第20讲 用样本估计总体 讲义（知识清单+7题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测

第20讲 用样本估计总体 知识清单 知识点01：平均数、众数、中位数 知识点02：极差、方差、标准差 知识点03：百分位数 知识点04：样本数字特征的综合应用 知识点05：由频率直方图估计总体分布 题型讲解 （举一反三） 题型1：平均数、众数和中位数的计算 题型2：平均数、众数和中位数的应用 题型3：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 题型4：计算几个数据的极差、方差、标准差 题型5：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 题型6：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型7：总体百分位数的估计 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、平均数、众数、中位数 1. 平均数 (1)一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平. 在进行统计分析时，我们经常用样本平均数估计总体均值. (2)平均数的计算 ①如果有n个数据a1，a2，…，an，那么称为这n个数据a1，a2，…，an的平均数，一般记为= . ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn. (3)平均数的性质 如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么数据mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数是m+a. 2. 众数：一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 3. 中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 知识点2、极差、方差、标准差 1. 极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 2. 方差 (1)方差的定义 设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2=(xi- )2为这个样本的方差，简称样本方差. (2)方差的计算 ①s2=(xi-)2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1-)2+p2(x2-)2+…+pn(xn-)2. ③一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjk，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为，j=1，2，…，k. 记nj=n，那么，所有数据的样本方差为=(-)2=nj[+(-)2]. (3)方差的性质 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则 ①s2=； ②数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2； ③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2； ④数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2. 3. 标准差 方差的算术平方根s=为样本的标准差，简称样本标准差. 知识点3、百分位数 1. 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的 数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2. 四分位数：中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 知识点4、样本数字特征的综合应用 1. 平均数、中位数和众数的优缺点 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②有时无法客观地反映总体特征 中位数 ①不受数据组中极端值的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 能较好地反映样本数据全体的信息 ①任何一个数据的改变都会引起平均数的改变 ②数据越“离群”，对平均数的影响越大 2. 平均数、方差与标准差都是重要的数字特征，方差和标准差描述数据的波动大小. 平均数反映了一组数据的平均水平，方差和标准差反映了一组数据相对于平均值集中或离散的程度，实际运用时，一般先比较平均数，若平均数相同或相近，再用方差或标准差进一步比较数据的波动情况. 知识点5、由频率直方图估计总体分布 1. 平均数、中位数、众数与频率直方图的关系 (1)在样本数据的频率直方图中，众数一般取最高的矩形底边中点的横坐标. (2)由于在样本数据中，有50%的数据小于或等于中位数，也有50%的数据大于或等于中位数，因此在频率直方图中，中位数左侧和右侧的矩形的面积和应该相等，据此可以估计中位数的值. 说明：样本数据的频率直方图只是直观地表明分布的形态，从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数不一致. (3)平均数是频率直方图的“重心”，是直方图的平衡点. 用频率直方图估计平均数时，平均数的估计值等于频率直方图中每个小矩形的面积与矩形底边中点的横坐标之积的和. 题型1：平均数、众数和中位数的计算 【例1-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 【变式1-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）给定数，，，，，，，，，，则这组数据的中位数是_________． 【变式1-3】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． 题型2：平均数、众数和中位数的应用 【例2-1】（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式2-1】如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是（    ） A．数据中可能有异常值 B．数据中众数可能和中位数相同 C．数据中可能有极端大的值 D．这组数据是近似对称的 【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【变式2-3】（2024高一下·全国·专题练习）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：64，13，14，14，15，16，16，16，16，66， (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、众数和中位数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 题型3：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 【例3-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数 【变式3-2】已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________. 【变式3-3】（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 题型4：计算几个数据的极差、方差、标准差 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A． B．数据的平均数为13 C． D．数据的标准差为12 【变式4-2】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则______. 题型5： 各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 【变式5-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 【变式5-2】（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 【变式5-3】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为__________． 题型6： 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例6-1】（24-25高一下·江苏连云港·月考）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（    ） A． B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人 【变式6-2】某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示，则成绩不低于80分的人数有________人． 【变式6-3】（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 题型7： 总体百分位数的估计 【例7-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 【变式7-1】（24-25高一下·江苏泰州·月考）下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（    ） A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 【变式7-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下: 甲7     8    7   9    5    4    9    10    7    4 乙9     5    7   8    7    6    8     6     7    7 下列说法中错误的是（    ） A．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C．这次射击中乙比甲的成绩稳定 D．甲、乙这次射击成绩的极差相同 3．（23-24高一下·内蒙古通辽·月考）从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为（    ） A．125，125 B．125.1，125 C．124.5，124 D．125，124 4．（24-25高一上·全国·单元测试）小明统计了周一至周五完成数学课堂作业的时间（单位：分钟）分别为43，45，30，26，32．则这组数据的是（    ） A．30 B．32 C．31 D．37.5 5．（24-25高一下·广东河源·期末）某学校有男生800人，女生600人，为调查该校学生每周体育运运时间的情况，甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为；乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为，则下列哪个数值作为全校学生每周体育运动时间的估计值最合理（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的众数 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏徐州·期末）有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（    ） A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同 C．样本标准差不相同 D．样本极差相同 10．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（   ） A．这组数据的上四分位数为8.5 B．这组数据没有众数 C．这组数据的极差为6 D．这组数据的平均数为6 11．（24-25高一下·江苏无锡·月考）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 14．（24-25高一上·江苏·暑假作业）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的值．男女员工的值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示． 中位数 平均数 标准差 方差 极差 男员工 21.6 22.1 3.7 14.3 19.3 女员工 19.6 20.7 4 16.4 17.7 从以上数据可以估算出该公司全体人员的值的平均值为 __，方差为 __．（以上结果精确到 四、解答题 15．（25-26高一上·广西钦州·期末）中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值； (2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？ (3)估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 16．（24-25高一上·全国·周测）某校对七年级名同学最喜欢喝的饮料种类情况、八年级名同学零花钱的最主要用途情况、九年级名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形统计图、条形统计图、表格来描述整理得到的数据． 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表 时间 小时左右 小时左右 小时左右 小时左右 人数 根据以上信息，请回答下列问题： (1)七年级名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级名同学中零花钱的最主要用途情况的条形统计图； (3)九年级名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留两位小数） 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 19．（24-25高一下·江苏徐州·期末）近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； (3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 用样本估计总体 知识清单 知识点01：平均数、众数、中位数 知识点02：极差、方差、标准差 知识点03：百分位数 知识点04：样本数字特征的综合应用 知识点05：由频率直方图估计总体分布 题型讲解 （举一反三） 题型1：平均数、众数和中位数的计算 题型2：平均数、众数和中位数的应用 题型3：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 题型4：计算几个数据的极差、方差、标准差 题型5：各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 题型6：由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 题型7：总体百分位数的估计 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、平均数、众数、中位数 1. 平均数 (1)一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平. 在进行统计分析时，我们经常用样本平均数估计总体均值. (2)平均数的计算 ①如果有n个数据a1，a2，…，an，那么称为这n个数据a1，a2，…，an的平均数，一般记为= . ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn. (3)平均数的性质 如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么数据mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数是m+a. 2. 众数：一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 3. 中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 知识点2、极差、方差、标准差 1. 极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 2. 方差 (1)方差的定义 设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2=(xi- )2为这个样本的方差，简称样本方差. (2)方差的计算 ①s2=(xi-)2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1-)2+p2(x2-)2+…+pn(xn-)2. ③一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjk，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为，j=1，2，…，k. 记nj=n，那么，所有数据的样本方差为=(-)2=nj[+(-)2]. (3)方差的性质 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则 ①s2=； ②数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2； ③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2； ④数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2. 3. 标准差 方差的算术平方根s=为样本的标准差，简称样本标准差. 知识点3、百分位数 1. 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的 数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2. 四分位数：中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 知识点4、样本数字特征的综合应用 1. 平均数、中位数和众数的优缺点 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②有时无法客观地反映总体特征 中位数 ①不受数据组中极端值的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 能较好地反映样本数据全体的信息 ①任何一个数据的改变都会引起平均数的改变 ②数据越“离群”，对平均数的影响越大 2. 平均数、方差与标准差都是重要的数字特征，方差和标准差描述数据的波动大小. 平均数反映了一组数据的平均水平，方差和标准差反映了一组数据相对于平均值集中或离散的程度，实际运用时，一般先比较平均数，若平均数相同或相近，再用方差或标准差进一步比较数据的波动情况. 知识点5、由频率直方图估计总体分布 1. 平均数、中位数、众数与频率直方图的关系 (1)在样本数据的频率直方图中，众数一般取最高的矩形底边中点的横坐标. (2)由于在样本数据中，有50%的数据小于或等于中位数，也有50%的数据大于或等于中位数，因此在频率直方图中，中位数左侧和右侧的矩形的面积和应该相等，据此可以估计中位数的值. 说明：样本数据的频率直方图只是直观地表明分布的形态，从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数不一致. (3)平均数是频率直方图的“重心”，是直方图的平衡点. 用频率直方图估计平均数时，平均数的估计值等于频率直方图中每个小矩形的面积与矩形底边中点的横坐标之积的和. 题型1：平均数、众数和中位数的计算 【例1-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 【答案】C 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13. 故选：C. 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 【答案】C 【分析】根据中位数和平均数的性质，结合绝对值的性质、二次函数最值性质进行运算求解判断即可. 【详解】表示2 025个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为2 025为奇数， 所以k取的中位数时，有最小值； 显然该式可以看成关于k的一元二次函数， 故当时，有最小值， 即k为的平均数时，有最小值. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）给定数，，，，，，，，，，则这组数据的中位数是_________． 【答案】5 【分析】理解中位数的概念，即可得答案． 【详解】根据题意，将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 则数据的中位数为， 故答案为：． 【变式1-3】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． 【答案】这些运动员成绩的众数为1.75 m，中位数为1.70 m，平均数约为m. 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义进行求解即可. 【详解】因为成绩为1.75 m的人数为4，最多，所以17名运动员的成绩的众数为：1.75 m； 根据中位数的定义可知：把17名运动员的成绩从小到大排列，第9个运动员的成绩为中位数，所以17名运动员的成绩的中位数为：1.70 m； 17名运动员的成绩的平均数为： m， 所以这些运动员成绩的众数为1.75 m，中位数为1.70 m，平均数约为m. 题型2：平均数、众数和中位数的应用 【例2-1】（24-25高一下·广西来宾·期末）抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（   ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 【变式2-1】如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是（    ） A．数据中可能有异常值 B．数据中众数可能和中位数相同 C．数据中可能有极端大的值 D．这组数据是近似对称的 【答案】D 【分析】根据中位数和平均数的定义作答即可. 【详解】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，即可能有异常值，故A选项不符合题意； 一组数据的中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故B选项不符合题意； 一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，故C选项不符合题意； 若这组数据是近似对称的，不会出现数据的中位数比平均数小很多，故D选项符合题意. 故选：D. 【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是________(填“平均数”“众数”或“中位数”)． 【答案】众数 【分析】根据众数、平均数、中位数的意义进行选择. 【详解】鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大， 由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数. 故答案为：众数 【变式2-3】（2024高一下·全国·专题练习）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：64，13，14，14，15，16，16，16，16，66， (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、众数和中位数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）（2）根据数据直接求解平均数，判断中位数与众数，再根据所求值与实际情况对比分析即可. 【详解】（1）甲群市民年龄的平均数为（岁）， 中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等， 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． （2）乙群市民年龄的平均数为（岁）， 中位数为16岁，众数为16岁， 由于乙群市民大多数是少年儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征， 而平均数的可靠性较差. 题型3：频率分布直方图中集中趋势参数的计算 【例3-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 【变式3-1】病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数 【答案】C 【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得. 【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7， 同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7， 故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误； 甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B错误； 甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确； 乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________. 【答案】 【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. 【详解】因为频率分布直方图在左侧“拖尾”，可知平均数小于中位数，即. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【答案】(1) (2)中位数为：；平均数为： 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计中位数和平均数. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 题型4：计算几个数据的极差、方差、标准差 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 【答案】B 【分析】根据数据的数字特征直接计算得出. 【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误. 数据的平均数,所以C正确. 数据的方差，所以D正确. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A． B．数据的平均数为13 C． D．数据的标准差为12 【答案】D 【分析】利用平均数和方差、标准差的定义及线性关系求平均数和方差，即可判断各选项. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由的平均数为，故B正确； 对于C，由方差为4，可得， ，故C正确； 对于D, 根据方差性质可知，数据的方差为， 所以数据的标准差为，故D错误； 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 【答案】2 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案. 【详解】这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案为：2. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则______. 【答案】或3 【分析】根据方差公式计算即可. 【详解】数据1，2，4，的平均数为， 故方差为， 化简可得， 即，解得或. 故答案为：或3 题型5： 各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响 【例5-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 【答案】C 【分析】利用中位数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差． 【详解】因为数据的中位数为2，方差为3， 所以数据的中位数为， 方差为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 【答案】A 【分析】设的平均数为，方差为，利用平均数和方差的性质得到方程，求出答案. 【详解】设的平均数为，方差为， 则数据的平均数为，方差为， 所以，，解得，. 故选：A 【变式5-2】（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 【答案】 【分析】根据方差的性质即可求得结果. 【详解】设原数据、、、的方差为，根据方差的性质新数据的方差为：. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为__________． 【答案】 【分析】应用方差的性质计算新数据的方差，再计算标准差即可. 【详解】因为数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为， 则数据，，…，的标准差为. 故答案为：. 题型6： 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【例6-1】（24-25高一下·江苏连云港·月考）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】由图计算出这批用户问卷的得分不低于80分的频率即可求相应的人数. 【详解】由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为， 故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：， 故选：B 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（    ） A． B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人 【答案】C 【分析】根据频率和为1求，再代入平均数公式，以及频率公式，即可判断选项. 【详解】A.根据频率和为1，得，得，故A正确； B.由频率分布直方图得平均数为，故B正确； C.体能不优秀的频率为，则体能优秀的频率为， 所以体能优秀的概率约为，故C错误； D.体能不优秀和体能优秀的频率比为，所以12人中体能优秀的同学中应抽取人，故D正确. 故选：C 【变式6-2】某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示，则成绩不低于80分的人数有________人． 【答案】15 【分析】先求出a，然后求出成绩不低于80分的人的频率即可成绩不低于80分的人数. 【详解】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：a=0.030. 故成绩不低于80分的人的频率为， 所以成绩不低于80分的人数有. 故答案为：15. 【变式6-3】（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】(1). (2)37.5吨. (3)平均数为37吨，方差为81. 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【详解】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 题型7： 总体百分位数的估计 【例7-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念求值. 【详解】该组数据共有12个数， 因为， 所以该组数据的25百分位数为第3，第4个数的平均数，为. 故选：B 【变式7-1】（24-25高一下·江苏泰州·月考）下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（    ） A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 【答案】D 【分析】分别根据平均数，极差，百分位数，方差的定义即可判断. 【详解】该队员得分的平均数是，故A正确； 极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误. 故选：D 【变式7-2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 【答案】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8， ，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1)； (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60； (3)第70的分位数为75.83. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1，求出. （2）利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法求解. （3）利用频率分布直方图，结合百分位数的定义求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由频率分布直方图知：数据落在内最多，因此众数为65； 由，，得中位数， 则，解得，所以中位数为67.69； 平均数为. （3）成绩小于70分的频率为， 成绩小于80分的频率为，则第70百分位数在内， 所以第70百分位数为. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】求该组数据的上四分位数，即求第百分位数即可. 【详解】因为，所以找第六个和第七个数的平均数，即. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下: 甲7     8    7   9    5    4    9    10    7    4 乙9     5    7   8    7    6    8     6     7    7 下列说法中错误的是（    ） A．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5 B．甲、乙这次射击成绩的平均值相同 C．这次射击中乙比甲的成绩稳定 D．甲、乙这次射击成绩的极差相同 【答案】D 【分析】根据百分位数、平均值、方差、极差的定义分别计算甲、乙的相关数据，进而判断选项. 【详解】对于选项A： 将甲的成绩从小到大排序：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10 . 总共10个数字，. 所以第60百分位数是第6项与第7项的平均数，即.所以A正确. 对于选项B： 甲的射击成绩的平均值为：； 乙的射击成绩的平均值为：； 所以甲、乙射击成绩的平均值相同.所以B正确. 对于选项C： 因为甲、乙的平均值相同，则计算甲的方差为： 乙的方差为： 因为，所以乙的成绩比甲稳定，所以C 正确. 对于选项D： 甲的射击成绩的极差为：；乙的射击成绩的极差为：； 所以甲、乙的极差不相同，D错误. 故选：D. 3．（23-24高一下·内蒙古通辽·月考）从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为（    ） A．125，125 B．125.1，125 C．124.5，124 D．125，124 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数与频率分布直方图的关系即可计算正确答案. 【详解】由题图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025， 则＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 因为(0.010＋0.030)×10＝0.4<0.5，0.4＋0.025×10＝0.65>0.5， 所以中位数在[120,130)内，设中位数为x， 则0.4＋0.025×(x－120)＝0.5， 解得x＝124. 故选:D. 4．（24-25高一上·全国·单元测试）小明统计了周一至周五完成数学课堂作业的时间（单位：分钟）分别为43，45，30，26，32．则这组数据的是（    ） A．30 B．32 C．31 D．37.5 【答案】B 【分析】根据中位数的定义求得中位数. 【详解】即中位数，将数据从小到大重新排序为26，30，32，43，45，所以为32． 故选：B. 5．（24-25高一下·广东河源·期末）某学校有男生800人，女生600人，为调查该校学生每周体育运运时间的情况，甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为；乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为，则下列哪个数值作为全校学生每周体育运动时间的估计值最合理（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率平均数计算公式计算即可. 【详解】因为甲同学从男生中用简单随机抽样的方法调查了200人，得到每周体育运动时间的平均值为， 则可认为学校男生800人每周体育运动时间的平均值为， 乙同学从女生中用简单随机抽样的方法调查了100人，得到每周体育运动时间的平均值为， 则可认为学校女生600人每周体育运动时间的平均值为， 而全校男生占总人数的，女生占总人数的， 故全校学生每周体育运动时间的估计值最合理的是. 故选：D 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 【答案】D 【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得． 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5， 此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误； 对于C，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：D． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的众数 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 【答案】C 【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解. 【详解】由题意，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势， 由极差的定义可知，极差是用来反应最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度. 故选: C 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏徐州·期末）有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（    ） A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同 C．样本标准差不相同 D．样本极差相同 【答案】AD 【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，两组数据的平均数分别为，，故A正确； 对于B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误； 对于C，两组数据的标准差都为，故C错误； 对于D，两组数据的极差分别为，故D正确. 故选：AD 10．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（   ） A．这组数据的上四分位数为8.5 B．这组数据没有众数 C．这组数据的极差为6 D．这组数据的平均数为6 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即可. 【详解】对于A，将给定数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而， 所以这组数据的上四分位数为，故A正确； 对于B，这组数据的众数是3和9，故B错误； 对于C，这组数据的极差为6，故C正确； 对于D，这组数据的平均数为，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·江苏无锡·月考）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用数据平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由60个样本数据的平均数为3，可得，可得， 又由方程 . 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 【答案】 【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得. 【详解】总平均数， 则总样本方差. 故答案为： 14．（24-25高一上·江苏·暑假作业）为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的值．男女员工的值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示． 中位数 平均数 标准差 方差 极差 男员工 21.6 22.1 3.7 14.3 19.3 女员工 19.6 20.7 4 16.4 17.7 从以上数据可以估算出该公司全体人员的值的平均值为 __，方差为 __．（以上结果精确到 【答案】 21.6 15.5 【分析】根据题意，由总体的平均数、方差计算公式直接计算可得答案． 【详解】根据题意，样本中，有90名男员工、50名女员工， 该公司全体人员的值的平均值； 方差． 故答案为：21.6；15.5． 四、解答题 15．（25-26高一上·广西钦州·期末）中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值； (2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？ (3)估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】(1) (2)8人 (3)岁 【分析】（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即可计算的值； （2）先计算年龄在内的频率，进而可估计样本中年龄在内的人数； （3）由频率分布直方图计算平均数，取各区间中点值乘以频率后再相加即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1， 即，解得. （2）年龄在内的频率为， 则抽取的样本中该区间人数为人. （3）设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为， 由频率分布直方图计算平均数，即. 故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为岁 16．（24-25高一上·全国·周测）某校对七年级名同学最喜欢喝的饮料种类情况、八年级名同学零花钱的最主要用途情况、九年级名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形统计图、条形统计图、表格来描述整理得到的数据． 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表 时间 小时左右 小时左右 小时左右 小时左右 人数 根据以上信息，请回答下列问题： (1)七年级名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级名同学中零花钱的最主要用途情况的条形统计图； (3)九年级名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留两位小数） 【答案】(1)（人） (2)图表见解析 (3)（小时） 【分析】（1）利用图中的数据可求得七年级名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数； （2）计算出八年级名同学中利用零花钱买学习资料的学生人数，即可补全条形图； （3）利用平均数公式可求得九年级名同学中完成家庭作业的平均时间. 【详解】（1）由扇形统计图可知，七年级名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数为 （人）． （2）由题意可知，八年级名同学中利用零花钱买学习资料的学生人数为 ， 补全条形统计图如图所示． （3）由表格中的数据可知，九年级名同学中完成家庭作业的平均时间为 （小时）. 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 【答案】(1)频率为，频数为； (2) (3)83.5. 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解， （2）根据图中数据即可求解频率得解， （3）根据百分位数的计算即可求解. 【详解】（1）频率为，频数为； （2）及格率为； （3）因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 【答案】(1)；人 (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可求出的值；结合频率直方图可求出样本中成绩在分以上的人数； （2）根据频率分布直方图计算出第百分位数，即可得出结果； （3）利用分层随机抽样的平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得， 由图可知，样本中成绩在分以上的人数为人. （2）前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为. （3）成绩在内占成绩在的比例为， 成绩在内占成绩在的比例为， 设成绩在内的平均数和方差分别为、， 由分层随机抽样的平均数公式可得，解得， 由分层随机抽样的方差公式可得，解得. 故成绩在内的平均数为，方差为. 19．（24-25高一下·江苏徐州·期末）近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； (3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 【答案】(1)140人 (2)岁 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出市民年龄在内的频率，进而可求出频数. （2）根据频率分布直方图求平均数. （3）根据百分位数的定义和公式进行求解计算. 【详解】（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为， 由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为. 所以选取的市民年龄在内的人数为140人. （2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为 . 所以这200名市民的年龄的平均数为37岁. （3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为， 市民年龄在内的频率之和为， 所以70百分位数应在中，设为， 可得，解得. 所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $