11.重难题型卷(四)四边形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（冀教版·新教材）河北专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下9G 11.重难题型卷（四） 四边形 保 州 题型一 中位线的相关计算 厚期 1.情境题如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块 三角形空地上围一个四边形花坛.已知四边形BCFE的顶点 E,F分别是边AB,AC的中点，量得EF=8m,∠B=∠C= 60°，则四边形花坛的周长是( ) A.24m B.32m C.40m D.48m C D 第1题图 第2题图 第3题图 苹 2.(期末·24-25石家庄四十八中)如图，在△ABC中，D,E分别 为边AB,BC的中点，AF为高线，∠DEB=60°，则DE与CF 的长度大小关系是( A.DE<CF B.DE>CF C.DE=CFD.无法确定 3.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是边BC,CD的中点，若 AB=5,AD=3,EF=2,∠CFE=46°，则∠ADC的度数为( 物 A.100° B.120° C.128° D.136° 4.(模考·2024石家庄长安区一模)如图，在四边形ABCD中， 点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点，则四边形 EGFH的周长( A.只与AB,CD的长有关 B.只与AD,BC的长有关 C.只与AC,BD的长有关 D.与四边形ABCD各边的长都有关 咖 阳 品 第4题图 第5题图 5.(模考·2023石家庄藁城区二模)如图，在边长为6√3的正六 边形ABCDEF中，连接BE,CF,相交于点O,若点M,N分别 为OB,OF的中点，则MN的长为() A.6 B.6V3 C.8 D.9 6.（期末·23-24衡水三中)如图，在给定的△ABC中，动点D从 点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E, DF∥AB交AC于点F,O是EF的中点，在整个运动过程中， △OBC的面积的大小变化情况是( A.不变 B.一直增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 D D A 第6题图 第7题图 第8题图 7.数学归纳图形规律如图，在△ABC,中，A,B,=3.5,A,C,= 2.5,B,C1=2,点A2,B2,C2分别是边B,C1,A,C1,A,B,的 中点；点A3,B,C3分别是边B2C2,AC2,AB2的中点；…； 依此类推，则第2226个三角形的周长是( A. B C D.2g 8.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=9,由尺规作图可以 确定BC边上一点E,取AD的中点F,连接EF,则EF的长的 取值范围为 9.(期中·22-23定州)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是 边AB,BC的中点，连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的 中点，连接GH.若AB=6,BC=10,求GH的长 A H G 第9题图 35 题型二最值问题 10.（期末·22-23保定满城区)如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6,BC=8,点D为BC 上一点，以AC为对角线的所有平行四边形 ADCE中，DE的最小值为( ) 第10题图 A.4 B.6 C.8 D.10 11.如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方 形ABCD内，在对角线AC上有一点P,若PD+PE的最小值 为5，则正方形的面积为( A.16 B.6.25 C.9 D.25 G 第11题图 第12题图 12.(期末·24-25邯郸永年区改编)如图，在菱形ABCD中， AC=16,BD=12,E是CD边上一动点，过点E分别作 EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小 感值为( A.4 B.4.8 C.5 D.6 13.如图，在□ABCD中，∠C=120°，AB=2,AD=2AB,点H, G分别是边DC,BC上的动点，连接AH,HG,点E为AH的 中点，点F为GH的中点，连接EF,则EF的最小值为( ) A.2 B.√5 C.1 34 D D 0 B 第13题图 第14题图 14.（期中·22-23石家庄二十七中)如图，在矩形ABCD中，AB =8,BC=3,顶点A,B分别在y轴和x轴上.当点A在y 轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD 的最大值为( A.8 B.9 C.√73 D.V85 15.（期中·23-24廊坊四中)如图，AB=40√2，点D在AB上， △ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的 射线DP,过射线DP上一动点 G(不与D重合)作矩形CDGH, 记矩形CDGH的对角线交点为 O,连接OB,则线段BO的最小 值为( 第15题图 A.20W2 B.20 C.402 D.40 16.(期末·22-23石家庄二十八中)菱形OABC在平面直角坐 标系中的位置如图示，顶点C(-2,0),∠BCO=60°，点P 是对角线AC上的一个动点，D(0,-V3),则DP+OP的最小 值为 第16题图 第17题图 第18题图 17.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,动点P满足SPH8 =)S矩形c0,则点P与A,B两点的距离之和PH+PB的最 小值为 18.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AO=CO=4, BO=DO=3,点P为线段AC上的一个动点.过点P分别 作PM⊥AD于点M,PN⊥DC于点N.连接PB,在点P的 运动过程中，PM+PN+PB的最小值为 19.（期末·24-25张家口桥西区)如图，在平行四边形ABCD中， AD=3,∠A=60°，E是边DC延长线上一点，连接BE,以BE 为边作等边三角形BEF,连接FC,则FC的最小值是 第19题图 第20题图 20.(期末·22-23唐山古冶区)如图，在正方形ABCD中，AB= 4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2, 连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF, 连接CF,则线段CF长的最小值为 题型三动点问题 21.（期中·23-24邢台任泽区改编)如图，在Rt△ABC中，∠B =90°，AC=60cm,∠A=60°，点D从点C出发沿CA方 向以4c/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发 沿AB方向以2c/s的速度向点B匀速运动，当其中一个 点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D,E运动 的时间是t(0<1≤15)s.过点D作DF⊥BC于点F,连接 DE,EE (1)求证：四边形AEFD为平行四边形 (2)①当四边形AEFD为菱形时，求t的值； ②当t= 时，四边形DEBF为矩形 C 第21题图 —36 题型四存在性问题 22.(期中·23-24石家庄外国语)如图，在□ABCD中，∠BAC= 90°，CD=6cm,AC=8cm.动点P从点A出发沿AD以 2cms速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cms 速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止 运动，设点P的运动时间为t(t>0)s (1)CB的长为 cm (2)当>时，用含1的代数式表示线段BQ的长为 (3)连接PQ.是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若 存在，求出1的值；若不存在，请说明理由. (4)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请 直接写出t的值 D B E B E 第22题图 备用图 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 解得AP=6cm, 由题意，得AT=PT=3cm, ∴.BE=CD=PT=3cm DE BC=8 cm, ∴，矩形BCDE的周长为8+8+3+3=22(cm): 方案二：如图②，过点A作AH⊥BC于点H. SAWC=3×BCAH=24, 解得AH=6cm. 由题意，AG=BD,AF=CE,FG=DE, GF=DE=7 BC=4(cm). 'DG=EF=AH=6 cm, ∴矩形EFGD的周长=4+4+6+6=20(cm). 23.(1)【证明】DE⊥BC,∴∠DFB=90°，：∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB,.AC∥DE.:MN∥AB,即CE∥AD, ∴.四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD. (2)【解】四边形BECD是菱形，理由如下： 点D为AB的中点，AD=BD.CE=AD,∴BD= CE.:BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形.：∠ACB =90°，点D为AB的中点，CD=)AB=BD,∴四边形 BECD是菱形 (3)【解】45 分析：由(2)知CD=3AB=BD,AD=BD,CD=AD, ·∠A=∠ACD=∠CDB.:当∠CDB=90时，菱形BECD 是正方形，·当∠A=CDB=45时，符合题意 24.【解1(1)14-2t2t-14 分析：当点P在BC上运动时，BP=2t-AB=2t-5, .CP=BC-BP=9-(2t-5)=14-2t. 当点P在CD上运动时，CP=2t-AB-BC=2t-14. (2)当点P在CD上，PQ∥BC时，点Q在AB上， :AB∥CD,∴四边形BCPQ是平行四边形， .BQ=CP,.3t-9×2-5=2t-14,∴.t=9 (3)当2.5≤t≤3时，当BP=DQ时，直线PQ平分☐ABCD 的面积，“2-5=9-3，解得1=号.当号≤1≤时，当BQ =DP时，直线PQ平分□ABCD的面积，∴.3t-23=19-2t,解 得1=号.综上所述，当1=号或1=号时，直线PQ平分 口ABCD的面积. (4a的值为1或9或号 分析：号<17，则9<2<14，点P在BC上. ,所围成的四边形为菱形，∴.点Q在AD上 ①当四边形ABPQ为菱形时，此时BP=AB=AQ, 4=9=5a=g1 ②当四边形PCDQ为菱形时，此时CP=CD=DQ,∴.14-2t =5,解得1=号，“这种情况不存在。 ③当四边形APCQ为菱形时，作AE⊥BC,如图① ·SARCD=36,BC=9,AE=4,∴.BE=VAB2-AE2=3, .EC=6,设EP=x,则AP2=AE2+EP2=42+x2,PC=6-x :AP=PC,AP:=PC,44x2=(6-x,解得x=, ·、PC65134B+BP=。3三29， 2 2 6 a=40=P℃=13÷29_26 3 6-29 Q P ② 第24题答图 ④当四边形BPDQ为菱形时，作BF⊥DA的延长线于F,如图②， 同上可得AF=3,BF=4,设AQ=x,易得CP=AQ=x, 则BP=9-x.BQ2=BF2+FQ2=42+(3+x)2,且BQ=BP, 六BQ2=8P,即44(3+P=(9-以，解得x=子 六P-29,1=B+B即5+20 3 2 =2 综上所述，a的值为1或治或号 11.重难题型卷（四）四边形 1.C【解析】，点E,F分别是边AB,AC的中点，EF=8m, ∴.BC=2EF=16m..∠B=∠C=60°，∴.△ABC是等边 三角形，.AB=AC=BC=16m:E,F分别是AB,AC 的中点，BE=FC=)AB=8m,四边形花坛的周长= BE+BC+CF+EF=8+16+8+8=40(m).故选C. 2.C【解析】：AF为高线，∴∠AFC=90°.，D,E分别为边 AB,BC的中点，·DE∥AC,DE=)AC,∴∠C=LDEB= 60,∠CAF=90°-60=30°，CF=3AC,DE= CF故选C. 3.D【解析】如图，连接BD,E,F分别是边BC,CD的中点， ∴.EF∥BD,BD=2EF=4, .∠CDB=∠CFE=46°. .BD2+AD2=25,AB2=25, .BD+AD2=AB2,.∠BDA= 90°，.∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC= B 136°.故选D. 第3题答图 4.B【解析】点E,F,G,H分别是 线段AB,CD,AC,BD的中点，∴.FH,EG,FG,EH分别是 △BCD,△ABC,△ACD,△ABD的中位线，∴.FH+FG+EG+EH =)BC+号AD+)BC+方AD=AD+BC,四边形EGFH的 周长只与AD,BC的长有关.故选B. 5.D【解析】如图，连接BF,过点A作AH⊥BF于点H. 在正六边形ABCDEF中，AB=AF,∠BAF A =120°，.∠FAH=60°，BH=FH, ∠AHF=90°，∴.∠AFH=30°， B AH=3AF=7×65=35, .FH=BH=√AF2-AH D =V(6W3)2-(3W3)2=9,.BF=2FH=18. 第5题答图 ,点M,N分别为OB,OF的中点，'.MN是△OBF的中位线， ·MW=BF=)×18=9.故选D. 6.A【解析如图，连接AD.:DE∥ AC,DF∥AB,'.四边形AEDF是 平行四边形.：O是EF的中点， ∴.O也是AD的中点. 取AB的中点M,AC的中点N,则 B D MN为点O的运动轨迹，∴.在整个 第6题答图 运动过程中，点O的轨迹是△ABC 的中位线.N∥BC,∴.点O到线段BC的距离为定值（两 条平行线间的距离处处相等)，在整个运动过程中，△OBC的面 积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，根据同底等高 的三角形面积相等，可知△OBC的面积不变，故选A 7.C【解析A,B1=3.5,A,C1=2.5,B,C1=2,.△A,B,C1的 周长为3.5+2.5+2=8.：点A2,B2分别是边B,C,A,C,的中点， A,B2是△A,B,C的中位线，A,B2=亏A,B.同理，可得AC =)A,C,B,C,=3B,C,△A,B,C的周长=3△AB,C,的 周长，∴第3个三角形的周长为×△4B,C的周长一 5是△4BC的周长，…，第226个三角形的周长为2点△4BG 的周长，即2×8=2，故选C 1 &子<BF<号【解析1如图，连接BD,取BD的 中点M,连接EM,FM由题意可知，点E是 BC的中点，：点F是AD的中点，M是BD A 的中点， .FM是△ABD的中位线，EM是△BCD的中 B 位线，PM=方4B=1,BM=分CD=号 .EM-FM<EF<EM+FM,:-1<EF< 第8题答图 号+1，即☑<BEF<号：放答案为}<BF<号. 9.【解】如图，连接CH并延长交AD于点P,连接PE ,:四边形ABCD是矩形， P ∴.∠A=90°，AD∥BC E,F分别是边AB,BC的中点，ABE H =6,BC=10,.AE=2AB=3×6 G =3,CF=7BC=7×10=5. 第9题答图 AD∥BC,∴.∠DPH=∠FCH 「∠DPH=∠FCH, 在△PDH与△CFH中，{∠DHP=∠FHC, DH=FH, .△PDH≌△CFH(AAS),∴.PD=CF=5,CH=PH, :'AP AD-PD 5,.'PE=AP2+AE2+34 ”点G是EC的中点，·GH=号EP=4 10.B【解析】：四边形ADCE是平行四边形，点D在BC上， ..AE∥BC.,∠B=90°，AB=6,.AB⊥BC,.DE≥6， ∴DE的最小值是6.故选B. 11.D【解析】J设BE与AC的交点为P A D 如图，连接PD,则此时PD+PE的值最 小..·四边形ABCD是正方形， .点D与点B关于AC对称， .PD+PE=PB+PE=BE=5. 又：△ABE是等边三角形，.AB=BE 第11题答图 =5,∴.正方形的面积为25.故选D. 12.B【解析】如图，连接OE,,在菱形ABCD中，AC=16,BD =12,∠C0D=90,0C=7AC=8,0D=7BD=6, .CD=VOD2+0C2=√6+82=10. EF⊥OC,EG⊥OD,∴.四边形OGEF是矩形，.GF= OE,∴FG的最小值即OE的最小值 当OB⊥CD时，OE的值最小，此时 Sen=30C·0D=3CD:0E, 3×8x6=7×100B,10E= 4.8,∴.OE的最小值为4.8，即FG的 B 最小值为4.8，故选B. 第12题答图 13.D【解析】如图，连接AG,,四边形ABCD是平行四边形， ..AB∥CD,∴.∠B+∠C=180°， .∠B=180°-120°=60°.点 D E E,F分别是AH,GH的中点， H EF是△AGH的中位线，∴.EF=B G 2AG,当AG1BC时，AG的长最 第13题答图 小，EF有最小值，此时∠BAG=30°，BG=号AB=1,由勾 股定理可得4G=V-BG=5,=号4G=9,即 的最小值是.故选D. 真题圈数学八年级下9G 14.B【解析如图，取AB的中点E,连接OE, DE,:OD≤OE+DE,.当O,D,E三点共线时，点D到点O 的距离最大此时，：AB=8,BC=3,0E=AE=3AB=4, .DE=VAD2+AE2=V32+42=5, ∴.0D的最大值为5+4=9.故选B. UA D G B y B 第14题答图 第15题答图 15.A【解析】如图，连接A0,:四边形CDGH是矩形，对角线 CG,DH的交点为O,∴.CO=DO. :△ACD是等边三角形，∴.AC=AD,∠CAD=60°， ∴.AO⊥CD,且AO平分CD,.点O在CD的垂直平分线上， 40平分∠CD,∠0AD=3<CAD=30, ∴.当B0⊥AO时，BO的值最小，∴.此时∠AOB=90°. ∠0AB=30°，AB=40N2, ·B0=2AB=号×402=202.故选A 16.√3【解析】连接BD,BP,如图.，点B关于AC的对称点是点 O,.OP=BP,.DP+OP≥BD.当点B、P、 D三点共线时，DP+OP最小，最小值为BD 的长. ,四边形OABC是菱形，顶点C(-2,0), ∠BC0=60°，∴点B的坐标为(-1，V3). :点D的坐标为(0，-√3)， 第16题答图 BD=V12+(2√3)2=√13.故答案为3 17.2V13【解析】设在△ABP中，AB边上 的高是h:SAMB=号S形CD ·员4B:h=号B·AD,A=号4D =2,.动点P在与AB平行且与AB的 第17题答图 距离是2的直线1上，如图，作点A关于直线1的对称点E,连 接AE,BE,则BE的长就是所求的最小值， 在Rt△ABE中，.'AB=6,AE=2+2=4, ∴.BE=VAB2+AE2=V62+42=2W13, 即PA+PB的最小值为213.故答案为213 18.7.8【解析】AO=CO=4,BO=D0=3,.AC=8,四 边形ABCD是平行四边形. DD :AC⊥BD于点O,.平行四边形 M N ABCD是菱形，AD=√AO2+DO2=5,A C .CD=AD=5.连接PD,如图. SAADP+S△cDP=S△ADc, B ·2AD·PM42DC·PN=3AC· 第18题答图 OD,即3×5PM45×5PN=)×8x3, ∴.5×(PM4PN)=8×3,.PM+PN=48,.当PB最短时， PM+PN+PB取最小值.由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，PB 最短，.当点P与点O重合时，PM4PN+PB取得最小值，最小 值为4.8+3=7.8.故答案为7.8. 19.33【解析】延长AB到工，使B7 2 B =BC,连接ET,过点C作CK⊥BT 于点K,过点T作THLDC交DC的H ○延长线于点H,如图所示， :四边形ABCD是平行四边形，AD 第19题答图 答案与解析 =3,∠A=60° ∴BC=AD=3,AD∥BC,AB∥CD, ∴.∠KBC=∠A=60°. 在Rt△BCK中，∠BCK=90°-∠KBC=30°， :K=3BC=3 31 由勾股定理得CK=VBC2-BK=3- 2 根据平行线间的距离相等得7H=CK=3y5 :△BEF是等边三角形， .∴.BE=BF,∠EBF=60° ∠KBC=∠EBF=60°， ,∴.∠KBC-∠EBC=∠EBF-∠EBC, 即∠TBE=∠CBF 在△TBE和△CBF中， BT=BC, ∠TBE=∠CBF BE=BF, .∴.△TBE≌△CBF(SAS), ∴.ET=FC, ∴当ET最小时，FC为最小 根据垂线段最短得ET≥TH, ∴当点E和点H重合时，ET最小，最小值是线段TH的长， ·E的最小值为3 2, “FC的最小值为9放答案为当5。 20.2√5-2【解析】连接DG,将DG绕点D逆时针旋转90°得 DM,连接MG,CM,MF,作MH⊥CD于点H,如图. :∠EDF=∠GDM, D ∴.∠EDG=∠FDM A 又.DE=DF,DG=DM, H .△EDG≌△FDM(SAS), ∴.MF=EG=2. G .∠GDC+∠CDM=90°= 第20题答图 ∠CDM+∠DMH, .∠GDC=∠DMH.又∠DCG=∠MHD,DG=MD, .∴.△DGC≌△MDH(AAS),..CG=DH=2,MH=CD=4, ∴.CH=2,.CM=V42+22=2√5 CF≥CMMF,∴.CF的最小值为2√5-2.故答案为2√5-2. 21.(1)【证明】由题意可知CD=4tcm,AE=2tcm:∠B= 90°，A=60°，∠C=30°，∴.DF=号DC=2tcm,.AE =DF又DF⊥BC,AB⊥BC,.AE∥DF,∴.四边形AEFD 为平行四边形 (2)【解】①由(1)可知四边形AEFD为平行四边形，.要使平 行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD,即2t=60-4t,解得 t=10,∴.当t=10时，四边形AEFD为菱形， '0号 分析：要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF=∠B=∠DFB= 90°，.∠DEB=90°，.∠AED=90°.∠A=60°， .∠ADE=30,“4D=21E,即60-41=4，解得1=9，即 当1=时，四边形DEBF为矩形. 22.【解】(1)10(2)(8t-10)cm (3)存在.如图①，连接PB,4AQ,若PQ与AB互相平分，则点Q 在点B右侧，四边形APBQ是平行四边形， AP=BQ,>是21=8-10,1=， ·当1=时，PQ与AB互相平分。 A B QE 第22题答图① (4)1的值为号或2 分析：当点P关于直线AQ对称的点落在点A下方时，如图② 由对称得∠PAQ=∠P'AQ,:AD∥BC, ∴.∠PAQ=∠AQB, ∴.∠PAQ=∠AQB,即∠BAQ=∠AQB, ∴BQ=AB=6, .CQ=BC-BQ =4, .8t=4,解得t=2 p 3 B ③ ③ 第22题答图 当点P关于直线AQ对称的点落在点A上方时，如图③. 由对称得∠1=∠2，同理可得∠3=∠4，.BQ=AB=6,.CQ =BC+BQ=16,∴.8t=16,解得t=2. 综上所述，1的值为或2 12.阶段学情调研（二） 题号123456789101112 答案AACA DCDC BCDA 1.A 2.A【解析】因为平行四边形的周长为10cm,其中一边长为 3cm,则它的邻边长为5-3=2(cm).故选A 3.C【解析】：点(-3,2)在一次函数y=-4的图象上， .2=-3k-4,解得k=-2.故选C. 4.A【解析】由题意得2-0，解得-1≤x<2,把-1≤x2在 x+1≥0， 数轴上表示为一一。十二，故选A 5. 6.C【解析】由条件可知2m=4,解得m=2,.A(2,4).由图 象可得，当函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象下方时， x<2,.不等式2x<a+5的解集为x<2.故选C. 7.D【解析】连接EF,BD交于点O,如图.：四边形ABCD 是正方形，.AB=AD=4,∠DAB=90°，由勾股定理得 BD=√AB2+AD2=√42+42=4V2.:四边形BEDF是菱形， .EF⊥BD,DE=3,OE=OF,OB=OD,OD=22.由勾 股定理得0E=√DE2-0D2=V32-(2√2>=1，.EF=20E= 2,菱形B5DF的面积为EF,BD=2×42=42故选D. 2 2 y=6.4x+16 80 3U8 B 010 第7题答图 第8题答图 8.C【解析】根据题意(1)(2)错误，(3)(4)(5)正确.故选C.