精品解析：北京市石景山区2026年九年级统一练习(一模)数学

石景山区2026年初三统一练习数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每小题2分，下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据倍数关系求出的值，再根据科学记数法的表示方法得到结果． 【详解】解：∵ 2025年底全国累计发电装机容量为千瓦，2026年底容量是2025年底的倍， ∴， ∴． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，，， 故B正确． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程二次项系数不为0，且方程有两个相等的实数根时根的判别式等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 把，，代入得 解得． 5. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形有n条边，根据内角和是它的外角和的2倍，列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个多边形有n条边． 由题意得：（n﹣2）×180°=360°×:2， 解得n=6． 故这个多边形的边数是6． 故选B 【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）•180°，外角和为360°． 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 7. 如图，在中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补求出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： 当时，点的纵坐标是； 点与原点距离的最小值是； 若点在轴正半轴上，则点的横坐标是； 若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是． 上述结论中，所有正确的结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，，，通过勾股定理得，根据旋转性质可知，当时，，则，此时三点共线，三点共线，从而可判断；由，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当三点共线时，即可判断；若在轴正半轴上，先求出，过作轴于点，则，证明，则，所以点的横坐标是，即可判断；过作轴于点，过作轴于点，连接，，交点为，则，同理可得，所以，，设，，则，，通过中点坐标得，根据题意得，解得：，故纵坐标为，从而判断． 【详解】解：如图，连接，， 由，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由旋转性质可知：， 当时，， ∴，此时三点共线，三点共线，如图， ∴， ∴轴， 由旋转性质可知， ∵， ∴， ∴纵坐标为，故正确； ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，如图，有最小值，为，故错误； 若在轴正半轴上， 在中，，， ∴， 如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的横坐标是，故错误； 如图，过作轴于点，过作轴于点，连接，，交点为，则， 同理可得：， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵直线将正方形分为面积相等的两部分， ∴直线过正方形中心，即点在上， ∴，解得：， ∴纵坐标为，故正确， 综上所述，正确的结论是． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 10. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 12. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】理解题意，先把代入，求出，然后把代入，即可求出的值． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， 解得， 故， 则把代入，得， 解得． 13. 某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 数据 学生人数 3 12 24 21 根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有______名． 【答案】 630 【解析】 【分析】先求出样本中仰卧起坐等级为优秀的频率，再用总人数乘该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本中，优秀等级的学生人数为，样本容量为， 样本中优秀学生的频率为：． 估计名女生中优秀等级的学生人数为：． 14. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 15. 中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 【答案】68 【解析】 【分析】由题意可得，，再结合求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 ①. 22 ②. C，E，G 【解析】 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：, 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再将所求式子进行约分，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理先得到，然后即可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明其为菱形； （2）连接与交于点，先根据三角形中位线定理求解，即可求解，然后根据菱形得到，，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【解析】 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，结合题意可得，再分情况讨论即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴， 当，即时，，不满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，故不符合题意； 当，即时，此时函数的图象与函数的图象平行，且在函数图象的下方，故满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，符合题意； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为． 23. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】（1） ， （2） （3） 乙、甲、丙 【解析】 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【小问1详解】 解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． 【小问3详解】 解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 24. 如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵，为半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 25. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】（1） 如图，与的函数图象即为所求； （2）50，9.7 （3）B 【解析】 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； 【小问3详解】 解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 27. 如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：． 证明：∵将线段绕点逆时针旋转， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 解：如图，即为所求作的线段的垂直平分线，． 证明：连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，则，， ∴， ∵， ∴点M，D，C，B共线， ∴， ∴． 延长交于点N，作于点K，于点L，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，由直角三角形的性质得，整理可得； （2）根据作已知线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，证明点M，D，C，B共线，求出，延长交于点N，作于点K，于点L，连接，则四边形是矩形，可得，由平行线分线段成比例定理得，从而可证，进而得出，证明，，得出，从而．结合可证，从而，整理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． （1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； （2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； （3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【小问1详解】 解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． 【小问2详解】 解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． 【小问3详解】 过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石景山区2026年初三统一练习数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每小题2分，下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年底，全国累计发电装机容量约3900000000千瓦，预计到2026年底，全国发电装机容量累计将是2025年底的1.1倍，达到千瓦，的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为( ) A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： 当时，点的纵坐标是； 点与原点距离的最小值是； 若点在轴正半轴上，则点的横坐标是； 若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是． 上述结论中，所有正确的结论的序号是（） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为______． 13. 某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 数据 学生人数 3 12 24 21 根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有______名． 14. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 15. 中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 16. 某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 21. 随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 （1）表中的值为______，的值为______； （2）表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 24. 如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 27. 如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． （1）如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； （2）已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； （3）已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $