解答题专练(5)数列(二)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破—解答题专练（五） 数学·数列（二） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)已知等比数列{am}的公比为q,前n项和为Sm,am>0,3a2十2a3=a4,S5=13a3十4. (1)求数列{am}的通项公式； (2)记数列{an}中不超过正整数m的项的个数为bm,求数列{bm}的前100项和T1· 2.15分)记数列{a,的前n项和为S。a1=1,当n≥2时，S=a,(S。-1).设6.=log:S2 数列{bn}的前n项和为Tm· (1)求Sm; (2)求满足Tm≥6的最小正整数n. 数学·解答题专练（五）第1页（共2页） 3.(15分)设5。为等差数列{a,}的前n项和，其中a1=1,且三=a1m∈N). an (1)求λ的值，并写出{an}的通项公式； L8媒‘（.N)DY衣u明工w限g9吸经9飞 的最小值」 4.(15分)已知数列{am}满足4Sn一2am=2”,n∈N*,其中Sm为{an}的前n项和.证明： （-}是等比数列： 1 1 1 1 (2》6a1-3十6a2+3+6a,-3十…+ 6a,+3x(-1)<1. 数学·解答题专练（五）第2页（共2页）高考试题逐题突破 (+)m+ 3.解：(1)2Sn=am+1,当n≥2时，2Sa-1=(n-1)an, 两式作差得2am=nam+1一(n-1)a。, 即(n+1)a,=a+1,所以中=n+ an 所以a,×…X名×号×a,-, 当n=1时也成立，所以an=n. (2)由(1)得bn=n·3, 所以Sm=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)·3”-1+ n·3m①， 所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)·3"+n· 3m+1②， ①-@得一2Sn=3+32+33+34+…+3”-n·3+1= 3(1-3") 1-3 -8n=名+×g1:3: 所以5。=33+”3是-②”二3+ 2 4 4 4.解：(1)当n=1时，a1=2; 当≥2时号+2+会+…+经-n0. ++学++器 十2=n-1②， ①-②得2：=1， 所以am=2",当n=1时，a1=2,符合上式，即am=2". 1 (2)因为6.=2+20 1 1 1 2 所以6.+bm.=2+2十2w+22”+2十2m+20·2 1 2" 250+2m .1 20+20+02*+20)20=(2°+20)2020， 1 1 所以6+b,+b,++b。一2+20十2+2十…+20+2 ①， 1 1 bg+b8+bg,+…+6:+b,=20+20+20+20+…十 2+20 ②， 1 又因为6，十b10=20,所以①+@得2(6，十b,十6：十…+ ba)-2器所以6十6十…十bw-盟. 99 数学解答题专练（五）】 1.(1)解：由3a2+2a3=a4得3a2+2a2q=a2q2,则q2-2g 3=0,因为am>0,则q>0,q=3, 又S。=13a,十4，即11-3） 1-3 =13a1·9+4,则a1=1, 所以a,=3-1 (2)由题设及(1)得b1=1,且当3-1≤m<3”时，bm=n,即 b1=b2=1,b3=b4=…=bg=2,bg=b10=…=b26=3, b27=b28=…=b80=4,b81=b82=…=b100=5, 所以T100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384 2.解：(1)由S=an(Sm-1), 可得S分-(5。-5S,-10即发--1且号 -1,所以数列号}是等差数列，其首项为1，公差为1， 所以-1+a-D-,所以S.-子 n ·18 S.=1og,n+2, (2)由（①），可得b,=1og2S.2 n 所以.=1b89+be兰+ke:号++16e十 3 n n (n+1)(n+2) 2 由T.≥6可得1og,m+1),m+2》≥6， 2 即(n+1)(n+2)≥2，即n2+3n-126≥0. 令0)=+3x-126-(x+2)》°-51， 4 可得函数f(x)在[1，十∞)上单调递增， 又f(9)=-18<0,f(10)=4>0, 所以n≥10，故满足Tn≥6的最小正整数n是10. 解：1)由a,=1及：-a.1得e:=a,=1+ 1 an 因为数列a)是等差数列，所以受=2+士解得X=, 所以a2=2,所以公差d=1,所以an=1十(n-1)=n. (2②由a知6.-导-会 1,2,3 0 所以时+导++…++品@ ①-，得号不.=号+京+号+…+-= 1 1 1 号(1-) 12n+3 1 1一 3m=22:30, 所以工-号红是 由-T,-0<公相42g+》<1设d.-2g+》, 3 3 则d+1= n+1)(2n+5) 30+1 因为dn+1一dn= -4n2-2n十5<0，所以d+1<d,即数列 3+1 {dn}为递减数列. 又a,-g>1d,-5>1d=1, 所以当n≥4时，恒有d.<1,故kmn=4. 证明：(1)因为4S。-2an=2,所以4Sw-1-2am-1=2”-1(n≥2)， 两式相减得4(Sn一Sm-1)-2an十2aa-1=2-2"-1,即an十 aw-1=2-2(n≥2). a_1 26 206 因为 0-1_1 2"-6 2m-6 1 -2(n≥2). 当n=1时，4S1-2a1=2,即a1=1. 又因为号-日号0，所以会-君}是以号为首项，-日 为公比的等比数列。 ②)由1)得会-言=言×(-号)广，所以， -号x-0r+日×2， ·数学· 令6.-6a,+3(-1D-2-(-1)1 X2 3 则b1+ba=2n1+1十2-1=2n1+2a1- 2 3 2a-1=41 不等式左边的前2n项和T<+是十…十 ×(1-) <1 1- 又b>0,所以T.<T+1<…<Tm-1<Tn<1,所以原不等 式得证 数学解答题专练（六） 1.解：(1)由等比数列通项公式及题意可得S,=a1十a1q十 a1g2=2015(1+g+g)=6045, 4 化简可得g2+g十4=0，解得g=一2· (2)由(1)及题意可知T.=a1·(a1q)·(a1q2)…(a1q"-1) aiql+3+m+(-D-aiq -2015(-2) m-1 (n-1 所以1T.1=2015·(分) 2015()0 2015 2015"（2) |Tm+1 所以当1区n≤10时，>1，T+>T., IT+ 当n≥11时，T.T <1,|T+1<|Tm, 所以当n=11时，Tm|最大. 又因为Tg>0,T1o<0,T11<0,T12>0, >1,所以T>T,所以当n=12时，T,最大. T。 2.(1)解：设等差数列{am}的公差为d,等比数列{b.}的公比 为q, a1=3b1, 由题意可得 侣十：数两式化商后 a1+b1q=6, 3a1=b1, 有 1 3 2a1+2d=b19, 由上述式子可得了1a,+6d)=(分0+号d), 化简得(a1十9d)(a1-3d)=0,则a1=-9d或a1=3d, 若a1=-9d,可得b1=b2=bg=-3d,数列{bn}为常数列，故 舍去； 若a1=3d,代入得g=3,又由a1+b1g=6,解得d=1,a1=3, b1=1, 则数列{an)的通项公式为an=n十2，数列{bn}的通项公式为 bm=3-1 (2)证明：由题可得c,一nb。 In dslolog() ·19 参考答案及解析 由于n∈N时，3”-(3-1+2)=2(3"-1-1)≥0， 则3"≥3”-1+2（当且仅当n=1时取等号）， 所以c.=og1(g*1+2)≤og3=n开7 5号×号×…X（组仅当=1时 1 则c1c:…c≤2X3 取等号). 1 所以c1c2…cm≤n+1 解：(1)a2=3,a3=7,a4=15, 由am+1=Sn十n,得an=S.a-1十(n-1)(n≥2)， 所以am+1=2an十1(n≥2)， am+1+1=2(am+1)(n≥2)， 所以当n≥2时，{am十1}是首项为a2+1=4,公比为2的等比 数列，即an十1=4·2-2=2”， 所以am=2”一1. 故{a,的通项公式为a.=2”-1,m≥2. 2,n=1, (2)(1)因为{bn}为等差数列，且T=9,所以b2=3, 设{bm}的公差为d,则b1=3一d,b3=3十d, 因为a1=2,a2=3,a3=7,所以a1+b1=5-d,a2+b2=6, 因为a+b1a:十6：a十2b,成等比数列， 所以(5-d)(17+d)=72,解得d=1或d=一13（不合题意， 舍去)，所以bm=n十1. (1)因为 1 =0k+1)<k+1)2-=(6+2)= 1/11 2（一k+2, 1 n+2 +市中-)是 解：1)因为2，=-号，1十a1+a:+…+a,-a1=0, 所以1+a1-02=0,即1-号-a:=0, 即a2一7x 同理可求ag 入+1 712 因为a=aa所以证=(-)·法解得- 6 (2)由题意可知1十a1十a2十…十an一an+1=0①， 1+a1十a2十…十an十am+1-an+2=0②， 由②-①得(1十入)an+1一入an+2=0, 又A≠0，λ≠一1，n∈N*, 入+1 所以am+2=入a+1” 故数列{an}从第二项开始为等比数列，又a2=7元' 所以≥2时a,员（）， (6 所以数列{an}的通项为an= 7n=1, 1/1+入)-2 7λλ ,n≥2.