精品解析：安徽合肥市第三十八中学等校2025-2026学年下学期期中考试八年级数学（沪科版）

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 化简：（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质计算即可，算术平方根本身是非负数． 【详解】∵， ∵， ∴． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. 6，9，10 C. 5，13，12 D. 10，8，7 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数的定义为：满足的三个正整数称为勾股数，据此对各选项依次验证即可． 【详解】解：选项A：，，，则A不是勾股数； 选项B：，，，则B不是勾股数； 选项C：，，三个数均为正整数，满足，则C是勾股数； 选项D：，，，则D不是勾股数． 3. 下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的性质，同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化为最简二次根式，判断与是否为同类二次根式． 【详解】解：选项A、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项B、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项C、是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项D、被开方数为，不是同类二次根式，不能合并，符合要求． 4. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解： 则的长为10． 5. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，则需满足， A项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，符合题意； B项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的取值范围． 【详解】解：首先化简原式：， ∵， ∴ 不等式两边同时减1，得， ∴原式的值在2和3之间． 7. 五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．要求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．，，，故A不正确，不符合题意； B．，，故B不正确，不符合题意； C．，，故C正确，符合题意； D．，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（ ） A. 0.4小时 B. 0.5小时 C. 0.6小时 D. 0.8小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 9. 已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是线段上一点，连接，点是线段上一点，连接，已知，与交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，求得，，利用勾股定理可判断C；求得，可判断B；连接，证明，得到，利用勾股定理可判断D；不能证明，可判断A． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵，， 记与交于点， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∵， ， ∴，， ∵与不一定相等， ∴不能证明，故选项A错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使有意义的的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于有意义， 则， 移项得：． 12. 若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程变形为相同的形式，再换元求解即可． 【详解】解：方程变形为，看作关于的方程， ∵方程（、为常数）的解是，， ∴，， 解得：，． 13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积：，由此列出方程并求得的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的材料长为，则平行于墙的材料长为， 根据题意，得． 解得：， 故答案为：5． 14. 如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】 ①. 90 ②. 7.2 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，即可求得； （2）连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解： 令或 解得，． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘积，再计算二次根式的乘法，最后计算减法得到最终结果． 【详解】解： ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）说明是直角三角形； （2）求的度数． 【答案】（1） 解：设网格中小正方形的边长为1， 由图可得：、、， 、、， 、， ， 是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查两点间距离公式、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）设网格中小正方形的边长为1，由图得到点、、、的坐标，再利用两点间距离公式求出、、，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形； （2）同（1）可得到是等腰直角三角形，且，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，点的坐标为， 、， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，且， ． 18. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照上述规律，回答以下问题： （1）直接写出下列等式： ①第6个等式： ；②第个等式： ； （2）求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第6个等式即可；第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （2）利用规律求解即可解出． 【小问1详解】 解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，， 得， 第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2所示，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）20；（2）4 【解析】 【分析】（1）结合题意，通过勾股定理计算，即可得到答案； （2）结合题意，通过勾股定理计算得OB，结合（1）结论计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得米，米 由勾股定理得 ∴ ∴ 即这个云梯的底端离墙20米远； （2）由（1）可得：米 根据题意可得：米，米 由勾股定理得 可得： 米 即梯子的底部在水平方向滑动了4米． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 六、（本题满分12分） 21. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】（1）的值为0或； （2）或； （3） ∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【解析】 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； 【小问3详解】 解：略． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）如图①，连接，若平分，，，，求的长； （2）如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 【答案】（1）3 （2）（）；（） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定理得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）（）根据等腰三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，进而得到，进而得到，从而得到； （）连接，设，由（）知，、，在和中，利用勾股定理求出，列出等式，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：平分，， 设，则 在中， 解得 即的长为3； 【小问2详解】 解：（）， 是的垂直平分线 在中， ； （）连接，设， 由（）知，、 在中， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： 解得 即的长为． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）该零件的实际售价应定为50元 （3）不能，理由如下： 设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 【解析】 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【小问1详解】 解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 化简：（ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 3，4，6 B. 6，9，10 C. 5，13，12 D. 10，8，7 3. 下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 5. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（ ） A. 0.4小时 B. 0.5小时 C. 0.6小时 D. 0.8小时 9. 已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是线段上一点，连接，点是线段上一点，连接，已知，与交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使有意义的的取值范围是____________． 12. 若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为__________． 14. 如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 计算：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）说明是直角三角形； （2）求的度数． 18. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照上述规律，回答以下问题： （1）直接写出下列等式： ①第6个等式： ；②第个等式： ； （2）求的值． 20. 如图1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2所示，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 六、（本题满分12分） 21. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）如图①，连接，若平分，，，，求的长； （2）如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $