解答题专练(14)导数的应用(二)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼欧龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破—解答题专练（十四） 数学·导数的应用（二） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知函数f(x)=ln(x十1) (1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)(「)函数f(x)是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由； (i证明.1++号++h2nxa≥2.且aeN, 2.(15分)已知函数f(x)=x2+aex-2,a∈R. (1)若a=一1，判断函数的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2且2x1≤x2,求a的取值范围. 数学·解答题专练（十四）第1页（共2页） (c十a),其中a为常数. 8.(15分)已知函数f(x)nx (1)若a=0,求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)在(0，一a)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若a=一1，求函数f(x)在(0,1)上的极值点的个数. 4.(15分)已知函数f(x)=ae2-1+lnx-(a+1)x. (1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间； (2)当a=1时，证明：函数f(x)在(0，+o∞)上单调递增； (3)若x=1是函数f(x)的极大值点，求实数a的取值范围. 数学·解答题专练（十四）第2页（共2页）高考试题逐题突破 时，f(xo)<0. 所以当0<a<e时，f(x)有2个零点；当a=e时，f(x)只有1 个零点；当a>e时，f(x)没有零点. 综上，当a∈（一∞，0]U{e}时，函数f(x)只有1个零点； 当a∈(0，e)时，函数f(x)有2个零点； 当a∈(e,十∞)时，函数f(x)没有零点 3.解：(1)当m=1时，f(x)=x3一3x+1,f'(x)=3x2一3， 切点为(0,1)，切线斜率f'(0)=一3， 故切线方程为y一1=一3(x一0)， 即切线方程为y=一3x十1. (2)f'(x)=3x2-3m,x∈R, 当m≤0时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在（一∞，+∞）上单 调递增； 当m>0时，令f'(x)=0,得x=士√m, 令f'(x)<0,得一√m<x<√m,令f'(x)>0,得x<一√m 或x>√m, 所以f(x)在(-√m,√m)上单调递减，在(-∞，一√m), (√m,十∞)上单调递增. (3)由(2)知，f(x)有三个零点，则m>0,且-m)>0, f(√m)<0, 即m+2mv加>0'解得0<m<4, m2-2m m<0, 当0<m<4时，√/3m>√m,且f(√3m)=m2>0, 所以f(x)在（√m,√3m)上有唯一一个零点， 同理-2m-1<-√m,f(-2m-1)=-8m3-5m2-3m 1<0, 所以f(x)在（一2m一1，一√m)上有唯一一个零点， 又f(x)在（一√m,√m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三 个零点， 综上可知m的取值范围为(0,4). 由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3, 不妨设f(x)=a(x一x1)(x-x2)(x-xg),其中a≠0， 则f'(x)=a[(x一x2)(x-x3)十(x一x1)(x一x3)+(x x1)(x-x2)], 则2+1+11 1 k ()()(-x1):-) 1 (x3-x1)(x3-x2)J 1 1 x2一x3十x3-x1十x1-x2 所以6，+k2k2a(c1-x2)(工1-x2)(z2-x)方 =0 4.解：(1)当m=2,n=0时，f(x)=2xlnx-x2, 所以gr)=f）=2nx-x. 求导得g'(x)=2-1=名 2-x 当x∈[1,2)时，g'(x)>0;当x∈(2，e]时，g'(x)<0. 所以g(x)在[1,2)上单调递增，在(2，e]上单调递减 又g(2)=2ln2-2,g(1)=-1,g(e)=2-e, 所以g(x)在区间[1，e]上的最大值为2ln2-2,最小值为一1. (2)①当n=1时，f(x)=mzln x-x2+1, 当f(x3)=0时，即f(xg)=mz;In x3-x+1=0, 那么() =m 1n1- x3xE+1=二mx3lnx3二1十x一0 x号 且f(1)=0, 若f(x)有三个零点则等价于f(x)在(1，十∞)上有且只有 个零点， 令A(x)=mlnx-(红-），则f(x)=h(x),所以函数 f(x)与h(x)有相同的零点， 所以f(x)在(1，+∞)上零点情况等价于h(x)在(1，+∞)上 ·30 零点情况，h'(x)=mx-(x+1) 当m≤2时，/(x)=mx-（:2+1D≤2红-(x2+1) -(x-1D≤0， 所以h(x)在(1，十∞)上单调递减，所以h(x)<h(1)=0,函 数在(1，十∞)上无零点，不符合题意， 当m>2时，令(x)=m-+D-0,得，= x2 m+m=4>1, 2 当1<x<x4时，h'(x)>0,当x>x4时，h'(x)<0, 所以h(x)在(1，x4)上单调递增，在(x4,十∞)上单调递减， 所以h(x4)>h(1)=0,又x→十∞，h(x)→-o, 所以h(x)在(1，十∞)上有唯一零点x3,即f(x)在(1，十∞) 上有唯一零点x3, 综上所述，f(x)有三个零点时，m>2,即m的取值范围是(2， 十∞). @,-x十<m二+1，证明如下， m2 由①知，m>2时，f(x)有三个零点x1<x2<x（其中x1= 考虑6(m)）=mhm-m+是=n(2hm-m十： 3 p(m)=2nm一m+,m>2),则9'(m 1 m 2-m3 mm <0, 所以p(m)在(2，十∞)上单调递减， 所以p(m)<p(2)=21n2-2+ 8<0, 即h(m2)<0=h(x),所以m2>x,>1,又函数y=上十工-1 元 在(1，十o)上为增函数， 所以之-，+x=十x,一1=十x-1m+m2 1=m4-m2+1 m2 数学解答题专练（十四） 1 （解：由f)n+D,得fe)=本-iaa+》 x x2 则f'(1)=2-ln2,又f(1)=ln2, 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-ln2- (合-h2)x-10,即y-(号-h2x-+2h2 (2)(1)解：函数f(x)不存在极值，理由如下：由红十>0，解 x≠0， 得x>一1且x≠0， 所以函数f(x)的定义域为（一1,0）U(0,十∞)， 由fx)=lnz+1D,则f'r)=x-（+1)1nx+1D, x (x十1)x2 令g(x)=x-(x+1)ln(x+1),x∈(-1,0)U(0,+∞)，则 g'(x)=-ln(x+1), 当x∈(-1,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(0，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)< g(0)=0, ·数学· 即f'(x)<0,所以f(x)在(-1,0)，(0，+∞)上单调递减，则 函数f(x)不存在极值. (1)证明：由(1)知，函数f()在(0，]上单调递减，则对 任意x∈(0，]1(x)≥f(合）=2h号=n>n2,即 In(z+1)>In2, 所以当n≥2时0<1≤2，则父1） >1n2,即-ln2< 1 h"计，所以1n2=h2,合n2<n号，号n2<h台m n “n-i' 1 以上式子相加得，lh2+2n2+3h2+…+ -h2≤ln2+ 1 h+n++n n1: 即(1+3+号+…+)h2uaa≥2，且a∈N,当且 仅当n=2时，等号成立)， 2.解：(1)若a=-1,f(x)=x2-e2-2,x∈R, 则f'(x)=2x一e,设t(x)=2x一e, 则t'(x)=2一e,令t'(x)=0,解得x=ln2, 故当x<ln2时，t(x)>0,即(x)在(-o∞，ln2)上单调递增； 当x>ln2时，t'(x)<0,即t(x)在(ln2,+∞)上单调递减， 所以t(x)在x=ln2处取最大值，最大值为t(ln2)=2ln2-2, 又2ln2-2<0,故t(x)<0,即f'(x)<0, 所以f(x)在R上单调递减. (2)f(x)=x2+ae-2,f'(x)=2x十ae. 要使f(x)有两个极值点x1,x2,则f'(x)=0至少有两个实 数根. 设g(x)=2x十ae,则g'(x)=2十ae. 当a=0时，f(x)=x2-2没有两个极值点； 当a>0时，g'(x)=2+ae>0,则g(x)在R上单调递增， 则f'(x)=0至多一个实数根，即f(x)也不可能有两个极 值点； 当a<0时，令g'(x)=2+ae=0, 解得x=h(-名）， 当z<h(-）时，g)>0,gx)在(-o,1n(-)》 上单调递增； 当x>1n(-)时，g'(x)<0,g(x)在(n(-),+∞)上 单调递减， 故g(x)在x=m(-名）处有极大值，且极大值为 g((-2)》=2(-是）+。·（-2） 2h(-2)-2, 要使∫'(x)=0至少有两个实数根，即g(x)=0至少有两个实 数根，设两根为x1,x2, 所以有2h(-名）-2>0，解得-名<a<0, 则有g0=a<0,g1)=2+ae>0,且1n(-子)>1，且当 x→+∞，g(x)→-∞， 故g（x)=0有两正根，且一根在(0,1)内，另一根在 (a(-）+o)内， ·31 参考答案及解析 若x1>x2>0,则2x1>x1>x2>0,这与 已知2x1≤x2矛盾； 故0<<1<h(-2）<,且，+可 ae=2x:+ae=0, v=g(x) 所以有a= 2,2x1=-ae1, 由x1<2x1≤x2,则g(2x1)≥0恒成立， 即g(2x1)=4x1十ae21=-2ae1+ae241= a(-2e1+e241)≥0， 由a<0,得e21-2e1≤0，即e1≤2，解得0<x1≤1n2, 由a=20<x1≤n2 2x 构造函数h(x)=一 er ,0<x≤ln2, 则h'(x)=-2(1-x) e 当0<x≤1时，h'(x)≤0，故h(x)在(0,1]上单调递减， 由1n2<1ne=1,故(n2)>h(1),即-n2>-2 e 当0<x≤ln2时，h'(x)<0,故h(x)在(0，ln2]上单调递减， 则4(：≥h8》-2-h2且A)0: 故-h2a<0,且-名<a<0 综上所述，a的取值范围是[-ln2,0). 解：1当a=0时，1x)-,定义拔为0，十a0), f'(z)=1-2Inz x3 令f'(x)=0,即1-21lnx=0,解得x=√e, 所以当x∈(0We)时，f'(x)>0, 当x∈(W,十∞)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0W)上单调递增，在(W,十∞)上单调递减， 故f(x)的极大值为fW)=血6=1 W62e,无极小值， (2)函数f(x)的定义域为{x|x>0且x≠-a}, (x+a)2-(2x+2a)nx1+g-21nx f'(x)= x (x十a)4 (x十a)3, 要使f(x)在(0，一a)上单调递增，则a<0, 又当x∈(0，-a)时，a<x十a<0, 只需1+2-21nx≤0在0，-a)上恒成立， 即a≤2xlnx一x在(0，-a)上恒成立， 令g(x)=2xlnx-x,即a≤g(x)min, 则g'(x)=2lnx+2-1=2lnx+1, 令g'(x)=0,即2lnx+1=0,解得x= 所以当x∈(0，)时，g'(x)<0, 当e(+)时g20. 所以g(x)在(0，)上单调递减，在（二，十∞）上单调递增， e e (3)当a=-1时，f(x)= In x (x-1)2x∈(0,1)， 高考试题逐题突破 1 1--2lnx (2)知f'(x)=z-1)一， 令h(x)=1- 1 -2ln 则=是 -xx2 当x∈(0，）时k'(x)>0, 当xe(号)时k'x)0, 所以(x)在(0，)上单调递增，在（分，1）上单调递诚， 则(x)=h(）=2n2-1>0, 又n(）-1-4-2h是-4h2-3<0,a①)-0， 则h(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，设该零点为xo, 则当x∈(0，xo)时，h(x)<0,即f'(x)>0, 当x∈(xo,1)时，h(x)>0,即f(x)<0, 则f(x)在(0，xo)上单调递增，在(xo,1)上单调递减， 则x。为f(x)的极大值点， 故函数f(x)在(0,1)上有一个极值点 4.(1)解：当a=0时，f(x)=1nx-x,且f(x)=1-1= x 1-x 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，十∞)时，f'(x)<0,f(x)在(1，十∞)上单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1， +∞). (2)证明：因为a=l,所以f(x)=e1十lnx-2x,且f'(x)= e1+1-2, x 要证函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，即证f(x)≥0在(0， 十∞)上恒成立， 设gx)=e1+1-2,x>0,则g(x)=e1-1 x t2, 1 因为y=e-1,y=一 在(0，十∞)上均单调递增， 故g'(x)在(0，十∞)上单调递增，且g'(1)=0, 则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， g(x)≥g(1)=0,即f'(x)≥0，因此函数f(x)在(0，十∞)上 单调递增. (3)解：由f'(x)=ae-1+1 -a-1,有f'(1)=0, 令)-ae1+2-a-1,有k)=ae1】 20 @当a≤0时，h'(x)=ae-1-1<0在(0，十o)上恒成立， 因此f'(x)在(0，+∞)上单调递减， 又f'(1)=0,故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减 区间为(1，十∞)， 此时x=1是函数f(x)的极大值点； 0时，y=ae1与y=二立在(0，+o∞)] 增，故h'(x)在(0，十∞)上单调递增， 又h'(1)=a一1，若h'(1)<0,即0<a<1,此时存在n∈(1， +∞)，使h'(n)=0, 因此f'(x)在(0，n)上单调递减，在(n,+∞)上单调递增，又 知f'(1)=0, 则f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，n)上单调递减，此时x=1 为函数f(x)的极大值点， ·32 若h'(1)>0,即a>1,此时存在m∈(0,1)，使h'(m)=0, 因此f'(x)在(0，m)上单调递减.在(m,十∞)上单调递增，又 知f'(1)=0, 则f(x)在(m,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 此时x=1为函数f(x)的极小值点，不符合题意. 当a=1时，由(2)可知f(x)单调递增，因此x=1非极大值 点，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为(-∞，1). 数学解答题专练（十五） 解：1)由f(x)=zax2-(2a+1Dx+2hx, 得(x)=ax-(2a+1)+2=ax2-(2a+1)x+2_ x (ax-1)(x-2) x 又a>0,所以令f'(x)=0,解得x1=,x2=2, 当0<a<2,即2>2时， 当x∈(0,2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增x∈(2，。）时，当 了()<0，f✉)单调递减：当x∈（日+）时，fx)>0, f(x)单调递增. 当a-号即日-2时，f'()≥0恒成立，f()在0，十∞)上 a 单调递增。 当a>分，即0<日<2时， a 当x∈(0，)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈（日2） 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(2，十∞)时，f(x)>0, f(x)单调递增. 综上所述，当0<a<号时，f(x)的单润递增区间为(0,2)和 (合十一)，单润递废区间为(2，)： 当a-号时，f(x)的单调递增区间为(0，十6∞)，无单调递减 区间： 当a> 2时，fx)的单调递增区问为(0，)和(2，+o∞)，单 调递减区间为（日2）. (2)由已知对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得 f(x1)<g(x2),即可转化为f(x)mx<g(x)mx, 又g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈(0,2]， 当x=2时g(x)取得最大值，为0， 由(1)得，当0<a≤2时，f(x)在(0,2]上单调递增， 即当x=2时，f(x)取得最大值，为f(2)=2a-(2a十1)×2十 21n2=-2a-2+2ln2, 所以-2a-2+2n2<0,解得a>lh2-1,即0<a≤2； 当a>号时，x)在(0，)上单调递增，在（日2）上单调 递减， 1 即当=时，f)取得最大值，为f(日)=去-(2a十1)： 设a)-六-2-aa>则a)-京-