱形， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 25. 在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． （1）求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． （2）该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 【答案】（1）甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元 （2）甲种手工艺品购进 件，则乙种手工艺品购进 件，最大利润为：元. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识． （1）设甲种手工艺品每件的销售利润为 元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，根据3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元； 3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元，再建立方程组求解即可； （2）设甲种手工艺品购进 件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，可得，结合甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，可得：，再结合一次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 解：设甲种手工艺品每件的销售利润为 元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，则 ，解得：， 答：甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元. 【小问2详解】 解：设甲种手工艺品购进 件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，则 ， ∵甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的， ∴， 解得：， ∵， ∴随 的增大而减小， ∴当时，获得最大利润，最大利润为：（元）， 此时进货方案为：甲种手工艺品购进 件，则乙种手工艺品购进 件，最大利润为：元. 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，直线AB交x轴于点C，连接AO、连接BO． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求； （3）根据图象直接写出当x取何值时，? 【答案】（1）， （2） （3）或 ． 【解析】 【分析】（1）先利用A点坐标确定反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求出 ，再利用即可求得答案； （3）根据函数图象交点的横坐标，利用数形结合即可得出结果． 本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数和反比例函数交点问题，利用数形结合思想解题是关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象交于， ∴ ， ∴反比例函数的关系式为：， 把代入得， ， ∴点， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，，解得， ∴ ， ∴， 即； 【小问3详解】 当一次函数的图象位于反比例函数图象的上方时，． 由两个函数的图象以及交点可知相应的自变量x的取值范围为或 ． 27. 如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接 并延长交的延长线于点P． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点M，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接． 点为的中点， ， ． 是直径， ， ． ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）连接，由点为的中点得，可得 ；由直径所对圆周角是直角可证明，由得 ，从而可证得 ，故可得结论； （2）连接．设 ，可得 ， ，在 中，由勾股定理得，再证明 ，得，由勾股定理得，再证明，可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接．设 ． ， ． ， ． 在 中，， ∴， 解得或 （舍去）． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 28. 如图，抛物线与 轴交于 ，两点（点 在点的左侧），与轴交于点 ，连接，． （1）点的坐标是 ，点 的坐标是 ． （2）点 是直线下方抛物线上的一个动点，过点 作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点， ，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出 的长． 【答案】（1）； （2）①存在，点的坐标为或；② 【解析】 【分析】（1）解方程可求得 、的坐标，令 ，可求得点 的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为 ，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出 ，根据可求得 ，求出点，点的坐标，即可得 的长． 【小问1详解】 解：当时，，解得：， ， ∵点 在点的左侧 ∴，， 当 时，，即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点， ，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当 时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当 时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点， ，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出 的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵，， ∴直线的函数表达式为 ； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：， （不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $