重庆育才中学教共体初2025--2026学年八年级下学期半期自主作业数学试

重庆育才中学教共体初2027届初二（下）半期自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑， 1.下列式子是最简二次根式的是() A.√0.3 B.V13 e D.V75 2.以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是() A.2,2,3 B.4,5,6 C.2,3,4 D.5,12,13 3.甲、乙、丙、丁四位男同学在期末体育考试前进行10次立定跳远测试，平均成绩都是2.4 米，方差分别是：S=0.52,S2=0.55,S西=0.45，S子=0.61，则成绩最稳定的是（) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.“漏壶”是一种古代计时器，壶内壁有刻度，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔匀 速漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间.用x表示漏水时间，y表示壶 底到水面的高度（不考虑水量变化对压力的影响），下列图象中适合表示y 与x的对应关系的是() 第4题图 D 5.如图，下列条件中不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC C.ABI∥CD,AD=BC D.ABI∥CD,AB=CD 6.一次函数y=-2x+5的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 第5题图 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 初2027届数学试卷第1页共8页 7、关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是() A B.k<2 4 C.k≥25 D.k>25 4 8.如图，小明用同样大小的菱形设计了如下的花卉图案，其中第①个图案有5个菱形，第② 个图案有9个菱形，第③个图案有13个菱形，…按此规律，第⑧个图案中菱形的个数 是() ① A.29 B.33 C.35 D.41 9.如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AB=3AE=6,连接DE, 过点A作AF⊥DE于F,交BC于H,在射线AF上截取FG=FD, 连接BG,则BG的长度为() A.65 3 B. B 5 5 第9题图 C.V万 D.3V5 4 l0.已知整式A:a。+ax+a2x2+…+anx”,其中a,和n为自然数，a1,a2,,an为正整数，且 a0+a1+a2+…+an=4.下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式： ②满足条件的所有整式A中，有且仅有2个整式，使得√A的化简结果为整式； ③当n≥1时，关于x的方程A=a（a,为对应整式的常数项)总存在整数解， 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上 11.函数y=√x-2的自变量的取值范围是 12.若正比例函数y=-2x的图象经过点(m,4m+3),则m的值为 初2027届数学试卷第2页共8页 13.若m,n是关于x的一元二次方程x2-3x-10=0的两个根，则m+n-mn= 14.如图，E为菱形ABCD中CD边上一点，AE=AC,∠B=50°，则 ∠DAE= 15.如图，矩形ABCD中，AD=5,点H是AB边上一点，将△ADH沿 DH翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，点F是HE延长线上一 第14题图 点，连接DF交BC于点G,若EF=EG=2,则AH的长为 16.对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字 与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称 这个数为“勾股形数”如：四位数3254,32+42=25，.3254是“勾 股形数”；四位数7846,72+62=85≠84，.7846不是“勾股形数”， 第15题图 则最小的四位“勾股形数”为」 ,对于一个“勾股形 数”M=abcd,记F(M)）=M-10a2-10d2能被9整除，GM)=a+C为整数，则M的最 b-d 大值与最小值的和为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的 位置上， 17.计算 (1)18+√8+|3-27l: ++-回 I8.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,过点A作AE⊥BD交BD于点F,交BC于点E. (1)尺规作图：过点C作BD的垂线交AD于G,交BD于H(不写作法，保留作图痕迹)： (2)连接EH,FG,求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：：AE⊥BD,CG⊥BD, ∴，∠AFB=∠GHB=90°，∠BFE=∠DHG=90° ① :四边形ABCD为平行四边形， 初2027届数学试卷第3页共8页 AG/1CE、 四边形AECG为平行四边形 、AG=CE,AE=CG 四边形ABCD为平行四边形， .BC//AD,BC=AD ∴BC-CE=AD-AG即BE=DG. BC//AD, 、② 在△BEF与△DGH中， ∠BFE=∠DHG=90 ∠FBE=∠GDH ⑧ ∴△BEF≌△DGH(AAS. ④ EF //GH, ∴.四边形EFGH为平行四边形 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应 的位置上， 19.某校举办了中华古代文化常识知识竞赛.现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞 赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得 分用x表示，共分为三组：A,60<x≤80；B.80<x≤90；C.90<x≤100，得分在90分 以上为优秀，不包含90分).下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：62,72,74,78,84,84,84,88,90,94 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81,83,85,86 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81 84 e 八年级 81 b 72 初2027届数学试卷第4页共8页 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 C A m% 40% B (1)填空：a=,b=,m= (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的知识竞赛成绩较好？请说 明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1600名学生，八年级有1200名学生参加了此次知识竞赛，估计该校 七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 20先化高，再求：1+二2任》 其中x是3√2的整数部分 21.为了营造更加浓厚的读书氛围，我校初二年级计划采购古典名著、原创诗歌两种课外读物 用于学生阅读.年级预算资金为2000元，且原创诗歌每本的价格是古典名著每本价格的1.25 倍.若用800元购买古典名著，剩余的资金购买原创诗歌，则购买到的古典名著的数量比 原创诗歌的数量少10本 (1)求古典名著和原创诗歌每本的价格分别为多少元？ (2)由于采购方案的变化，现在共需采购古典名著、原创诗歌两种课外读物共100本，恰 逢商家进行促销活动，商家决定给予一定的优惠，古典名著在原价的基础上降价4，原创 诗歌按原价的九折销售，购买两种读物的总费用不超过1694元，请问古典名著最少购买 多少本？ 22、如图1，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,对角线AC与BD交于点O,动点P以每秒1 个单位的速度沿着路径A→B→C运动，到达点C停止运动，连接OP,设运动时间为x 秒(0<x<7),△AOP的面积为y. 1 6 4 3 1 01234567 图1 图2 (1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)在图2中画出(1)中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线=一x+t与(2)中的函数图象有两个交点，直接写出t的取值范围 2 23.如图1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以线段AB,BC,CD,AD为边向外作 正方形，正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4,连接AC,利用勾股定理可以得到： S,+S2=S3+S4.根据材料提示完成下列问题： 24 S3 D S2 S 49 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，AD是△ABC中BC边上的高，分别以线段AB,BD,CD,AC为边向外作正方形， 正方形的面积分别为S,S2,S,S4,请写出S,S2,S,S4的等量关系 (2)如图3，在△ABC中，AB=2,AC=2N3,点D是BC上一点，且BC=4BD,若AD⊥BC, 求证：△ABC是直角三角形； (3)如图4，在△ABC中，分别以线段AB,AC,BC为边向外作正方形，正方形的面积分别 17,24,49,试求出△ABC的面积. 24.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=-x+b与x轴、y轴分别交于A,B两点，且 {经过点C(-2,,与直线马：y=x+m相交于点D,点D的纵坐标为1，直线交y韩 半轴于点E,且OE=OA. (1)求直线l2的解析式： (2)若点P在直线4：y=c+m的图象上，且满足Saop=Sa0e,求出点P的坐标： (3)M为直线2上一动点，y轴上是否存在一点N,使以A,D,M,N为顶点的四边形是 行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点N的坐标， 并写出其中一个点N的坐标的求解过程， L:y=kx+m l:y=-x+b 初2027届数学试卷第7页共8页 25.在Rt△ABC中，CA⊥AB,∠B=30°，E、D分是AB和BC上的点，连接DE,且满足 ∠DEB=30°，连接CE,点F是EA延长线上一点，在直线CE上取一点H,使 ∠HFE+∠BCE-90°，直线FH与直线BC交于点G. (1)如图1，求∠FHE的度数； (2)如图2，延长DE与CA的延长线交于点T,连接FT,若AF=AE,请用等式表示线段 EF与DG的数量关系，并证明： (3)如图3，在(2)问情况下，AC=√3，以CE为边，在CE右侧作等边△CEM,连接 DM,点P是直线CF上一动点，连接MP,在MP上方作等边△MPS,点Q是直线CE上 一动点，连接BQ,在BQ上方作等边△BQR,连接SR,当CM√3DM时，请直接写出 PS+SR+RO的最小值. S R D D B 图1 图2 图3重庆育才中学教共体初2027属初二（下)半期自主作业 数学答案 一、选择题： 1 23 4 5 6 7 8 10 BD B C B 二、填空题： 11.x≥2 12. 2 13.13 14.15 15. 15 7 16.1265,8111 三、解答题： 17.(8分) (1)18+8+3-√271： 解：(1)原式=32+22+33-√32分 =5V2+2W3 ②c5--丽g 原式=(W48+26-√6)：5 =(N48+6)÷V5 =√16+√2 =4十√5.4分 18.(8分) 解：(1)如图所示， 4分 (2)①AE/1CG②∠FBE=∠GDH③BE=DG④EF=GH........8分 四、解答题： 19.(10分) 解：(1)☑=84，b=82,=20;.3分 (2)我认为七年级的知识竞赛成绩更好，理由如下：七年级知识竞赛成绩的中位数84大于八年级 的中位数82，所以我认为七年级的知识竞赛成绩更好..6分 (3)1600×+1200×20%=400人) 10 答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是400人..10分 20.(10分) 保1 x2-4 =x+1+ x2-4,2(x-1)3x x2-2x+1x(x-1)x(x-1) …2分 =x+1+r2-42x-2-3x x2-2x+1x(x-1) =x+1+ x2-4-x-2 x2-2x+1x(x-1) 3分 =x+1+x+2)x-2.x(x-1) (x-1)2-(x+2） x+1- x(x-2) x-1 5分 =-1-x2+2x x-1 2x-1 x-1 .6分 .4<3V2=√18<5， X=4..8分 “原式x= 8-17 4-13 .10分 21.(10分) 解：(1)设古典名著每本的价格为x元，则原创诗歌每本的价格为y元，由题意得 8001200 10.3分 x1.25x 解得：x=16,经检验x=16是原方程的解，且符合题意 1.25x=20........4分 答：古典名著和原创诗歌每本的价格分别为16元和20元..5分 (2)设购买古典名著m本，则购买原创诗歌(100-m)本，由题意得 2 16×0-m+20×0.9×000-m≤1694.7分 解得：m≥172.7m为正整数，m≥18.9分 答：古典名著最少购买18本.…10分 22.(10分) [x(0<x≤3) (1)y= 3 21 (3<x<7) …4分 4 (2)如图所示： 6分 1234.56 性质：当0<x<3时，y随x的增大而增大：当3<x<7时，y随x的增大而减小 (或：当x=3时，函数y有最大值为3，函数y无最小值).8分 6)0<t<3 10分 23.解：(DS1-S2=S4-S32分 （2)证明：BC=4BD, .设BD=x,则CD=3x AD L BC ∴.∠ADB=∠ADC=90° AB=2,AC=2√5 .∴在RIAABD和Rt△ADC中 22-x2=(2√5}-3x2 x2=1 .x>0 ∴x=1 BC=4BD=44分 AB2+AC2=22+23}=16 BC2=42=16 ..AB2+AC2=BC2 .△ABC是直角三角形..6分 (3)过点A作AE⊥BC于点E 设BE=y,则CE=7-y AE⊥BC .∴.∠AEB=∠AEC=90° .AB2=17,AC2=24 17 .RIAABE和Rt△ACE中 49 17-y2=24-(7-y)2 y=3 .AE2=17-9=8 8分 .AE>0 ..AE=2v2 .SMme =BC.AB=Ix7x22=72 1 2 10分 24.(10分) (1).直线1：y=-x+b经过点(-2,6) .6=2+b .b=4.1分 .:y=-x+4,令y=0,则x=4 hy=kx+m ..OE=OA=4 ∴.E(0,-4) -1 11y=-+b .点D的纵坐标为1，且点D在直线：y=-x+4上 .D(3,1) .......。..2 将D(3,1),E(0,-4)代入y=x+m 3k+m=1 =-4 4 k-5 m=-4 5 ∴直线12的解析式为y= X-4;3分 3 1 ②）Sa0g=2BE-=2X(4+40x3=12,4分 S0SA 3 2 ①当点P在直线BD下方时，SAP=2 SABDE=8 3 .BE.x=8 xp=2 5分 4 ②当点P在直线BD上方时，S△aP=SARDE=16 3 .BEx,=16 xp=4 P48 综上所述，符合条件的点2，，，4,8…7分 理由如下：9分 4+3=x+0 5 设M(c,r-4),V0,),当AD为平行四边形的对角线时，有 1+0 34+y 5 x=7 解得 20 y=- 3 10分 25.解：(1)设∠ECB=o 则∠CEF=+301 .∠HFE+∠BCE=90° .∠HFE=90°-a 在△EFH中 ∠FHE=180°-（∠CEF+∠HFE)=60°.3分 (2)(法1：构造平行四边形1）DG=25F,证明如下： 3 如图，过点T作TKI/FG交BC于点K, H D .'∠ACB=∠CDE=60° .△CDT是等边三角形..4分 ∴.∠CTD=60°，∠AET=30° ,CT垂直平分EF ∴.TF=TE,∠AFT=∠AET=30° ,∠ATF=60°=∠ACB ∴.TF∥BC ∴.四边形TFGK是平行四边形 T℉=GK.5分 .'FG∥TK ∴.∠TPE=∠FHE=60 .∴.∠1+∠2=60° :∠3+∠2=60° .∠1=∠3 6 在△CTE和△TDK中， ∠1=∠3 CT-TD ∠CTE=∠TDK .△CTE≌△TDK(AS4).7分 ∴.TE=DK ∴.DG=2TF 在△A7F中TF=2 3 -AF DG= 2W3 3 EF8分 可能其他解法： G D D B E (法2：构造平行四边形2) (法3：利用中位线) D B (法4：构造等边三角形CRG,△CRF≌△GRF(SSS),证△RFE是等边三角形，得△RTF是直 角三角形) D (法5：此法可不用全等，作VLBC,等角对等边证FC=G,再证△RFE是等边三角形，后同法4) B (法6：己知一边一角构造边角边全等，取DU=T,再证△GDU是直角三角形) (3)PS+SR+RQ的最小值为27...10分 .'△CDM≌△CKE ∴.当CME√DM时CM⊥DM,CE是∠ACB的角平分线，由P的轨迹是CF推出S的轨迹是 直线SU,Q的轨迹是CE推出R的轨迹是直线EM,由等边三角形转化PS+SR+RQ=MS+SR+RB, 作M关于SU的对称点M',MS+SR+RB=M'S+SR+RB,最小值即为线段M'B的长度，在直 角△MVB中由勾股定理可得MB=VMV2+VB2=√(3V5)2+12=2√万.