精品解析：湖南衡阳市衡东一中教育集团初中学校2025～2026年下学期（4月）期中联考考试八年级数学试卷

2026年八年级下册数学期中测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 3. 下列图形不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. B. 6 C. D. 5. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是 （ ） A. 设甲班每天植树x棵，则 B. 设乙班每天植树x棵，则 C. 设甲班在x天植树80棵，则 D. 设乙班在x天植树70棵，则 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当x______时，分式有意义． 12. 分式和的最简公分母为______． 13. 分式的值为0，则x的值为______． 14. 点P在第二象限内，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可以为______（填一个即可）． 15. 将直线向下平移2个单位长度得到的直线解析式是______． 16. 如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程； 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； （2）从美术馆到姑妈家的速度为 ． （3）当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，点两点，与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 22. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，；再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则 ， ． （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，．求的值． 24. 探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索的图象和性质． （1）在平面直角坐标系（如图）中，画出函数的图象； ①列表填空：（列表部分不需要写在答题卡上） x … 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象； （2）结合所画函数图象，写出的两条性质： （3）知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则 ； （4）不等式的解集是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级下册数学期中测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 3. 下列图形不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的定义，熟悉函数的定义是解决问题的关键． 根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此分析即可解答． 【详解】解：A．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意； B．对每一个x的值，都有两个y值与之对应，不是函数图象，符合题意； C．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意； D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意． 故选B． 4. 若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得 ， 解得． 5. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的性质是解题关键．根据题意可知，，可知该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，即可获得答案． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴该一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 6. 学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是 （ ） A. 设甲班每天植树x棵，则 B. 设乙班每天植树x棵，则 C. 设甲班在x天植树80棵，则 D. 设乙班在x天植树70棵，则 【答案】D 【解析】 【分析】分别设甲班每天植树x棵、乙班每天植树x棵、甲班在x天植树80棵、乙班在x天植树70棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等以及甲班每天比乙班多植5棵树，列出方程即可判断， 【详解】设甲班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程：，故A正确； 设乙班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程：，故B正确； 设甲班在x天植树80棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程：，故C正确； 设乙班在x天植树70棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程：，故D错误， 故选D. 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系分别列出方程求解. 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大，由此可解． 【详解】解：， 在每个象限内，y随x值的增大而增大，且点在第二象限，点，在第四象限， ， ，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性． 8. 函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，分两种情况讨论，分别分析当时和时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意即为正确答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故A、D错误，B正确； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故C错误， 故选：B． 9. 已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的坐标在象限内的特征是解题的关键；由点P在第四象限可知横坐标为正，纵坐标为负，然后根据“点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1”可进行求解． 【详解】解：因为点P在第四象限可知横坐标为正，纵坐标为负， 又因为“点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1” 所以点P的坐标为； 故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当x______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得：． 12. 分式和的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 13. 分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 14. 点P在第二象限内，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可以为______（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先明确第二象限内点的坐标符号特征和点到坐标轴距离的定义，再根据条件得到横纵坐标的关系，写出符合要求的坐标即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第二象限， ∴， ∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∴点P的坐标可以是． 15. 将直线向下平移2个单位长度得到的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解由题意得． 16. 如图是一次函数的图像，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解就是对应一次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 关于x的方程一元一次方程的解就是一次函数与x轴交点的横坐标的值，据此即可解答． 【详解】解：从图像上可知，一次函数与x轴交点的横坐标为， 所以关于x的方程的解为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程； 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：，求值结果为：； 【解析】 【分析】先通分，再将除法转化成乘法约分到最简代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； （2）从美术馆到姑妈家的速度为 ． （3）当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【答案】（1）离开家的时间； 离开家的距离；小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据因变量和自变量的定义，以及函数图象即可得到答案； （2）根据图象，用从美术馆到姑妈家的路程除以时间，即可求解， （3）由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻，结合函数图象根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离，点A的实际意义为小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； 【小问2详解】 解：从美术馆到姑妈家的速度为； 【小问3详解】 解：由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻， 当在段时，根据题意得， 解得， 当在段时，根据题意得， 解得； 综上所述，当小明和家人离开家或时，他们离家的距离为． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，点两点，与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，函数的表达式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）求出点C的坐标，根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 22. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； （2）购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 23. 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，；再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则 ， ． （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，．求的值． 【答案】（1）2，5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合“十字分式方程”的定义可得答案； （2）原方程可变形为，根据“十字分式方程”的定义可得或，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，再由，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵为“十字分式方程”，且， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为“十字分式方程”， ∴或 ∴； 【小问3详解】 解：“十字分式方程”的两个解分别为，， ∴， ∴ ． 24. 探索研究：通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，探索的图象和性质． （1）在平面直角坐标系（如图）中，画出函数的图象； ①列表填空：（列表部分不需要写在答题卡上） x … 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象； （2）结合所画函数图象，写出的两条性质： （3）知识运用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则 ； （4）不等式的解集是______． 【答案】（1）①、、1、2、2、1、、； ②图象如图所示： （2）①当x<0时，y随x的增大而增大;②当x>0时，y随x的增大而减小． （3）0 （4） 或． 【解析】 【分析】（1）①利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，②利用描点法即可画出图象． （2）观察图象可知：①当x<0时，y随x的增大而增大;②当x>0时，y随x的增大而减小． （3）由题意可知，A、B关于y轴对称，所以a、b互为相反数，然后根据相反数的定义即可解答． （4）利用函数图象确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：①当x的值分别为-3、-2、-1、、、1、2、3代入函数解析式，得到的函数值分别是、、1、2、2、1、、． 故答案是、、1、2、2、1、、． ②略 【小问2详解】 解：根据（1）所得函数图象可得：①当x<0时，y随x的增大而增大;②当x>0时，y随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：∵点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点， ∴A、B关于y轴对称， ∴a、b互为相反数， ∴a+b=0． 故答案是0． 【小问4详解】 解：由图象可知，不等式的解集是 或． 故答案是 或． 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质、轴对称等知识点，正确画出函数图象并灵活利用图象解决问题是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $