第16讲 基本图形位置求法（知识清单+14题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

第16讲 基本图形位置求法 知识清单 知识点01：用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系 知识点02：平面的基本事实 知识点03：平面基本事实的推论 知识点04：如何研究共面、共线问题 知识点05：空间两条直线的位置关系 知识点06：基本事实4 知识点07：等角定理 知识点08：异面直线 知识点09：基本事实4 等角定理在空间图形中的运用 知识点10：空间中异面直线的判定及所成角的求解 知识点11：直线与平面的三种位置关系 知识点12：直线与平面平行 知识点13：直线与平面垂直 知识点14：两种距离 知识点15：直线与平面所成的角 知识点16：如何判定直线与平面垂直 知识点17：如何探究直线与平面所成的角 知识点18：两个平面的位置关系 知识点19：两个平面平行 知识点20：两个平行平面间的距离 知识点21：二面角 知识点22：平面与平面垂直 知识点23：两个平面平行的判定 知识点24：如何求二面角的大小 知识点25：垂直关系的相互转化 题型讲解 （举一反三） 题型1：平面的概念及表示，空间位置关系的画法 题型2：平面的基本性质及辨析 题型3：点（线）确定的平面数量及空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 题型4：由平面的基本性质作截面及有关计算 题型5：异面直线的概念及判定 题型6：异面直线所成角概念及辨析，求异面直线所成角 题型7：异面直线垂直的判断与证明 题型8：判断图形中的线面关系 题型9：线面关系有关命题的判断 题型10： 线面垂直证明面面垂直 题型11： 求线面角 题型12： 证明面面平行 题型13： 证明面面垂直 题型14：求二面角 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P∈AB 点C不在直线AB上 C∉AB 点M在平面AC内 M∈平面AC 点A1不在平面AC内 A1∉平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC=B 直线AB在平面AC内 AB⊂平面AC 直线AA1不在平面AC内 AA1⊄平面AC 知识点二、平面的基本事实 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α ①确定平面的据； ②判定点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒AB⊂α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线   ⇒α∩β=l且P∈l ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上 知识点三、平面基本事实的推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 直线l，点A∉l⇒有且只 有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点四、如何研究共面、共线问题 1. 点、线共面问题的证明 (1)点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. (2)解决此类问题通常有两种方法： ①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； ②辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 2. 点共线问题 (1)点共线问题是指证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (2)解决此类问题常用以下两种方法： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上； ②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 3. 线共点问题 　　线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实4. 证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点. 知识点五、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 知识点六、 基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 ⇒a∥c 作用 揭示了空间平行线的传递性 知识点七、等角定理 文字语言 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 特别地，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向一边相同，另一边相反，那么这两个角互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'两边的方向相同⇒∠AOB=∠A'O'B'； OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'的一边方向相同，另一边方向相反⇒∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判定两个角相等或互补 知识点八、异面直线 1. 异面直线的判定定理 文字语言 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 符号语言 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 图形语言 2. 异面直线所成的角 如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角. 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°，若θ是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b. 知识点九、基本事实4 等角定理在空间图形中的运用 1. 空间中两直线平行的证明方法 (1)利用定义：证明两条直线共面且无公共点. (2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)证明. (3)利用基本事实4，即找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，从而得到a∥b. 2. 空间中角相等的证明方法 (1)利用等角定理证明； (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 利用等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②证明对应边的方向相同. 知识点十、空间中异面直线的判定及所成角的求解 1. 判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交； (2)过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； (3)反证法. 2. 求异面直线所成角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角. (2)证明：证明作出的角或其补角就是要求的角. (3)计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解. (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角 是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 知识点十一、直线与平面的三种位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 知识点十二、直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒l∥m 知识点十三、直线与平面垂直 1. 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α. 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足. 2. 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 ⇒a⊥α  ⇒a∥b 常用结论 — 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 知识点十四、两种距离 1. 点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 2. 直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 知识点十五、直线与平面所成的角 1. 射影 (1)概念： 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的射影，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影. (2)常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 2. 直线与平面所成的角 (1)概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. (2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角. (3)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°. 知识点十六、如何证明直线与平面平行 1. 证明直线与平面平行的步骤 （1）找：在平面内找到（或作出）一条已知直线平行的直线 （2）证：证明已知直线平行于找到（或作出）的直线 （3）结论：由直线与平面平行的判定定理得出结论 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去. 有如下示意图： 知识点十六、如何判定直线与平面垂直 1. 判定直线与平面垂直的常用方法 (1)利用直线与平面垂直的定义，即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得到直线a⊥平面α(一般不易验证任意性). (2)利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂直⇒线面垂直”(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=M⇒a⊥α). (3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(a∥b，b⊥α⇒a⊥α). 2. 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使已知直线和这两条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交直线； (3)根据判定定理得出结论. 知识点十七、如何探究直线与平面所成的角 1. 求直线与平面所成角的大小的步骤 (1)作角： ①作垂线：过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线； ②作射影：连接垂足和斜足； ③确定平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角). (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算. 知识点十八、两个平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β=a 知识点十九、两个平面平行 1. 两个平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 2. 相关结论 (1)已知两个平面平行，则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 知识点二十、两个平行平面间的距离 1. 公垂线、公垂线段：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 2. 两个平行平面间的距离 (1)定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. (2)性质：两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离. 知识点二十一、二面角 1. 二面角 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面 二面角 相关概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面 画法 记法 二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q 2. 二面角的平面角 定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β=l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角α-l-β的平面角 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫作直二面角 范围 二面角θ的大小范围是0°≤θ≤180° 知识点二十二、平面与平面垂直 1. 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互 相垂直. 2. 画法： 3. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理 判定 定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 ⇒α⊥β 性质 定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 知识点二十三、两个平面平行的判定 1. 两个平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (3)转化为线线平行：若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，解题时由线线平行可推出线面平行，由线面平行可推出面面平行. 知识点二十四、如何求二面角的大小 　　求二面角的大小的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解. 1. 作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图①，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，其交线所成的角即为二面角的平面角. 如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角(或其补角). 如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 图①  图②  图③ 知识点二十五、垂直关系的相互转化 1. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是独立的， 而是相互关联的. 它们之间的关系如下： 2. 平行关系与垂直关系之间的相互转化 题型1：平面的概念及表示，空间位置关系的画法 【例1-1】有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 【变式1-1】下列图形中，正确表示直线a在平面内的图形是______． 【答案】① 【分析】由图直接判断直线a在平面的位置关系，即可确定答案. 【详解】①由图，，符合要求； ②由图，不符合要求； ③由图，，不符合要求； ④由图，相交，不符合要求； 故答案为：① 【变式1-2】（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         【变式1-3】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    题型2：平面的基本性质及辨析 【例2-1】能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可. 【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 【变式2-1】可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有（    ） A．三个点 B．1个点和一条直线 C．无数个点 D．两条平行直线 【答案】D 【分析】根据过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，分析判断即可. 【详解】对于A：若三个点共线，则两个平面可能相交于三点共线的直线，故A错误； 对于B：若点在直线上，则两面可能相交于这条直线，故B错误； 对于C：若无数个点共线，则两个平面可能相交于无数个点共线的直线，故C错误； 对于D：因为过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，所以它们的公共部分中有两条平行线时一定存在不共线三点，故D正确． 故选：D． 【变式2-2】直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 【答案】BD/DB 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 【变式2-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α，β，直线a，b，l，若αβ＝l，aα，bβ，ab=M，则点M与直线l的位置关系是__． 【答案】M∈l 【分析】由给定条件分析出点M是α与β的公共点，再由平面基本事实即可得解 【详解】因ab=M，则M∈a，M∈b， 又aα，bβ，即M∈α，M∈β， 又αβ=l，故M∈l， 所以点M与直线l的位置关系是M∈l. 故答案为：M∈l． 题型3： 点（线）确定的平面数量及空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 【例3-1】（24-25高一下·江苏·月考）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【变式3-1】设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（    ） A．不共面 B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．共面 【答案】D 【分析】利用点线面的位置关系可知，动点C形成的轨迹是平行于（或）的平面即可得出结论. 【详解】根据题意可知，点应在过的中点且平行于（或）的平面内， 因此当分别在平面内运动时，所有的动点C共面. 故选：D 【变式3-2】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定________个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 【变式3-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 题型4： 由平面的基本性质作截面及有关计算 【例4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为. 故选：D. 【变式4-1】正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为___ 【答案】 【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长. 【详解】连接并延长交延长线于Q，则 过Q作，交于H，交于K，则， 过K作，交于T，连接， 则六边形即为平面截正方体所得截面， 又均为棱的中点，则截面的周长为 故答案为： 【变式4-2】在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______. 【答案】 【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长. 【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.    故答案为： 【变式4-3】如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 【答案】答案见解析 【分析】由平面的基本性质作图. 【详解】如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点， 连接交于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接，， 所以五边形即为所求截面. 题型5： 异面直线的概念及判定 【例5-1】在棱长为1的正四面体中，直线与是（    ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 【答案】C 【分析】利用异面直线的判断方法判断即可. 【详解】作出正四面体，如图，    因为平面，平面，，平面， 所以与是异面直线. 故选：C. 【变式5-1】如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解. 【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线. 故选：D. 【变式5-2】已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是______． 【答案】平行或相交或异面 【分析】由直线的异面关系，在长方体中找到不同情况下符合题设的线段，即可判断直线a，b的位置关系. 【详解】 长方体中，如上图示： 当时，直线a，b异面； 当时，直线a，b平行； 当时，直线a，b相交； 故答案为：平行或相交或异面 【变式5-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）. 【答案】异面 【分析】把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断． 【详解】如图，是展开图还原后的正方体， 由于平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线． 故答案为：异面． 题型6： 异面直线所成角概念及辨析，求异面直线所成角 【例6-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）在正方体中，异面直线与AC所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的性质即可求解. 【详解】 连接，. 由正方体性质可得：且；. 则四边形为平行四边形，. 所以， 则是异面直线与AC所成角或其补角. 所以异面直线与AC所成角为. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【变式6-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    【变式6-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，若分别是的中点，且和所成的角为，求和所成的角．    【答案】 【分析】连接，可证四边形是平行四边形，进而确定和、和所成的角，结合即可求解. 【详解】连接，因为是正方形，所以且， 因为分别是的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以(或其补角)是和所成的角，(或其补角)是和所成的角， 因为，所以， 则，所以和所成的角为.    题型7： 异面直线垂直的判断与证明 【例7-1】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由正方体ABCD­-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果． 【详解】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条． 故选：D． 【变式7-1】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可证明，可得直线与所成的角即为异面直线与所成的角，求出为直角即可. 【详解】如图，取CD1的中点G， 连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. 所以CD1⊥EF. 【变式7-2】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 【变式7-3】如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线； (2)若，，求、所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）为上靠近的三等分点，易证四点共面（面），结合异面直线的定义判断与是否异面； （2）分别为靠近的三等分点，易知、所成角为或其补角，进而求其大小. 【详解】（1）若为上靠近的三等分点，则，故， 所以四点共面，显然不共线，故面与面为同一个平面， 而面，面，即面，面，， 所以直线与是异面直线； （2）若分别为靠近的三等分点，则， 所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角， 又，，则， 由，故，则、所成角为60°. 题型8： 判断图形中的线面关系 【例8-1】用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】直接用集合符号表示即可. 【详解】点在直线上，直线在平面外，，． 故选：B． 【变式8-1】在下列关于直线与平面的所述中，正确的是（    ） A．若且，则； B．若且，则； C．是内两条直线，且，，则； D．，，，，则. 【答案】D 【分析】对于A. 或;对于B. 或;对于C.当时，推不出；对于D.由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解. 【详解】对于A.若且，则或，错误； 对于B. 若且，则或，错误； 对于C. 是内两条直线，且，，当时，推不出，错误； 对于D.由面面垂直的性质定理可得正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 【变式8-2】（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【分析】假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m∥n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O 过O在β内作直线c⊥l，如图所示 因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m 又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l 所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行． 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于采用反证法，结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，得出的位置关系. 【变式8-3】如图，长方体． （1）直线平面______； （2）直线平面______． 【答案】 / 【分析】根据几何特征，即可判断直线与平面的位置关系，即可得解. 【详解】根据长方体可知，直线平面， 直线平面. 故答案为：，. 题型9： 线面关系有关命题的判断 【例9-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与不平行，则与一定不平行 C．若，则 D．若与不垂直，则与一定不垂直 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面位置关系逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能平行或异面，故A错误； 对于B，若与不平行，当时，与可能平行，故B错误； 对于C，若，又，则，故C正确； 对于D，若与不垂直，与可能垂直，故D错误. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知直线m在平面内，直线n与平面相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是（   ） A．共面 B．共面 C．异面 D．异面 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号；利用异面直线判定定理可以判定直线是异面直线，综合可以做出判定. 【详解】直线m在平面内，即， 直线n与平面相交于点A，即，则， 点A不在直线m上，即， 根据异面直线判定定理可知直线是异面直线， 空间中规定直线和平面都看成点的集合，因此都是错误的， 对于A：共面，每一点都是错误的，故A错误； 对于B：共面是错误的，故B错误； 对于C：是错误的，故C错误； 对于D：异面都是正确的，故D正确； 故选：D. 【变式9-1】（24-25高一下·江苏·月考）用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示可得出结论. 【详解】用符号表示“点不在直线上，在平面内”为“，”. 故选：B. 【变式9-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 【答案】③ 【分析】根据空间中线面的位置关系一一判断即可. 【详解】若，，则或，故①错误； 若，，则或或与相交，故②错误； 由线面垂直的性质定理可知，③正确； 若，，则或，故④错误． 故答案为：③ 题型10：线面垂直证明面面垂直 【例10-1】在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意先求出，接着证明所以平面从而得到，从而得点到的距离即为，求出即可得解. ，故点到的距离 【详解】由题意结合余弦定理得， 所以，所以，即， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，    所以平面，又平面， 所以，又，且由线面垂直性质有， 所以点到的距离即为. 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式10-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【分析】（1）利用线线平行证得平面，再结合线面平行的性质加以证明； （2） 由线线垂直，,,再结合线面垂直的性质加以证明； （3）利用中位线将两条线与平移到一个三角形，根据余弦定理求解 【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以； 又因为平面，平面，所以平面； 而平面，平面平面，故,所以. （2）因为，所以为边长为4的等边三角形， O为线段AC的中点，所以； 又因为，，故； 在中，，所以； 而，平面ABC，所以平面. （3） 取中点，连接，于是是中位线，则， 于是与所成角即为，由题知，， 又，由三线合一，，做完， 同理，在中，由余弦定理 故直线与所成角的余弦值为. 题型11： 求线面角 【例11-1】（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 【变式11-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 【变式11-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为_________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，可证为直线与平面所成角，根据解直角三角形可求其正切值. 【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 故答案为：. 【变式11-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）将平面沿翻折至与平面共面，利用侧面展开图的最短路径求解； （3）过作，垂足为，求证即为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 在中，， 因四棱锥为正四棱锥，则， 则， 则在中，. 故的最小值为. （3）连接交于点，过作，垂足为， 因为正方形，则，则， 因为线段的中点，则为线段的中点， 因，则，， 因为四棱锥为正四棱锥，则底面， 又面，所以， 又，平面，所以平面， 故即为直线与平面所成角， 在中，在中， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型12： 证明面面平行 【例12-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）棱长为m的正方体的展开图如图所示（A，B，C，D是顶点），若正方体中和到平面的距离相等，则截正方体所得截面的面积为______.（结果用m表示）    【答案】 【分析】将给定的正方体的平面展开图还原成正方体，再结合正方体的结构特征，根据线线平行可证明面面平行，即可确定截面为正六边形，然后根据正六边形的面积公式求解即可. 【详解】将正方体平面展开图还原成正方体，如图：      由正方体性质知，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 取正方体各边的中点，根据正方体的结构特征及平面的基本性质知， 中截面为正六边形满足题意，截面即为正六边形， 因为正方体的棱长为m，则正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 即截正方体所得截面的面积为. 故答案为： 【变式12-1】（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【答案】 【分析】若分别为的中点，连接，根据平面的基本性质及线线平行证共面，再由线面平行、面面平行的判定证明平面平面，结合已知确定P的轨迹，进而求长度. 【详解】若分别为的中点，连接，点M是AD的中点， 所以且，则为平行四边形，故， 由平行且相等，则为平行四边形， 所以，则，故共面， 由平行且相等，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 又且都在平面内，故平面平面， 由平面，则在四边形上，而， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 【变式12-2】如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为______. 【答案】 【分析】取的中点，的中点，证明，再利用面面平行的判定定理可证得平面平面，由此确定平面截该正方体所得截面，再求其周长. 【详解】如图1，取的中点，的中点，连接， 则， 所以，故，在同一平面内， 连接，因为，分别为，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， ，，，等腰梯形如图2， 故所得截面的周长为. 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 题型13： 证明面面垂直 【例13-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在正方体中.    (1)求证：平面； (2)若平面，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即得证． 【详解】（1）由正方体的结构特征可知， ，且，所以四边形为平行四边形， 即有，而平面，平面，故平面． （2）因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴． 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴， 而平面，故平面． 又因为平面，所以平面平面. 【变式13-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （3）作出异面直线与所成角，继而解三角形即可求得答案. 【详解】（1）在正三棱柱中，连接交于O，则O为的中点，连接， 由于为的中点．故， 而平面，平面, 故平面； （2）由题意知,为的中点，故； 又因为在正三棱柱中，平面，平面， 故，而平面， 故平面；又平面， 故平面平面． （3）因为，故异面直线与所成角即为直线与所成角, 即为或其补角， 由于，则在中，, , 故， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【变式13-2】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. (1)求证：四边形为梯形； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明，再结合梯形的定义，即可证明； （2）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明面面垂直. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以，且， 所以四边形是梯形； （2）由条件可知，是等腰直角三角形，且，所以， 且，，中，, 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 【变式13-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据题意，利用面面垂直的判定定理即可求证； (2)取中点，连接，利用等体积法即可求出点到平面的距离； (3)过作，使，过作，垂足为，连接HC，由平面，可知平面，所以即为与平面所成角，最后利用三角形的边角关系求二面角的正切值. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以， 因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）如图所示，取中点，连接， 因为， 所以为等边三角形， 所以，， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面 因为分别为的中点， 所以为梯形中位线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 同理可得，， 又因为， 所以是等腰三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为， 所以， 解得，. 所以点到平面的距离为. （3）如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC， 所以， 所以四边形为矩形， 所以， 又， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角， 因为， 所以， 故与平面所成角的正切值为. 题型14： 求二面角 【例14-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，，，求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小. 【详解】如图： 不妨设.取和的交点为，中点，连接，，. 则，，. 因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以. 因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以. 因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以. 因为，且在上单调递减. 所以. 故选：A 【变式14-1】正方体中，二面角的正切值为_________. 【答案】 【分析】连接与相交于点，根据正方体性质、等腰三角形的性质可以确定 ，进而特集团二面角的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系中的平方和关系和商关系进行求解即可. 【详解】连接与相交于点，连接，设正方体的棱长为，   ，，为中点， ， 为二面角的平面角， ，，， ， ， ， 二面角的正切值为 故答案为：. 【变式14-2】（2024高一下·江苏·专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________． 【答案】/0.5 【分析】过点作平面，垂足为，连接，过作，垂足为，连接，可证平面，即为所求，设，再根据和的线面角，在三角形中求得各边的长度，进而得到. 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 过作，垂足为，连接， ∵平面，则， ∵，，，平面， 则平面，且平面， ∴，即所求二面角的平面角为， 设，分别与平面成和角， 则， 的面积， 所以，， ，所以， 故所求锐二面角的余弦值为． 故答案为：. 【变式14-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面，   ∴．                                       又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. （2）过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，                                  又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，，             ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，，                  而，                                                 ∵，∴，解得或              又，∴．                                                  法二：当时，为的角平分线，且， ∴，                                               又，∴． 一、单选题 1．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项ACD符合相应定理，选项B直线可能在平面内. 【详解】对于A，由线面垂直的性质可知，一直线垂直同时垂直两个平面，则两平面平行，故A正确； 对于B，直线可能在平面内，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理，若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直，故C正确； 对于D，由由线面垂直的性质可知，两直线同时垂直一个平面，则这两直线平面，故D正确； 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误； D.若，，则，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】注意与平行这一特殊情况：，，再结合充要条件分析即可. 【详解】直线平面，则且， 反之，若，则，， 所以“，”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（24-25高一下·江苏南通·月考）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，四面体为正四面体，取的中点，连接，，可得为二面角的平面，计算即可解. 【详解】因为球面三角形的三条边长均为，， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，，如图， 则，，且， 则为二面角的平面角. 由余弦定理可得 所以此球面三角形一个内角的余弦值为. 故选：C 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的. 【详解】如图，在正方体中：    因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误； 因为平面，，但平面，而非平面，故B错误； 因为平面，平面平面，但平面，而非平面，故C错误； 对D：若，，则，故D正确. 故选：D 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由题意作长方体，根据长方体的几何性质，利用线面位置关系以及反例，可得答案. 【详解】由题意作长方体，    对于A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故A错误； 对于B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故B错误； 对于C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质，可得D的正确. 故选：D. 8．（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 【答案】A 【分析】对A，取中点，连接，利用正方体的性质可得四边形是平行四边形，即可求解；对B，利用，即可求解；对C，因为两平面过同一点，即可求解；对D，连接，从而可得为与所成的角，在中，通过计算可得，即可求解. 【详解】对于A，取中点，连接，因为分别为，的中点， 则，且，所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以平行四边形，则，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，所以，故A正确， 对于B，因为，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为平面与平面均过点，所以平面与平面不平行，故C错误， 对于D，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形， 则，所以为与所成的角， 在中，设，则， 所以，故D错误， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【分析】通过分情况并画图分析可判断A正确；由基本事实3可判断B错误；由两个相交的平面有无数个公共点可判断C错误；根据空间两直线的位置关系可判断D错误. 【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 10．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若直线不平行于平面，则下列结论错误的是（    ） A．内的直线都与相交 B．内的所有直线都与异面 C．直线与平面有公共点 D．内不存在与平行的直线 【答案】ABD 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】若直线不平行于平面，根据直线与平面的位置关系，可得直线在平面内或直线与平面相交，结合选项，可得A、B、D均不正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）一副三角板按如图所示的方式拼接，把沿BC边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接AD，其中，.下列说法正确的是（   ） A．直线平面ABC B．平面平面ACD C．直线AC与直线BD所成角为 D．直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直的性质定理等知识判断A，B；再由异面直线所成角的求法以及线面角的求解判断C，D即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， 又为直角三角形，，∴平面，选项A正确；平面，平面，， 为直角三角形，∴，平面，， ∴平面，因为平面，故平面平面，选项B正确； 对于C，分别取的中点，过点作于，连接, 所以，即直线AC与直线BD所成角为或其补角. 不妨设，则可得，，，，，， ，，， 所以， 故， 则在中，， 从而可知直线AC与直线BD所成角不为，故C错误； 由题意知平面，平面， 所以，为直线AD与平面所成角. 不妨设，则，，， 直线平面，平面，所以， ，则， 所以直线AD与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 【答案】 【分析】根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点， 连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为 ． 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 【答案】 【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，为侧面的中心，是平面的中心，求和所成的角．    【答案】 【分析】连接，，确定异面直线与所成的平面角，即可求解. 【详解】连接，则分别为的中点，连接， 则，又， 所以(或其补角)为异面直线与所成的角， 由于是等腰直角三角形，故， 即与所成的角为. 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)存在点，且，使得平面. 【分析】（1）根据线面角定义得出线面角为，再结合边长关系计算求解； （2）在直角梯形中，过点作于，根据得到，利用线面垂直的性质得到，从而得到面，再利用面面垂直的判定即可证明平面平面. （2）存在点，且，则在上取点，使，连接，，，易证，，从而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，从而得到平面． 【详解】（1）四棱柱是直四棱柱，所以平面， 所以直线和平面的夹角为， 在直角梯形中，过点作于，如图所示： 由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形，所以， 所以， 在中， 所以； （2）由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形， 所以，，所以， 所以， 从而得到， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （3）存在点，且，使得平面， 则在上取点，使，连接，，，如图所示： 此时，， 所以，即， 在平面中，，所以， 此时由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)若点P在上，，直线与平面交于点F，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）根据面面角定义作出二面角的平面角，求出相关线段长，结合正切函数定义即可求得答案； （3）证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可证明结论. 【详解】（1）因为直四棱柱中，底面，底面， 所以. 因为菱形，所以，平面， 所以平面. （2）设，连接， 因为平面， 所以，且，， 所以是二面角的平面角. 因为，， 所以是正三角形， 所以，. 因为，在直角三角形中， 所以二面角的正切值为. （3）如图，连接，.    在直四棱柱中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 同理，平面 因为，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以. 19．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在且，使得二面角的余弦值为. 【分析】（1）的中点为，连接，可证，结合线面平行的判定定理可得平面. （2）将正三棱台补成正三棱锥，可证为与平面所成的角，利用解直角三角形可求其余弦值，从而可得正弦值. （3）当时，可证为二面角的平面角，结合解直角三角形可得此时. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由正三棱台的性质可得，而，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. （2）由棱台的性质可知侧棱所在的直线交于一点，如图所示， 设，则，如（1）取的中点为，连接， 因为，故，故， 故为等边三角形，故， 而平面，，故平面， 而平面，故平面平面， 过作，垂足为，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角， 而， 故，而为三角形内角， 所以， （3）存在且，使得二面角的余弦值为. 证明如下： 由（2）可得，连接，由（1）得， 而，故，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角. 在中，， 显然为等腰三角形，且 ，故为的中点， 故，则， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 基本图形位置求法 知识清单 知识点01：用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系 知识点02：平面的基本事实 知识点03：平面基本事实的推论 知识点04：如何研究共面、共线问题 知识点05：空间两条直线的位置关系 知识点06：基本事实4 知识点07：等角定理 知识点08：异面直线 知识点09：基本事实4 等角定理在空间图形中的运用 知识点10：空间中异面直线的判定及所成角的求解 知识点11：直线与平面的三种位置关系 知识点12：直线与平面平行 知识点13：直线与平面垂直 知识点14：两种距离 知识点15：直线与平面所成的角 知识点16：如何判定直线与平面垂直 知识点17：如何探究直线与平面所成的角 知识点18：两个平面的位置关系 知识点19：两个平面平行 知识点20：两个平行平面间的距离 知识点21：二面角 知识点22：平面与平面垂直 知识点23：两个平面平行的判定 知识点24：如何求二面角的大小 知识点25：垂直关系的相互转化 题型讲解 （举一反三） 题型1：平面的概念及表示，空间位置关系的画法 题型2：平面的基本性质及辨析 题型3：点（线）确定的平面数量及空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 题型4：由平面的基本性质作截面及有关计算 题型5：异面直线的概念及判定 题型6：异面直线所成角概念及辨析，求异面直线所成角 题型7：异面直线垂直的判断与证明 题型8：判断图形中的线面关系 题型9：线面关系有关命题的判断 题型10： 线面垂直证明面面垂直 题型11： 求线面角 题型12： 证明面面平行 题型13： 证明面面垂直 题型14：求二面角 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系 位置关系 符号表示 点P在直线AB上 P∈AB 点C不在直线AB上 C∉AB 点M在平面AC内 M∈平面AC 点A1不在平面AC内 A1∉平面AC 直线AB与直线BC交于点B AB∩BC=B 直线AB在平面AC内 AB⊂平面AC 直线AA1不在平面AC内 AA1⊄平面AC 知识点二、平面的基本事实 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α ①确定平面的据； ②判定点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒AB⊂α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线   ⇒α∩β=l且P∈l ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上 知识点三、平面基本事实的推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 直线l，点A∉l⇒有且只 有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点四、如何研究共面、共线问题 1. 点、线共面问题的证明 (1)点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. (2)解决此类问题通常有两种方法： ①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； ②辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 2. 点共线问题 (1)点共线问题是指证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (2)解决此类问题常用以下两种方法： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上； ②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 3. 线共点问题 　　线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实4. 证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点. 知识点五、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 知识点六、 基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 ⇒a∥c 作用 揭示了空间平行线的传递性 知识点七、等角定理 文字语言 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 特别地，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向一边相同，另一边相反，那么这两个角互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'两边的方向相同⇒∠AOB=∠A'O'B'； OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB与∠A'O'B'的一边方向相同，另一边方向相反⇒∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判定两个角相等或互补 知识点八、异面直线 1. 异面直线的判定定理 文字语言 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 符号语言 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 图形语言 2. 异面直线所成的角 如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角. 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°，若θ是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b. 知识点九、基本事实4 等角定理在空间图形中的运用 1. 空间中两直线平行的证明方法 (1)利用定义：证明两条直线共面且无公共点. (2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)证明. (3)利用基本事实4，即找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，从而得到a∥b. 2. 空间中角相等的证明方法 (1)利用等角定理证明； (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 利用等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②证明对应边的方向相同. 知识点十、空间中异面直线的判定及所成角的求解 1. 判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交； (2)过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线； (3)反证法. 2. 求异面直线所成角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角. (2)证明：证明作出的角或其补角就是要求的角. (3)计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解. (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角 是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 知识点十一、直线与平面的三种位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 知识点十二、直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒l∥m 知识点十三、直线与平面垂直 1. 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α. 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足. 2. 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 判定定理 性质定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 ⇒a⊥α  ⇒a∥b 常用结论 — 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 知识点十四、两种距离 1. 点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 2. 直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 知识点十五、直线与平面所成的角 1. 射影 (1)概念： 如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的射影，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影. (2)常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 2. 直线与平面所成的角 (1)概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. (2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角. (3)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°. 知识点十六、如何证明直线与平面平行 1. 证明直线与平面平行的步骤 （1）找：在平面内找到（或作出）一条已知直线平行的直线 （2）证：证明已知直线平行于找到（或作出）的直线 （3）结论：由直线与平面平行的判定定理得出结论 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去. 有如下示意图： 知识点十六、如何判定直线与平面垂直 1. 判定直线与平面垂直的常用方法 (1)利用直线与平面垂直的定义，即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得到直线a⊥平面α(一般不易验证任意性). (2)利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂直⇒线面垂直”(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=M⇒a⊥α). (3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(a∥b，b⊥α⇒a⊥α). 2. 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使已知直线和这两条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交直线； (3)根据判定定理得出结论. 知识点十七、如何探究直线与平面所成的角 1. 求直线与平面所成角的大小的步骤 (1)作角： ①作垂线：过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线； ②作射影：连接垂足和斜足； ③确定平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角). (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算. 知识点十八、两个平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β=a 知识点十九、两个平面平行 1. 两个平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 2. 相关结论 (1)已知两个平面平行，则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 知识点二十、两个平行平面间的距离 1. 公垂线、公垂线段：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 2. 两个平行平面间的距离 (1)定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. (2)性质：两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离. 知识点二十一、二面角 1. 二面角 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面 二面角 相关概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面 画法 记法 二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q 2. 二面角的平面角 定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β=l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角α-l-β的平面角 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫作直二面角 范围 二面角θ的大小范围是0°≤θ≤180° 知识点二十二、平面与平面垂直 1. 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互 相垂直. 2. 画法： 3. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理 判定 定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 ⇒α⊥β 性质 定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 知识点二十三、两个平面平行的判定 1. 两个平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (3)转化为线线平行：若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，解题时由线线平行可推出线面平行，由线面平行可推出面面平行. 知识点二十四、如何求二面角的大小 　　求二面角的大小的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解. 1. 作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图①，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，其交线所成的角即为二面角的平面角. 如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角(或其补角). 如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 图①  图②  图③ 知识点二十五、垂直关系的相互转化 1. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是独立的， 而是相互关联的. 它们之间的关系如下： 2. 平行关系与垂直关系之间的相互转化 题型1：平面的概念及表示，空间位置关系的画法 【例1-1】有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列图形中，正确表示直线a在平面内的图形是______． 【变式1-2】（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【变式1-3】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 题型2：平面的基本性质及辨析 【例2-1】能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【变式2-1】可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有（    ） A．三个点 B．1个点和一条直线 C．无数个点 D．两条平行直线 【变式2-2】直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 【变式2-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α，β，直线a，b，l，若αβ＝l，aα，bβ，ab=M，则点M与直线l的位置关系是__． 题型3： 点（线）确定的平面数量及空间中点（线）共面、点共线、线共点问题 【例3-1】（24-25高一下·江苏·月考）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（    ） A．不共面 B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．共面 【变式3-2】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定________个平面． 【变式3-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    题型4： 由平面的基本性质作截面及有关计算 【例4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为___ 【变式4-2】在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______. 【变式4-3】如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 题型5： 异面直线的概念及判定 【例5-1】在棱长为1的正四面体中，直线与是（    ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 【变式5-1】如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【变式5-2】已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是______． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为______（填平行、相交、异面）. 题型6： 异面直线所成角概念及辨析，求异面直线所成角 【例6-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）在正方体中，异面直线与AC所成角为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【变式6-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    【变式6-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，若分别是的中点，且和所成的角为，求和所成的角．    题型7： 异面直线垂直的判断与证明 【例7-1】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【变式7-2】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【变式7-3】如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线； (2)若，，求、所成角的大小． 题型8： 判断图形中的线面关系 【例8-1】用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】在下列关于直线与平面的所述中，正确的是（    ） A．若且，则； B．若且，则； C．是内两条直线，且，，则； D．，，，，则. 【变式8-2】（2024高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【变式8-3】如图，长方体． （1）直线平面______； （2）直线平面______． 题型9： 线面关系有关命题的判断 【例9-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与不平行，则与一定不平行 C．若，则 D．若与不垂直，则与一定不垂直 【变式9-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知直线m在平面内，直线n与平面相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是（   ） A．共面 B．共面 C．异面 D．异面 【变式9-1】（24-25高一下·江苏·月考）用符号表示“点不在直线上，在平面内”，正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：________（填序号） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 题型10：线面垂直证明面面垂直 【例10-1】在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 【变式10-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 题型11： 求线面角 【例11-1】（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为_________. 【变式11-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 题型12： 证明面面平行 【例12-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）棱长为m的正方体的展开图如图所示（A，B，C，D是顶点），若正方体中和到平面的距离相等，则截正方体所得截面的面积为______.（结果用m表示）    【变式12-1】（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【变式12-2】如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为______. 【变式12-3】（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 题型13： 证明面面垂直 【例13-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在正方体中.    (1)求证：平面； (2)若平面，求证：平面平面. 【变式13-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【变式13-2】（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. (1)求证：四边形为梯形； (2)求证：平面平面. 【变式13-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正切值. 题型14： 求二面角 【例14-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】正方体中，二面角的正切值为_________. 【变式14-2】（2024高一下·江苏·专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________． 【变式14-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 一、单选题 1．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·江苏南通·月考）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 10．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若直线不平行于平面，则下列结论错误的是（    ） A．内的直线都与相交 B．内的所有直线都与异面 C．直线与平面有公共点 D．内不存在与平行的直线 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）一副三角板按如图所示的方式拼接，把沿BC边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接AD，其中，.下列说法正确的是（   ） A．直线平面ABC B．平面平面ACD C．直线AC与直线BD所成角为 D．直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 13．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 14．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 四、解答题 15．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体中，为侧面的中心，是平面的中心，求和所成的角．    16．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 17．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)若点P在上，，直线与平面交于点F，求证：. 19．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $