7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 人教A版 选必三 7.3.1 离散型随机变量的均值 什么是离散型随机变量的分布列及其性质？ 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，则X的概率分布列为： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示. (1) 离散型随机变量的分布列 根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (2) 离散型随机变量的分布列的性质 复习回顾 思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的均值及其意义吗？ 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律；但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 平均分用于体现数据的总体水平 新课导入 思考：算术平均数与加权平均数 某人射击10次，射中的环数分别是： 7，7，7，7，8，8，8，9，9，10. 则他射中的平均环数是多少？ 算术平均数 加权平均数 权数 加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数. 新知探究 某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？ 18元/千克 24元/千克 36元/千克 方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克. 方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克. 方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为 元/千克 思考：哪种方案更合理？ 新知探究 问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 新知探究 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 解： =9 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲n次射箭射中的平均环数为 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 新知探究 随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 概念生成 1、 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的均值E(X)等于（ ） 故选A. A 巩固训练 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 罚球1次的得分为X的均值为： E(X)＝0×0.2＋1×(0.8)＝0.8. 0 1 0.2 0.8 解：由题意：可知X的取值为0，1.　 典例精讲 两点分布的数学期望： 0 1 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 概念生成 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则： 解： 即点数X的均值是3.5. 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P 典例精讲 解： 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的 均值. 课本练习P66 巩固训练 探究2 已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？ X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 解：因为Y=3X+2，所以Y的取值为：5，8，11，14，17，分布列如下： Y 5 8 11 14 17 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 E(X)=2.8 思考：Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？ E(3X＋2)=3E(X)+2 新知探究 问题1 离散型随机变量，(其中，为常数)与有何联系？ 设的分布列为，，，，. 根据随机变量均值的定义， . Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 新知探究 若 是两个随机变量, 且, 则有 (1)当a=0时, E(b)=b. (2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b (3)当b=0时,E(aX )=aE(X ) 离散型随机变量的均值的性质： 概念生成 16 1、 设X的分布列如下表所示，又设Y＝2X＋5，则E(Y)等于( ) D 巩固训练 2 、(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则( )   A.a＝7 B.b＝0.4 C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 解：由题意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正确. ABC 巩固训练 1．已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 课本练习P66 巩固训练 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示. 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？ 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 X的可能取值为0，1000，3000，6000. 典例精讲 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 例3 解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 X的分布列为 X的均值为 由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为 典例精讲 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 例3 变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大? 同理 当按A,C,B的顺序时 当按B,A,C的顺序时 当按B,C,A的顺序时 当按C,B,A的顺序时 当按C,A,B的顺序时 E(X)=2144, E(X)=2256， E(X)=2112 E(X)=1872， E(X)=1904. 当按A,B,C的顺序时 E(X)=2336 可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大. 典例精讲 例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢? 典例精讲 分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示： 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。 典例精讲 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 . 采用方案1, 无论有无洪水，都损失3800元. 因此 采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此 采用方案3，有 ∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2. 典例精讲 解： 3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义. 由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好. 课本练习P66 巩固训练 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 课堂小结 若 是两个随机变量, 且, 则有 即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数. 2.离散型随机变量的均值的性质： (1)当a=0时, E(b)=b. (2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b (3)当b=0时,E(aX )=aE(X ) 3.求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定随机变量取值 (2)求概率 (3)写分布列 (4)求均值 课堂小结 解：E(X)＝1×＋2×＋3×＝. X 1 2 3 P A. B.2 C. D.3 P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝0.8， 解: E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝. X 1 2 3 4 P A. B. C. D. $