解答题专练(17)概率与统计(二)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼跃龙门老 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（十七） 数学·概率与统计（二） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜 的概率为p1,甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为饣3· (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛 结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空 者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利， 比赛结束.假设p1=p2=p3=0.6,且每局比赛相互独立. (1)求三人总积分为2分的概率； (ⅱ)求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望. (2)若p1+p3<1,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最 优指定策略 2.(15分)某商场决定在国庆期间举行抽奖活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2 个红球，3个黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红 球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回 盒中。 (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，求第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记P,-1为第n个顾客参与后，后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列 {Pn}的通项公式； (3)设事件X为第k个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使X发生概率最大，求k的值. 数学·解答题专练（十七）第1页（共2页） 3.(15分)甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有5个红球，5个白球，两个袋子均不透明， 其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取2个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀 后从乙袋一次性抽取3个小球，记录颜色.设随机变量X表示在甲袋中抽取出的红球个数， Y(k)表示X=k时，在乙袋中抽取出的红球个数，Z表示在乙袋中抽取出的红球个数， (1)求X的分布列； (2)求Y(k)的数学期望E[Y(k)](用含k的代数式表示)； (3)记X的所有可能取值为a1,a2,…,an,证明：E(Z)=分p(X=a)E[Y(a)门，并求E(Z). h- 4.(15分)某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每 位参赛者均需要回答3个题目，可以从6个A组题目和若干个B组题目中共选择3个题目作 答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得a(a>0)分，不能正确回答 的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4 个题目，B组题目每个正确回答的概率均为？，且能否正确回答A组和B组题目互不影响。 (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两 组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为X. (ⅰ)若选择的3个题目均为A组题目，求X的分布列及数学期望E(X); (iⅱ)试确定α，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A,B组题目数量，其总得分X保持 期望稳定，并说明理由.（参考公式：E(X1十X2)=E(X1)十E(X2),其中X1,X2为随机 变量) 数学·解答题专练（十七）第2页（共2页）·数学· 2:-7x 根据参考公式，方= =1 2x-1 ,将2x=50.95,≈ 1.57,x=140,z=4代入可得 6=50.95-7X4X1.57_6,9≈0.25. 140-7×42 28 a=-ix≈1.57-0.25X4=0.57. 则之=0.25x+0.57, 因为a=lgc,b=lgd,所以lgc≈0.57，则c≈10°.57，lgd≈ 0.25,则d≈100.25 所以y与x的回归方程为y=10.”·10.25x 即y=100.25x+0.57」 (2)全体学生身高的平均数X=30×171.5+20X161.5 30+20 8375=167.5. 50 根据方差公式 L[S+(区-X)]十n:[S+(风，-X)门（其中1，：为各 n1十n2 层人数，S,S为各层方差，X1,X2为各层平均数，X为总平 均数). 将n1=30,S=13.0,X1=171.5,n2=20,S2=27.0,X2= 161.5,X=167.5代入可得S2 30×[13.0+(171.5-167.5)] 30+20 20×[27.0+161.5-167.5]_2130=42.6, 30+20 50 则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6. 数学解答题专练（十七）】 1.解：(1)(1)由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得 两场胜利，有两种情况，P=0.6×0.6+0.4×0.6=0.6. (i)由题意可知，X=2,3,4, 所以P(X=2)=0.6×0.6+0.4×0.6=0.6, P(X=3)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.4×0.4=0.16, P(X=4)=0.6×0.4×0.6+0.4×0.4×0.6=0.24, 所以三人总积分X的分布列为 X 2 3 4 P0.60.160.24 所以E(X)=0.6×2+0.16×3+0.24×4=2.64. (2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙 对甲最终乙获胜”， C为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中A包含三种情况， 第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故P(A)=pg(1-p1)+p31(1-p2)p3+(1-p3)p2(1 卫1）p3· 同理可得P(B)=(1-p1)p3十(1-p1)(1-p3)p2(1-p:)+ p1(1-p2)p3(1-p1), P(C)=p2(1-p1)p3+(1-p2)p3(1-p1)=p3(1-p1). 显然P(B)-P(C)=(1-p1)(1-p3)p2(1-1)+p1(1 p2)p3(1-p1)>0, 故P(B)>P(C), P(A)-P(B)=[p3p1(1-p2)p3-p1(1-p2)ps(1-p1]+ [(1-p3)p2(1-p1)p3-(1-p)(1-p3)p2(1-p1)] =（p1+p3-1)p1(1-p2)p3+(p1+p3-1)(1-p3)p2(1- p1) =（p1+p3-1)[p1(1-p2)p3+(1-p3)p2(1-p1)], 由于p1+3<1,故P(A)-P(B)=(1+3-1)[p1(1 ·35 参考答案及解析 p2)p,+(1-p)p2(1-p1)]<0,所以P(B)>P(A),故乙的 最优指定策略是让乙和甲打第一局. 解：(1)设第1位顾客中“特等奖”为事件A,第2位顾客中“参 与奖”为事件B, P)-台x是-品pB-号x+xg- 3 故P(A|B)= P(AB)_105 P(B)3311' 50 所以在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等 奖”的概率为品 (2)由题意得n≠0，n个顾客参与后，后来的顾客不再有机会 中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前n一1位顾客中 有一位中“特等奖”， ()×号×()×++()×号x ×()×[1++(告)°++（告）] ，4 8×()-9×(), 故数列P.)的通项公式为卫.=子×(）广-号×()” (3)设第k个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则概率P= 8×()广-9×()广=号[() ()门=-（告）门() 要使P最大，即使[1-（信）门(》最大， -()](》≥-（传门(）， -()](-(台)鬥](). -(》≥-(， 即 {《 （5 化简得 且k∈N, 又fx)=(号)月 在(0，十∞)上单调递减， k≥4：综上所述，k=4 所以k≤4， 解：(1)X的所有可能取值为0,1,2 P(X=0)= C -P(X=D-GC=3.P(X=2) C C3 Cg-10' 所以X的分布列为 0 P 3 10 10 高考试题逐题突破 (2)依题意，Y(k)服从超几何分布，且N=10十2=12，M=5十 k,n=3, 故EV=3x若- 4 (3)Z的所有可能取值为0,1,2,3，则由全概率公式得， P(Z-D)-P(Z-LlX=k)P(X=k) =2P(Y(k)=l)P(X=k),l=0,1,2,3, 因此E(Z)=2P(Z=1) =2L2P(Y()=)P(X=k)] 【-0-0 =2P(X=)2P(Y(k)=L) k=0 1-0 =2P(X=e)E[Y()] =2P(X=a)E[Y(a)门， 灰-1 15,3、6,3、731 故E(Z)=10×4+5×4+0×4-20: 4.解：(1)小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目 和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种 情况下小王至少答对1个题目的概率为P1,P2, n,=11-)广=1-×g-器 因为会-照<-号所以P,<P, 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题 目和1个B组题目的策略， (2)记小王所选题目中A组题目得分为X1,B组题目得分为 X2,X=X1+X2 (「)由于选择的3个题目均为A组题目，其得分的所有可能 为10,20,30， 则P(X-10)=C4C」 1 CC2=3 C ,P(X=20)= C ,P(X 30)=CC1 C =行，故X的分布列为 1020 30 5 故E(X)=E(X1)=10×号+20×号+30× 5=20 (ⅱ)设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,B组题目 数量为3一x,其中x=0,1,2,3, 则服从超儿何分布，X~B(3-x,日），E()-。 (）=1-专， EX=EX,+x,)=E(x)+E(X,)-2g+a1-专) a+(20-a)x 3 当a=20时，E(X)的值与x无关， 即当a=20时，无论小王如何调整A,B组题目数量，其总得 分X的期望均为20分. 数学解答题专练（十八） 1.解：(1)电阻阻值X服从正态分布N(1000,52). 所以4=1000,0=5. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这 只电阻阻值在[995,1000]和在[1005,1010]的概率分别为 ·36 P,=P(995≤X≤10o0)=Pu-a≤X≤u)=2Pu-a≤X≤ μ+a)=0.34135, P2=P(1005≤X≤1010)=P(μ十o≤X≤u+2o)= 2a≤X≤4+2o)-P(4-o≤X≤μ+o)]=0.1359. 因此这两只电阻的阻值在区间[995,1000]和[1005,1010]内 各一只的概率P=2P1P2=2×0.34135×0.1359= 0.09277893≈0.093 (2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N(1000, 5 5,即N(1000,(5)), 记o'=√5，由题意，可得这5个样本的平均数x=1009! 而1009>1000+3√5，即x>μ+3c', 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线 生产不正常 解：(1)设事件A=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超 过40次”， 则A=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件B=“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”， 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(B|A)= 导×+日×-号 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到 “及格等级的概率为号 (2)X的可能取值为0,1,2， 15P(X-1)-CiC8 P(X=0)=3=1 C号=5P(X=2) C 号，所以X的分布列为 0 1 15 15 1 (3)由题意得u=70,6=10,P(Z≥80)=P(Z≥4十σ)≈ 2(1-0.6827)≈0.15865， 则Y~B(40,0.15865),E(Y)=40×0.15865=6.346≈6， 所以Y的数学期望约为6. 解：(1)由问卷调查的成绩E近似服从正态分布N(77,σ2)，且 P(77≤≤80)=0.3， 则P(>80)=P(≥77)-P(77≤≤80)=0.5-0.3=0.2， 1000×0.2=200, 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为 200人. (2)由(1)知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为力=5， X的可能取值为0,1,23，X~B(3,号） 则Px=-o)=c(号)广(1-)广-路 P(X=1)=( ()(1)》‘-, P(X=2)= ()广(1-》-品 P(X=3)= ()'(1-)°= 所以X的分布列为