数学（全国二卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

: 2026年高考考前最后一卷 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 .: 1. 集合B={-1,3,4,5},则AOB的真子集个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 2. 已知复数z满足z1-3i)=3+4i,则三=() : A.- 913 B.-913. 34i O 1010 1010 c D.55 : 3.已知20)为双曲线若r-1的-一个焦点， 则该双曲线的离心率为() 4.v6 B. 2V3 C. D.2 3 : 4.已知a=(2,4),万=(1，t),若(a+b)1(3a-),则实数t=（) C.1 D.2 : A.-2 B.号 : 5.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两 项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为() : A.12 B.24 C.36 D.48 6.已知a,B都是锐角， sin(a+)=310 tana=2tan B,cos(a-B)=() 10 K A.6 B. 3 5 c.6 4 D.3i0 10 7.设函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),且f(1+2x)=f(1-2x),则() A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 试题第1页（共4页） .: : 可学科网·学易金卷做怒德：就限美是禁 C.f(x)在(0,2)上单调递增 D.f(x)在(0,2)上单调递减 8.已知A,B,C,D是球O的球面上四点，AB⊥AD,AB⊥BC,AB=2,AC=BD=CD=V3.记球 O的体积为V,四面体ABCD的体积为'，则V:,的值为() A. 64V3 一兀 C.80W3 兀 D.32 27 B.253n 9 27 9π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是() A.随机变量X服从二项分布B3 2/ Y=2X+1,则D()=3 B.数据x,x2,,,的平均数为2，则3x+1,3x2+1,3x3+1,,3xm+1的平均数为6 C.在(x+1)”的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10 D.随机变量x服从正态分布N(5,o2),且P2<X<)=a,则Px>到)=】a 2 10.己知函数f(x)=(x-2)2(x-5),则() A.函数f(x)有两个极值点 B.x=2是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)的单调递减区间为 D.曲线y=f(x)的对称中心为(3，-2) 11.如图，圆锥的项点为V,将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O与圆锥侧面相切于圆O,平面B 与球O'切于点F,A为圆O上一点，V,A,O,F四点共面，且VA/1平面B,平面B截该圆锥所得截口曲线为 T,M为曲线T上一动点，记圆O所在平面为平面u,u∩B=l,MN⊥1，垂足为N,M交圆O于点P, ∠AO=日，则下列选项正确的有() a, A.PM=MF B.MIN//VA C.T是双曲线的一部分 D.若Rtan0越大，则曲线T的开口越大 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且3S=8S,S4=26,则a,= 试题第2页（共4页) 可学科网·学易金卷做将卷：限是鲁幕 1.已知。均为非负数。且计2，则，的最小值为 14.甲、乙两人进行抛硬币比赛.两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛 出“反面朝上”，则得0分，甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分 数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反 面朝上”，则乙得分减1分.按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中b=6,asin B=2 bsinAcos B (1)若a+c=12,求AC边上的高： (2)若12sinA=b+12simC,求△ABC的周长 16.(15分) 近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021~2025年的年份代码x(x=1,2,3,4,5)与该APP在线用 户数y(单位：万)的数据，具体如下表所示： 年份代码x 2 3 App在线用户数y 80 150 210 260 300 (单位：万) (1)求样本相关系数？（精确到小数点后两位），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从2021~2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X,求X的分布列 2x-)y-) 及数学期望E(X).注：样本相关系数”= 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=BC=1,AD=2,M是PD的中 点 试题第3页（共4页） : : D B (1)求证：CM/平面PAB: (2)若AB⊥AD, : (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： : ()在线段BD上是否存在点2，使得点D到平面PA0的距离为1？若存在，求出器的值：若不存在， 米 : 请说明理由. 扣 样 游 18.(17分) 晒圆C行+发1a>b>0)的离心率为，直线x1被椭圆C所截得的线段的长为3 (1)求C的方程： O (2)已知点B(0,√3)，过点P(4,O)的直线1交C于E,F两点(E,F在x轴的下方)，直线BF交直线x=1于点 M. ()设直线ME的斜率为k,直线MF的斜率为k2,判断k+k,是否为定值，并说明理由； (ii)证明：直线MB过定点. 世 ..0 19.(17分) 已知函数f(x)=e(x+1),g(x)=e-1. (1)求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：h(x)=g(x)-x-1在(0，+o)内存在唯一零点； (3)若对于任意的x>0,∫(x)>g(x)恒成立，求整数k的最大值. 试题第4页（共4页） 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为．故选：C 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以.故选：A 3．已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意可得, 由双曲线,则， 所以，则.故选：B. 4．已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，，所以，， 由，所以，解得．故选D 5．从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【答案】C 【解析】若选派的四人中甲乙仅有其中一人，则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有，则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 6．已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， ∴， ∴，， 从而． 由知，则， 那么，故选：D 7．设函数满足对任意的，都有，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【解析】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 8．已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设分别为的中点，连接， 因为，，所以分别以为斜边的直角三角形， 即分别过作平面和平面的垂线，交点即为球心， 分别为的中点，， 又，，，， ，， 又平面平面，所以二面角即是，同时也是， ， ， 即，解得， 所以， 即直线与平面的夹角， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以， 在中，， 所以为等边三角形，， （为的外接圆半径）， ，四边形有外接圆，且外接圆半径为， 则，四面体外接球半径， ，故，故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为， 故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为， 当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，， 所以，故D选项正确.故选：ACD 10．已知函数，则（   ） A．函数有两个极值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】，则， 令，得或；令，得或；令，得， 所以的增区间为，减区间为，所以C错误； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故A正确，B错误； 因为， 所以曲线的对称中心为，故D正确.故选：AD 11．如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．是双曲线的一部分 D．若越大，则曲线的开口越大 【答案】ABD 【解析】因为均为球的切点，易得，A正确； 设平面平面，直线交于， 因为，所以， 因为，所以， ，所以， 由平面，所以平面， 平面，所以， 又，所以， 因为，所以正确； 作垂直平面于H，又因为，所以， 由等角定理可得，，平面， 得，， 又均为球的切点，则易得，所以恒有，即， 其中为定点，为到定直线的距离， 所以的轨迹为拋物线，C错误； 圆锥过的轴截面，如图所示， 取中点，易知为的中点， 所以，所以， ， 在平面内，若以为坐标原点，为轴正向， 可得方程为可得该抛物线的开口随着的增大而增大，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【解析】因为，且，则， 于是，则，. 解法2  由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 13．已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】由题可得， 所以, 由于, 当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 14．甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为___________． 【答案】 【解析】抛掷3次，得0分的概率，得1分的概率， 得2分的概率，得3分的概率， 甲和乙分别抛掷3次后，分为两人分数差大于1分和不大于1分两种情况， 当两人分数差大于1分时，甲得分高于乙包括“甲得3分乙得0分”、 “甲得3分乙得1分”、“甲得2分乙得0分”三种情况， 总的概率为， 当两人分数差不大于1分时，乙再进行一次抛掷后甲得分高于乙包括“得分差为0，乙投反面”、 “甲的得分比乙的得分高1分”（此时无论乙再次抛掷的结果如何，甲的得分都将高于乙）两种情况， 总的概率 ， 所以比赛终止时甲得分高于乙的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，，（3分） 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为.（6分） （2）因为，，所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即，（9分） 所以，即为直角三角形， ，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为.（13分） 16．（15分） 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 【答案】(1)，与之间高度线性相关；(2) 【解析】（1）， ， ， ， （5分） 接近1，变量与高度线性相关．（7分） （2）表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种，（9分） 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故（13分） 的分布列为： 数学期望．（15分） 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）（ii）存在， 【解析】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以，（2分） 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面；（4分） （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以，（6分） 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为；（10分） （ii）存在点满足题意，易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，（12分） 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去）， 即.（15分） 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 【答案】(1)；(2)（i） 不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析. 【解析】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，代入得， 又，解得：（4分） （2）设点， 设， 由得， 由，得 ，解得或， 又点，在轴下方，则， 由韦达定理得    得 ，即 ，（7分） 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值.（12分） （ii）证明： 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即，（15分） 当 时，得 ， 所以必过定点.（17分） 19．已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明在内存在唯一零点； (3)若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)3 【解析】（1）因为，所以， 又，所以曲线在处的切线方程为， 即（4分） （2）因为，所以， 当时，，所以在内单调递增， 又，所以在内有一个零点， 所以在内存在唯一零点.（9分） （3）当时，，所以不等式， 记，则，（12分） 由（2）知，存在使得，得 且当时，，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以，因为，所以， 又，所以，所以整数k的最大值为3.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][CD] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) P M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 5．从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 6．已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 7．设函数满足对任意的，都有，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 10．已知函数，则（    ） A．函数有两个极值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．曲线的对称中心为 11．如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．是双曲线的一部分 D．若越大，则曲线的开口越大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，，则______. 13．已知均为非负数，且，则的最小值为______. 14．甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 16．（15分） 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望．注：样本相关系数． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 19．（17分） 已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明在内存在唯一零点； (3)若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 5．从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 6．已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 7．设函数满足对任意的，都有，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 10．已知函数，则（    ） A．函数有两个极值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．曲线的对称中心为 11．如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．是双曲线的一部分 D．若越大，则曲线的开口越大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，，则______. 13．已知均为非负数，且，则的最小值为______. 14．甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 16．（15分） 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 19．（17分） 已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明在内存在唯一零点； (3)若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 集合B={1,3,4,5},则A⌒B的真子集个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知复数z满足z(-31)=3+4i,则三=() B.、913 C.34 1010 D. 知F(2.0)为双由线V=1的一个焦点，则该双曲线的离心率为 A.V6 B. 2W5 C.3 D.2 2 3 4.已知ā=(2,4)，b=(1,t),若(a+b)/(3ā-b),则实数t=() A.-2 B.月 C.1 D.2 5.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两 项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为() A.12 B.24 C.36 D.48 6.已知&，B都是锐角，sim(a+A)=3@ tana=2tanB,cos(a-B)=() 10 A.6 B.25 5 c.6 D.310 3 4 10 7.设函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),且f(1+2x)=f(1-2x),则() A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 1/6 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.f(x)在(0,2)上单调递增 D.f(x)在(0,2)上单调递减 8.己知A,B,C,D是球O的球面上四点，AB⊥AD,AB⊥BC,AB=2,AC=BD=CD=√I3.记球 O的体积为，四面体ABCD的体积为'2，则V:',的值为() A.4V5 B.25V5 C.80W5 D.32 一兀 27 9 27 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是() A.随机变量X服从二项分布B3, 2 ,Y=2X+1,则D()=3 B.数据x1,x2,x,,x的平均数为2，则3x+1,3x2+1,3x3+1,,3xn+1的平均数为6 C.在(x+1)”的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10. 服从正态分布N5,a,且P2<X<)=a,及 10.己知函数f(x)=(x-2)(x-5),则() A.函数f()有两个极值点 B.x=2是函数f(x)的极小值点 C。函数)的单调递减区间为2，) D.曲线y=f(x)的对称中心为(3，-2) 11.如图，圆锥的顶点为V,将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O'与圆锥侧面相切于圆O,平面B与 球O切于点F,A为圆O上一点，V,A,O,F四点共面，且VA//平面B,平面B截该圆锥所得截口曲线为「，M 为曲线T上一动点，记圆O所在平面为平面a,a⌒B=1,MN⊥1，垂足为N,M交圆O于点P,∠AVO=B, 则下列选项正确的有() A.PM-MF B.MN//VA C.Γ是双曲线的一部分 D.若Rtan0越大，则曲线T的开口越大 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且3S=8S,S4=26,则a,= 216 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.已知)均为非负数，且x叶21，则2+】 +1中的最小值为 14.甲、乙两人进行抛硬币比赛.两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出 “反面朝上”，则得0分.甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止：如果两人分数相 差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面 朝上”，则乙得分减1分.按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中b=6,asin B=2 bsin Acos B. (1)若a+c=12,求AC边上的高； (2)若12sinA=b+12sinC,求△ABC的周长. 16.(15分) 近年来某APP用户保持连续增长，若李明收集了2021~2025年的年份代码x(x=1,2,3,4,5)与该APP在线用户 数y(单位：万)的数据，具体如下表所示： 年份代码x 3 3 4 5 ApP在线用户数y(单位：万) 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数”（精确到小数点后两位）， 并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)从2021~2025年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据为X,求X的分布列 及数学期望E(X). ∑(x-x)(y-) 注：样本相关系数”= 1=1 公4到2-刃 316 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点， ◇ D C (I)求证：CM1/平面PAB; (2)若AB1AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： ()在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PA0的距离为1？若存在，求出器的值；若不存在， 请说明理由. 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分) 知髓圆C二+Q>b>0的离心车为直线x=1被椭图c所截得的线段的长 (1)求C的方程： (2)已知点B(0,V3),过点P(4,O)的直线I交C于E,F两点(E,F在x轴的下方)，直线BF交直线x=1于点M. ()设直线ME的斜率为k,直线MF的斜率为k2,判断k+k,是否为定值，并说明理由； (ii)证明：直线M过定点. 516 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分) 已知函数f(x)=e(x+1),g(x)=e-1. (1)求曲线y=f(x)在(0，f(O)处的切线方程； (2)证明：h(x)=g(x)-x-1在(0，+o)内存在唯一零点： (3)若对于任意的x>0,f(x)>g(x)恒成立，求整数k的最大值. 616 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D C D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．14 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，，（3分） 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为.（6分） （2）因为，，所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即，（9分） 所以，即为直角三角形， ，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）， ， ， ， （5分） 接近1，变量与高度线性相关．（7分） （2）表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种，（9分） 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故（13分） 的分布列为： 数学期望．（15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）（ii）存在， 【解析】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以，（2分） 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面；（4分） （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以，（6分） 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为；（10分） （ii）存在点满足题意，易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，（12分） 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去）， 即.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，代入得， 又，解得：（4分） （2）设点， 设， 由得， 由，得 ，解得或， 又点，在轴下方，则， 由韦达定理得    得 ，即 ，（7分） 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值.（12分） （ii）证明： 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即，（15分） 当 时，得 ， 所以必过定点.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，所以， 又，所以曲线在处的切线方程为， 即（4分） （2）因为，所以， 当时，，所以在内单调递增， 又，所以在内有一个零点， 所以在内存在唯一零点.（9分） （3）当时，，所以不等式， 记，则，（12分） 由（2）知，存在使得，得 且当时，，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以，因为，所以， 又，所以，所以整数k的最大值为3.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $