解答题专练(2)解三角形(二)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼欧龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破——解答题专练（二） 数学·解三角形（二） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积S= 2 (1)若A=6=1,求c: (2)若a>6,求2+62+c abC的最大值，并判断此时△ABC的形状. 2.(15分)如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,3AB=4BC,sin∠ACB= 3DC=2. (1)求∠DAC的大小； (2)求△ACD的面积的最大值； (3)若cos∠ADC-,求△ADC的面积 数学·解答题专练（二）第1页（共2页） 3.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos A+(a一3b)cosC=0. (1)求cosC的值； (2)若a=3√3，c=6√2，求sin2A的值； (3)若△ABC的面积为4√2，且a+b=√3c,求△ABC的周长L. 4.（15分)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且tanC=3tanB. (1)若a=2b,求C; (2)若a=√6，b十c=3,求△ABC的面积. 数学·解答题专练（二）第2页（共2页）·数学· c=3, 在△ABC中，由余弦定理得 d=6+e-2kmsA=4+9-2X2X3×(-合）=19， 则a=√i丽，又M为BC边上的中点，所以BM= 2 在△ABC中，由余弦定理得 则c0sB=。+c2-b2=19+9-44V19 2ac 2X√19×319， 在△ABM中，由余弦定理得 AM2-AB2+BM2-2AB·BM·cosB=9+4-2X3X 空×4S酒-子，所以AM- 19 2 4.解：(1)若选择①， 由(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA十sinC)可得(a- b)sin B=(a-c)(sin A+sin C), 利用正弦定理可得(a一b)b=(a一c)(a十c),整理可得a2+ b2-c2=ab, 所以cosC-a+62-c2=a0=1 2ab-2ab=z,又C∈(0，x), 可得C=牙 若选择②， 由诱导公式可得sim(名-C)cos(c+)-sim(日 c)sn[-(c+)]=sm(后-c)= 由ceo,可得君-C∈(-，名)， 可得sm(-C）=合所以-C=一音c= 31 ()②如图所示，由△ABC的面积为10v5可得了C- 10√3，即ab=40, 又mA-语且蓝A十cA-1,所以 sin A=53 11 =14,cosA=14 又号esinA=105,可得c=56, 易知sinB=sin(A十C)=sin Acos C+-coAsin C=4y3 7 由2ac6inB=105,可得ac=35,即可得a=56=8,6=7。 由点D在线段AB上，且2BD=AD,可得市=号+ 号流 所以励-√（兮i+号 =√g++· /1 -√写×8+音x+音×8x5xs-2 1 3 3 即CD的长为2V6 3 数学解答题专练（二） 1解：1由5=合csmA=分，得e=inA=1x9-写 22 15 参考答案及解析 1 (2)由7 absin C=2c2得c2=absin C, a2+b+c2_a2+b2-c212c2 =2cos C+2sin C=22 sin(C+ ab ab ab ）,所以++的最大值为2， ab 此时C=云a2+6+e2=2厄ab,c2- 2a6, 396=0的6-ia6号.）=0，解得6 所以a2+62-3V2 反a会去)或6-盟， 从而c二号a,故△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三 角形 解：(1)在△ABC中，由正弦定理可得AB BC Fsin∠ACB sin∠BAC' 2 1 因为3AB=4BC,sin∠ACB=3,所以sin∠BAC=2, 因为ABLAD,所以0<∠BAC<受，所以∠BAC=若， 所以∠DAC--∠BAC=F (2)在△ACD中，DC=2, 由余弦定理可得DC2=4=AC2十AD2-2AC·AD· cos∠DAC=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC· AD≤4，当且仅当AC=AD=2时取等号， 所以SAm=子AD:AC·Sn∠DAC<}X4X9-B, 故△ACD的面积的最大值为√3. (因为a乙AC=5,房以AC-√-(-9， 所以sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC+ cos∠CADsin.∠ADC -5x5+号x5-3E+5 =2×3+2 3 6 DC AD 在△ACD中，由正弦定理可得sin∠DAC=sinZACD,即 2 AD 53w2+ ,所以AD=2W6+2 3 2 6 所以5am-7 X DCXADXin∠ADc=号×2X26+2× 1 3 5-62+23,所以△ADC的面积为62十25。 3 9 3. 解：(1)因为ccos A+(a-3b)cosC=0, 由正弦定理得sin Ccos A+(sinA-3sinB)cosC=0, 3sin Bcos C=sin Ccos A+cos Csin A=sin(A+C)= sin(π-B)=sinB, 因为B∈(0，x),则sinB>0,故cosC=3 1 1 (2)因为cosC=3,且C∈(0，)， 所以血C=-oc-(-29, 因为，Q 为sin A sin C=33,c=6E, 所以35=6V2 sinA2√2 解得sinA=】 Γ3 3 高考试题逐题突破 因为a<c,所以A<C,A∈(0，)， 所以4--m不--（）- 所以sin2A=2 sin AcosA=2X5×6_22 33-3 1 22 (3)因为SaAc=2 absin C=立X ab=4√2，所以 3 ab=12, 由余弦定理得2 abcos C=a2+b2-c2, 所以(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2ab(cosC+1)=2X 12x(号+1)-32， 又a+b=√3c,所以3c2-c2=32,则c=4, 所以a+b=√3c=45, 于是△ABC的周长L=a十b+c=4√3+4. 4.解：(1)因为tanC=3tanB, 所以sinS=3sinB,则sin Ccos B=3 sin Beos C. 因为a=2b,由正弦定理可得， sin A=2sin B=sin(B++C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 sin Bcos C,所以2sinB=4 sin Bcos C, 由B为三角形内角，故sinB≠0， 所以cosC=7又0<C<,故C= 3· (2)法一：由(1)知，sin Ccos B=3 sin Bcos C, sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=4sin Bcos C, 由正弦定理可得a=4 bcos C, 由a=6,且cosC=a+b2-c2_6+b2- 2ab -,代入a=4cosC可 2√6b 得后-4×c二+6，化简得c2-62-3,联立6十c-3, 2√6 解得c=2,b=1, 又由a=4 C-6可得cosC-5 4， 则sinC=V1-cosc=0 4 故SaA=7 absin C=×5x-压 4 法二：由tanC=3tanB可知，B,C均为锐角， 且tanC>tanB,所以0<B<C<2, 如图，在△ABC中，过点A作边BC上 的高AD,垂足为D, 由mC=nB可得，光-部则 有BD=3DC, 4,DC=6 由a=BC-6=BD+DC=4DC,可得BD=35, 设AD=,则c=AB=V屋+BD=,√R+ 8 6=AC=+DC-√层+系， 81 由6十=3可得++瓜+ 83, 解得A-，即= 4,故高AD=0 4 所以△ABC的面积为2BC·AD-}×5×-压 4 41 ·16 数学解答题专练（三） 1.解：(1)因为4sinA-bsin B=csin(A-B)=c(sin Acos B- cos Asin B), 由正弦定理可得4a一b2=c(acos B-bcos A)=accos B一 cbcos A, 由余弦定理知accos B= 2(a2+c2-62),cbcos A- b2-a2), 可得4a-b2=c(acos B-bcos A)=a2-b2, 则4a=a2,由a>0,解得a=4. (2)在△ABC中，由余弦定理知b2十c2-a2=2 bccos A,又在 △ABC中，有S=2sinA, 所以号csmA=6+c2-a)- 1 4 2 bccos A,化简得 tanA=√3， 因为A∈0，)，所以A=子 又a=4,由正弦定理得b=8·sinB,c=8·sinC, V3 6+c=8 [sin B+sin(B)]-8sin(). 3 因为在△ABc中，A=号0<B<经所以号<h(B+若）) ≤1， 所以4<b十c≤8，当A=B=C时，等号成立， 所以△ABC周长的取值范围是(8,12]. 解：(1)在△ADC中，∠ADC=号，由余弦定理得AC- √+4-2x1x2x7=5, 则AC+AD-4-DC,所以∠DAC-,∠ACD-音， 由△ABC为等边三角形，得BC=3,∠ACB=3,于是 ∠DcB=8+-, 所以△BCD的面积SAn=}×2X厅=厅(km)。 (2不纺设∠ADC=0,∠ACD=a,0∈(3x)a∈(o,）, 在△BCD中，SAn=号·DC·BC·sim(a+）=号BC· (sina+√3cosa), 在△ACD中，由余弦定理得AC2=22+12-2X2X1Xcos0= 5-4cos0, 又1=AC+4-2AC·2se,则csa-AC+3_名-cos0, 4AC AC 在△ACD中，由正弦定理得sin日sina'ha一。 AC,又 AC=BC, 因此Sm=号BC·(2+5×28）= AC）=2sin0- 名os0+5=sin(0-子）+5≤1+5， 又0（行），当且仅当0-音-至即0=后时取等号， 所以S△cD最大值为(1+√5)km2. 解：(1)在△ACD中，∠ACD=30°，∠CAD=45°， 则∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=180°-30°-45°=105°，