选择填空题专练(14)圆锥曲线的定义与性质-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

」鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题逐题突破—选择填空题专练（十四）》 数学·圆锥曲线的定义与性质 总分：63分时间：40分钟 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 ,已知FF,分别是双曲线C乙1(@>0，b>0)的左、石焦点，以F,为圆心，焦距为直 径的圆与C在第一象限交于点M,若直线MF1是圆F2的切线，则该双曲线的离心率为 A.√3+1 B.√3 C.23 D.√3+2 C:。十义1的有焦点为F,过C中心的直线交C于A,B两点，则△A 最小值为 A.8 B.6+2√3 C.10 D.8+2√3 3.已知P(4,4)是抛物线C:y2=2x(p>0)上一点，过C的焦点F的直线L与C交于A,B两 点，则|AF|十4|BF|的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9 L已知双曲线C乙-I@,b均为正整数)的左、右焦点分别为E,E,0为坐标原点，P C右支上一点△PF,F2的周长为25,0到直线PF,PF的距离分别为d1,d,若d,=23' d17 则C的渐近线方程为 A.y=士3x 2 By=土 C.y= D.y=±2x 3 已知椭圆C女y +6=1(a>6>0)的右焦点为F,过点F的直线与圆x2+y2=b相切于点E 且与C相交于M,N两点.若E,F恰为线段MN的三等分点，则C的离心率为 A.5 √3 3 B. 5 C.5 4 D.5 x2 6设桶圆C。十，a2h≥双由线C:号u>0,6>0有相阿的经，五 们的离心率分别为e1,e2,椭圆C1的焦点为F1,F2,C1与C2在第一象限的交点为P,若点P 在直线y=x上，且∠F,PF,=90,则+的值为 1 A.2 B.3 C.√2 D.√3 数学·选择填空题专练（十四）第1页（共2页）】 班级 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 姓名 7.已知点M(0,m)(m≠0)，F为抛物线C:y2=4x的焦点，N,Q为C上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN(直线MN斜率存在且不为0)与C仅有唯一交点N,则 得分 A.C的准线方程为x=一1 B.若线段MF与C的交点恰好为MF的中点，则m=士2√2 C.直线MN与直线MF垂直 D.若|QF|=3,则|OQ=2√2 答题栏 8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常 :1 数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线.现有方程m√x2+y2一4y十4=x一3y+1|表示的曲线是双曲线，则实 3 4 数m的取值可能为 5 A.2√2 B.3 C.23 D.4 6 9.已知A(一a,0),B(a,0),P为平面上的动点，定义运算：|PA||PB|=a,其中A>2a>1. 则下列说法正确的是 8 9 A.若运算为加法，则P点的轨迹为椭圆 B.若运算为减法，则P点的轨迹为双曲线 C.若运算￥为乘法，则P点的轨迹为直线 D.若运算为除法，则P点的轨迹为圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点Q是圆(x一4)2十y2=1上的动点，则P,Q两点间 的最短距离为 11.已知正方形PQRS的边长为2√2，两个不同的点A,B都在直线QS的同侧（但A,B与P在 直线QS的异侧)，A,B关于直线PR对称.若PA·RB=0,则△PAS面积的取值范围 是 12.“若点P为椭圆上的一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2 的外角”，这是椭圆的光学性质之一已知椭圆C:。+1,点P是椭圆上的点，在点P处 的切线为直线，过左焦点F1作L的垂线，垂足为M,设点M的轨迹为曲线E.若Q是曲线 E上一点，已知点A4,0),B(5,4,则1AQ1+BQ的最小值为 数学·选择填空题专练（十四）第2页（共2页）高考试题逐题突破 数学选择填空题专练（十四）》 一、选择题 1.A 2,C【解析】因为椭圆的方程为十 0+y=1,所以a三3，b=2, c=√a2-b=√5，设C的左焦点为F',连接AF,BF,设坐标 原点为O,则由椭圆的中心对称性可知|OA|=|OB|,|OF'1= OF|,可知四边形AF'BF为平行四边形，则|BF|=|AFI,可得 △ABF的周长为|AF|+IBF|+IAB|=IAF'I+|AF+ |AB|=2a+|AB|,当A,B位于短轴的两个端点时，|AB|取 最小值，最小值为2b=4,所以△ABF的周长为2a十|AB|≥ 6十4=10. 3.D【解析】因为P(4,4)是抛物线C上一点，所以42=2力·4， 得力=2，则抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设A(x1, y1),B(x2,y2),不妨设y1>0>y2,设直线1的方程为x= my+1,联立二+1，得y-4my-4=0,4=16m3中 16>0,所以1十=4m,y:=-4,故1，=关.2 44 -)=1,则|AF1+4BF1=x1十1+4(x:十1)=x1+4:+5≥ 16 2V4x1x2+5=9,当且仅当x1=4x2且x1x2=1,即1=2， x,=?时，等号成立故AP十BF的最小值为9. 4.B5.A 6.A【解析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,则a?一b=c2, a+bi=c2,又∠F,PFa=90,所以0Pl=2lrF,l=c,又 点P在第一多限，且在直线y-上，所以P(停，号)【c> 0).又点P在椭圆上，所以 ai bi a。=2,整理得2a-4ai:2十c4=0,两边同时除以c,得2： (付)”-4“片+1=6，部得号生-生9 e 4 2 因为0<e<1,所以 _2+√2 2 ,同理可得点P在双曲线上， ()() 所以 =1,即 b2 ac-a 2 2 二、选择题 7.ABC 8.AB【解析】因为方程m√x2+y2-4y十4=x-3y+1|表 示的曲线是双曲线，显然m>0,即m V√x2+(y-2)7= /10 x-3y+1 W10 ,则x十y一2)2=√10，其中x+(y2)2 x-3y+1 W10 表示点(r,y到定点(0,2)的距离，|x-3y+1表示点(x,y) V10 到直线x-3y+1=0的距离.又点(0,2)不在直线x一3y十 1=0上，则22+y-2 1x-3y+1 -表示平面内一点(x,y)到定点(0， /10 2)的距离与到直线x-3y十1=0的距离之比，依题意可得e= ·12 >1,解得0<m<V0,结合各选项可知，只有AB符合 题意. AD【解析】对于A,若运算*为加法，则有|PA|十|PB|= λ，因为λ>2a>1,所以|PA|+|PB|=λ>|AB=2a,所以根据 椭圆的定义知，P的轨迹是以A,B为焦点，实轴长为入的椭圆，故 选项A正确；对于B,若运算为减法，则有|PA|一IPB|=入，当 λ>2a>1时，P点的轨迹不存在，故选项B错误；对于C,若运 算￥为乘法，则有|PA|·|PB|=λ，λ>2a>1,设P(x,y),则 由|PA|·|PB|=A有√(x+a)2+y·√(x-a)2+y2= λ，两边平方得[(x十a)2+y2][(x-a)2+y2]=λ2，其中> 2a>1,所以方程不可能表示直线，所以P点的轨迹不是直线， 故选项C错误；对于D,若运算为除法，则有|PA|÷PB| A,设P(x,y),由|PA|÷IPB|=入，即|PA|=λ|PB|,即 √(x+a)2+y7=λ√(x-a)2+y,两边平方得x2+2ax+ a2+y2=12(x2-2ax+a2+y2),整理得(a2-1)x2+(2 1)y2-2a(2+1)x+(λ2-1)a2=0,因为1>2a>1,所以 A-1D0所以+y-2x+a=0,由D十g 4F= 「-2a(a2+1)]2 -4a2=4a2(a2+1)2 λ2-1」 (02-1)2 -4a2= 4a「a2+1)2 (a2+1)2 Q-1-1,因为A>2a>1,所以0->1，所以 D2+E2一4F>0,所以点P的轨迹是圆，故选项D正确， 三、填空题 10.7-1 1.(2,4)U(4,十∞)【解析】如图，以 PR所在直线为x轴，QS所在直线为 y轴建系，则P(一2,0)，R(2,0),设 A(x,y),B(x,-y),且x>0,y≠0，所 以PA=（x+2,y),RB= (x-2,一y).因为PA·RB=0,所以 (x+2)(x一2)一y2=0,即A位于双 曲线x2一y2=4(y≠0)的右支上，渐 近线方程为y=x或y=一x,设点A到直线PS的距离为h, 又直线y=x与直线PS的距离为V2,点(2,0)到直线PS的 距离为2√2，则h∈(W2,2V2)U(2V2,十∞)，又S△Pas= 号PSXA=EA∈(2，U4,十∞)，所以△PAS面积的取 值范围是(2,4)U(4,十∞). 2 【解析】由椭圆C的方程发+头=1，知a=22,如图①， 延长F,M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM,又 因为PM⊥FN,则M为FN的中点，且|PF,|=|PN|,所以 F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2a=4√2，又因 为0为F1F,的中点，所以OM1=2F,N=2×4E= 2√2.故点M的轨迹E为以O为原点，2√2为半径的圆，圆的 方程为x2+y2=8.设在x轴上存在定点T(m,0),使得圆上 任意-点Q(红，y,满足1QT1-号1QA,由A(4,0,得 am可=号一中可，化简得2+2- 4(m-2)x+2(m2-8)=0,又因为x2+y2=8,代入得 4(m-2)x-2m2十8=0，要使等式恒成立，则 m一20，即m=2.所以存在定点T(2,0),使圆上任意一 8-2m2=0, 点Q满足Qr=号1QA1,则号1AQ1+|BQ1=Qr1+ |QB|≥BTI,当Q,B,T三点共线(B,T位于Q两侧)时， 等号成立.由B(5,4),得|BT|=√J(5一2)2+(4-0)2=5，所 ·数学· 以号1AQ1十1BQ≥5，加图@，连接B7,线段BT与圆0的 交点即为取最值时的点Q,此时取到最小值5. X(Q) ⑦ ③ 数学选择填空题专练（十五） 一、选择题 1.C2.C3.B4.D 5.A【解折】函数y=e-合与y n(分-z)的图象关于直线y=-x对 称，设与直线y=一x平行，且与曲线 y=。一号相切的直线方程为y= y=In( -x十m,切点为A(x1,y1),设与直线 y--工平行，且与曲线y=1(分一=)相切的直线方程为y= -e1=-1, -x十n,切点为B(x2,y2),由 y1=e一1，解得 2， 1 一=一1， x1=0, 1 1可得A（0, 2x2 解得 y1=2 y:-I(2-x:), =可得B(-三则1a1-合+( y2=0, ，则圆珠直径的取值范周应为(0，号)】 √ 6.B【解析】由函数f(x)= y=kx -2+7<0若y=f(x)-虹 yf(x) ln(x+1),x≥0， 有且只有3个零点，当x=0时，可得 f(0)=ln1=0,可得x=0是y= f(x)一x的一个零点，当x<0时， 21=红，可得x=号-A<0,解得> 由一x2+ 2:当x>0 时，f)=lnx+D,可得fx)-可得了0=1，要 使得函数y=f(x)一x在x>0上有一个零点，即函数y= f(x)与y=kx的图象有一个公共点，则满足0<k<1,综上 可得弓<k<1,即函数f(x)一k红有三个零点时，实数k的取 值范围为（宁） 二、选择题 7.AC &.B以D【解折设圃线上一点为(e,名）y=一子y1 则其切线方程为y=一号（红-。）+是，即2z十0y 、2 ·1 参考答案及解析 4a=0,过原点作这条直线的垂线，垂足为(xo,y),则 8a 4a3 一)怒得可得02 l2xo十a2y-4a=0, 32a4 16a2 256a4 4十az号+y=4+a,从而（x6+)2=4十= 8xoyo,可见垂足轨迹的方程是(x2十y2)2=8xy,故A错误. 由(x2十y2)2=8xy可知方程中x,y互换方程不变，故曲线关 于直线y=x对称，故B正确.点P(x,y)到两坐标轴的距离 分别为|x|和|y,其积即|xy.又xy= 32a (4+a')2= 32 32 一=2，当a=士√2时取等号，可得 /16 8+a+82·a+8 xoyo最大值为2，故C正确.若OP的斜率为2，则有y。= 2,代入轨速方程或直接检验可解得P=(号，）或 664_45,故D正确. (-÷,-g）,所以oP=√2g+器 5 9.ABD【解析】对于A选项，由f(x)=x3-x十1，定义域为 R,可得fx)=3x-1,令f(x)=3x-1>0,得>5或 <-5令fa)-3-1<0,得-<<停即了e) 3 在（百）上单润递成，在(-0，）.（停+）上 单调造增，即x=停是了公的极大值点2-9是了红)的 极小值点，故A选项错误；对于B选项，由A可知，f(x)的极 大值为(-号)-2+9>0,1x)的极小值为（停） 9 9-23>0,f(-2)=-8+2+1<0,由fx)在（-∞， 9 ）上单调通增和零点存在定理可知，(x)在(-60， -停）上存在1个零点，因为5G)在(-侣号)上单测递 减，在(+∞)上单调递增，极小值f()>0,所以fx) 在(-+)上恒大于0，所以G)有一个零点，放B选项 错误；对于C选项，可设g(x)=x3一x,得g(-x)=一x3十x= 一g(x),则g(x)为奇函数，所以g(x)图象关于(0,0)对称，将 g(x)向上平移1个单位可得f(x),故函数f(x)关于(0,1)对 称，故C选项正确；对于D选项，由A知f'(x)=3x2一1，令 f'(x)=3x2-1=2,解得x=士1，则f(1)=1,f(-1)=1,所 以切线方程为y-1=2(x-1)和y-1=2(x+1),即y= 2x一1和y=2x十3，故D选项错误. 三、填空题 1o1-h21.（-1,] 12.(-o,e]【解析】Hx∈(1，十o),f(x)<alnx十a-ex等 价于Hx∈(1，+∞)，a.x-e<alnx+a-ex,即Hx∈(1， +oo),a(x-Inx-1)<e*-ex,h(x)=a(x-In x-1)- e十er,则h'(x)=a(x-1）-e十e,设(x)=a(r-1) e+e,则(x)=是-e,若a≤0，则t(x)0,故(x)在 (1,十∞)上单调递减，故(x)<v(1)=0即h'(x)<0,故 h(x)在(1，+∞)上单调递减，所以h(x)<h(1)=0,即Hx∈