解答题专练(11)解析几何(二)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼欧龙门卷 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（十一） 数学·解析几何（二）》 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知椭圆C+多-1(a>6>0经过点A0-》,且左右焦点分别为F,F过 F2的一条直线与椭圆交于M,N两点，△MF1N的周长为4√2. (1)求C的方程； (2)经过点B(1,1)且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明：直 线AP与AQ斜率之和为定值. 2.(15分)已知抛物线E的准线方程为x=一1，过焦点F的直线与E交于A,B两点，分别过 A,B两点作E的切线，两条切线分别与y轴交于C,D两点，直线CF与抛物线E交于M,N 两点，直线DF与抛物线E交于P,Q两点. (1)求E的标准方程； (2)证明：N+PQ为定值. 1 数学·解答题专练（十一）第1页（共2页） 3.(15分)已知A,B两点的坐标分别为（一2,0），(2,0)，直线AM,BM相交于点M,且它们的斜 率之积是一 (1)求点M的轨迹E的方程； (2)已知点F(1,0),设过点T(4,0)的直线l与E交于P,Q两点. ①若PF,QF的斜率分别为k1,k2,证明：k1十k2=0; ②若点D在线段PQ上，且|TP|IDQ|=|TQ|DP|.证明：DF⊥x轴. AQ5分)已知双曲线C。与，Q>0,b>0的左有焦点分别为F一c,0,Fc,0 与展侧站+后-1有相同的焦点，点F,到直线饭十y=0的原离为2B. (1)求C的标准方程； (2)直线L:y=k(一c)(Ik<)与C交于A,B两点，点P是∠AF,B的平分线上一动点， 且F1P=λ(F1A+F1B),试探究 AF,,BF:是否为定值，若是，求出定值，若不是，请 |AB|2 说明理由. 数学·解答题专练（十一）第2页（共2页）高考试题逐题突破 所以-。=1，则16- 169 16 =若，所以2+4一6 yi 即21+416y1 y1 9(x1-4)' 直线A1M:y=十4红+)，同理直线A,N:y-4x 4), 联立方程得十红中04-， 即+4-yx+4_x+4.y2 x-4y1(x2-4)y1x2-4 16y1 16y1 9(x1-4) ·-4=9(my+2 my2+2 16y1y2 9myy2十18m(1+y2)+36=-5, 解得x=号放点P在定直线x=上 8 (1)解：由双曲线对称性可知，点Q也在直线x=号上， 设P(）,Q(号)小，点P在直线AM上，所以 升(8+-就2o 20y1 点Q在直线A,N上：所以=（号+）-就四FD 20y2 所以成.0成=(9-）·(9-）=1g90+ 180+149 yiy2 9 (1+4)(x2+④ -1g+89 yiy2 9·(my1+10)(mya+10) =100+40 yiyz 9 9m2y1y2+10m(y1+y2)+100 180 =100+400 9m2-16 9 9 180m21080m2 g0-g× 9 9m-169m2-16+100 品曾 所以P成.求=55 数学解答题专练（十一）】 1.(1解：因为椭圆C十1(a>6>0)经过点A(0,- 可得b=1, 由△MF1N的周长为4√2，可得4a=4√2，解得a=√2， 故C的方程为气+y2=1。 (2)证明：如图，依题设直线方程为y-1= b(x-1),即y=kx-k+1,代入 2 y2=1, 整理可得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2k2- 4k=0, 由已知得△>0， 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1十x2= 4(k一1) 2k2+1,x1x2= 2k2-4k 2k2+1, 则直线AP与AQ斜率之和为 ·26 加+0=当+1+'+_1-6+2+红2-兔十2 x1 4k(k-1)(k-2) 2kx1x2-(k-2)(x1十x2） 2k2+1 -=2k一 T1X2 =2k- 2k2-4k 2k2+1 4(k-1)(-2=2一2(k一1）=2，为定值，故得证。 2k(k一2) (1)解：因为抛物线的准线方程为x=一1， 设y2=2px,则-名=-1，所以p=2, 故E的标准方程为y2=4x. (2)证明：易知抛物线E的焦点F(1,0), 设直线AB的方程为x=my十1，A(x1, y y1),B(x2y2), 联立义v十1，可得y一4my-4白 0,△>0， 则y1+y2=4m,y1y2=-4, 接下来证明抛物线E在点A处的切线 方程为y1y=2x十2x1, 联立二4红， y1y=2x+2x1," 可得y2-2y1y+4x1=0,即y2-2y1y十 y7=0,即(y-y1)2=0, 所以直线y1y=2x十2x1与抛物线E只有唯一的公共点， 所以AC的方程为y1y=2x十2x1, 同理可知，直线BD的方程为y2y=2x十2x2, 在直线AC的方程中，令x=0,可得y 2、2X y1y1 -即 点c(o,号)， 同理可得点D(0,号)，所以直线CF的方程为x+义-1，即 2 x=1 2y 设点M9)N04,联立=1- ’可得y2+8y y2=4x, 4=0,4>0, 则y十y4=-8 yy4=-4, 所以MN1-++2-2-是（+)+2=4-号× （一8)一4y16同理可得1PQ1二4y十16 y, 1 yi y 所以MN+PQ-4y+164i+16 =y1(4y2+16)+y2(4y7+16) 16(y+4)(y+4) 8(y1y2)2+16(y+y) -16,y2)+4(+2)+16 (y1y2)2+2(y+y) 2[(y1y2)2+4(y+y)+16] 16+2(16m2+8) 1 2[16+4(16m2+8)+16]4, 故MN+PQ为定值 1 (1)解：设M(x,y),动点M满足直线MA和直线MB的斜率 ·数学· 乘积为一子， ,即 所以友M·kB=一3 。y x-2‘x+2= 3 4 脚听+苦=1z士2. 所以黄线E的方程为后十号-1：≠士2》， (2)证明：①由题意，直线1的斜率不为0，设直线l:x=my十 4(m≠0)，P(x1y1),Q(x2y2), x=my十4， 联立x2 消去x整理得(3m2+4)y2+24my+ =1, 3 36=0, 则△>0，即m2-4>0,可得m>2或m<-2, -24m 36 则y1+=3m千4y,y=3m+4 所以2my1y2=-3(y1+y2), 所以十：一十 271x2-1）十yx1一1D (x1-1)(x2-1) y1(my2+3)+y2(my1+3)2my1y2+3(y1+y2) (my1+3)(my2+3) =0. m2y1y2+3m(y1+y2)+9 故k1十k1=0. ②因为点D在线段PQ上，且TP|IDQ=|TQDP,所以 品-沿且D为PQ肉比分点， 由题意P,Q在x轴的上方或下方，根据对称性不妨取P,Q 在x轴的上方，如图， 所以存在实数入，使得币=P可，T戒= ADQ,设D(xyo), 所以=y,化简得21y= yo-y1 y2-yo yo(y1+y2), 由0知2myy2=-3(0y1+2),所以y。=21业= y1十y2 m 所以，=a十4=X(-是）十4=1，即，=，所以 DF⊥x轴. 4.解：(1)由椭圆方程得焦半距c=√25一16=3， 则F1(-3,0),F2(3,0), 因为F到直线bx十ay=0的距离d= 1-3bL=3驰=2W2, √a2+b2 c 所以b=22,a2=c2-b2=9-8=1, 所以C的标准方程为x- 81. (2)由(1)知1：y=k(x-3)(|k|< 22),因为1k1<名，所以1与双曲线C 的左、右半支各交于一点，如图，设A(x1, y1)(x1≥1)，B(x2y2)(x2≤-1)， 设AB中点为M,则F1A+F2B= 2F1M,所以F1P=2λF1M, 又F1P为∠AF1B的角平分线，所以|AF1I=|BF1. y=k(x-3), 由 x2-y二1，得(8-k2)x2+6k2x-9k2-8=0,4>0,则 6k2 9k2+8 x1十x2=62-8x122=k2-8’ 因为|AF1|=√(x1十3)2+y1=√(x1+3)2+8x-8= √(3x1+1)7=3x1+1, ·27 参考答案及解析 BF1|=√(x2十3)2+y克=√(x2+3)2+8x-8= √(3x2+1)Z=-3x2-1, 所以3x1+1==3证2-1，即3(z1+x2)+2=8+2=0,解 得2-生 24 5=-2,2 的+ 以x1十x248 、19 9 5 因为|AF21=√(x1-3)2+y=√(x1-3)2+8x-8= √(3x1-1)7=3x1-1, |BF2|=√(x2-3)2+y克=√(x2-3)2+8x-8= √(3x2-1)7=1-3x2, 所以|AB|=|BF2|-|AF2=1-3x2-(3x1-1)=2-3(x1+ x2)=4, |AF2|·|BF2|=(3x1-1)(1-3x2)=3(x1十x2)-9x1x2- 1=16, 所以A:B=1,为定值 |AB|2 数学解答题专练（十二） 1解：由双曲线C号-y=1a>0)的熙距为25， 得a2+1=(5)2,解得a2=4, 所以C的方程为少=1. (2)证明：依题意，设直线1的方程为x=my十4，M(x1,y1), N(x2y2), 由仁：消去并量理得6做一0y 8my+12=0, 由直线1与双曲线的右支交于M,N两点， △=64m2-48(m2-4)>0, 得m-4≠0， i0. 12 y1y2= 解得-2<m<2, 8m 12 则y1十y2=- m24y1y2= 二4即2y1y2=-3(y1+ y2),而A1(-2,0),A2(2,0), y1 所以-1+2-(x,-2=y(my,+2)my1y2+2y k2y2y2(x1+2)y2(my1+6)my1y2+6y2 x2-2 1 3 -2(y1+y2)+212y1-2y2 1 = 20++6,-2+2 3 9 3为定值 (3)解：由(2)知k2=一3k1,直线A1M:y=k1(x十2)，直线 A2N:y=-3k1(x-2), 则点G的横坐标为xc=1, 于是 专GAIIGNin∠McN GMI GNI S2 。lGA,IGA21sin∠A1GA2 1GA1·GA。 x1-1.x2-1_(my1+3)(my2+3) 3 1 3 =my1y:+3m(y1十y2)+94m2 3 4-m+3≥3，当且仅当m=0