立体几何（角度问题）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

立体几何一一角度问题 立体几何一一角度问题 ..1 【知识梳理：异面直线所成角】.1 【题型演练】 1 【知识梳理：线面角】 .4 【题型演练】 …4 【知识梳理：二面角】 .7 【题型演练】 .8 立体几何一一角度问题 【知识梳理：异面直线所成角】 (1)定义和范围 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线ala,bl心， 把a1与b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. ②范围：(0，] (2)平移法： 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 来解决。 ①作：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在 特殊的位置上： ②证：证明作出的角即为所求的角： ③求：利用解三角形来求角 【注意】将异面直线平移成共面直线的方法：①利用图中已有的平行线进行平移；②利用 特殊点作平行线进行平移；③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移， 【题型演练】 1.在正方体ABCD-AB,CD中，O为BD的中点，则直线BC,与OD所成角的大小为(). A.30° B.45° C.609 D.90° 2.(多选)如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，() D A.直线AB与CD垂直 B.直线CD与EF平行 C.直线EF与GH异面 D.直线GH与AB成60°角 3.(多选)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E,F,G分别是棱AD,CC,CD的中点， 下列结论正确的是() A.EF⊥B,C B.直线G与直线AD所成角为 C.三棱锥B-BG的体积为。 D.过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 4.(多选)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正 确的是（) D A.平面PB,D⊥平面ACD 分 B.AP∥平面ACD C.异面直线AP与AD所成角的取值范围是(Q, D D.三棱锥D-APC的体积不变 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,GD中，点E,F,G分别是棱BC,CC,CD 的中点，点P为底面AB,CD上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题 中， D G ①BP∥平面EFG ②平面EFG∥平面BC,4 B ③所有点P在直线B,D上 D ④BP与DD所成的角为Q,则tam0的最小值是 2 2 正确命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 6.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC,点P在平面ABC上的投影为H,连接AH. D 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：AP⊥BC; (2)如图2，记∠PAB=0,∠BAH=日，直线AP与平面ABC所成角为日，，求证： cos0=cos日，cos日2，比较0与日，的大小并说明理由； (3)如图3，己知AB=5,AP=4,BC=6,M为平面ABC内一点，且M=√5.记异面直 线PM与BC所成角为a,求cosa的最大值. 3 【知识梳理：线面角】 (1)定义和范围 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角， ②范围：[0，] (2)射影转化法： 斜线 斜足 垂线 ①作：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足： ②找线在面外的一点P,过点P向平面α做垂线，确定垂足O; 年足 ③连接斜足A与垂足O为斜线AP在平面a上的投影： 射影 ④证：投影AO与斜线AP之间的夹角为线面角： ⑤求：把投影AO与斜线AP归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角 形) 【注意】以上第②步过面外一点向平面做垂线的方法有以下几种： ①线在面外的一点P与平面上某点的连线正垂直于平面α，无需再作辅助线： ②题中已知有与平面aα垂直的直线，过线在面外的一点P直接作此垂线的平行线： ③过线在面外的一点P作两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OP⊥面α（这 两个垂直平面一个是平面a,另一个是过点P且与平面垂直的平面) (3)等体积法： 在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而1必作出线面角， 则线面角θ满足sin0=上(I为斜线段长)，进而可求得线面角 【题型演练】 7.如图，AB是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且AP⊥PQ (1)求证：PQ⊥BQ: (2)若AB=4,AP=1,BQ=3,求直线PQ与平面ABQ所成角的正弦值： 4 8.如图，已知三棱台ABC-ABC中，平面ABB,A⊥平面BCCB,、ABC是以B为直角顶 点的等腰直角三角形，且AB=2A4=4,A4=AB=BB,· A C (1)证明：AB1⊥平面BB,CC: (2)若AB的中点为D,求直线DB,与平面ABC所成角的大小. 9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2 D A D B C (1)求证：平面PAC⊥平面PCD: (2)在线段PD上是否存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有 的 PD 值：若不存在，说明理由。 5 10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠ACB=90°，且AC=BC=PA=2,M 是PB的中点，则AM与平面PBC所成角的正弦值是· M 11.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱BC、CC的中点，P是侧面 BB,CC内一点，若AP/平面AEF,则线段AP长度的取值范围是一；AD与平面 ACD所成角的正切值为一· 6 【知识梳理：二面角】 ()二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二 面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角a-1-B或者是二面角A-CDB) (3)二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点O为端点，在两个半平面内分别做 垂直于棱的两条射线OA,OB,这两条射线所成的角∠A,OB就叫做该二面角的平面角： 范围：[0，可 (3)作二面角的平面角常有三种方法： ①棱上一点双垂线法：在棱1上任取一点O,过这点O在两个平面内分别引棱的垂线，这两 条射线所成的角，就是二面角的平面角： ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面a上一点A向另一面B引垂线，再由垂足B向棱1 作垂线OB得到棱上的点O(即斜足O),斜足O与面α上一点A的连线和斜足O与垂足B 连线所夹的角∠AOB,即为二面角的平面角.（利用了三垂线定理） ③空间一点垂面法：自空间一点O作与棱1垂直的平面，截二面角得两条射线OA,OB,这 两条射线所成的角∠AOB就是二面角的平面角 (④)定义法： 在棱上取点O,分别在两面内引两条射线OA,OB与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就 是二面角的平面角，如图在二面角α一1一β的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面 和B内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当 然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)， 【题型演练】 12.在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD为正三角形，底面ABCD为 矩形，M是PD的中点，且P3与平面ABCD所成角的正弦值为 4 (1)求证：AM⊥平面PCD: (2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值； (3)求平面ABM与平面PBC所成夹角的正弦值. 13.已知平面四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°，现将△ABD沿BD 边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,此时AD⊥CD,点P为线段AD的中点. (1)求证：BP⊥平面ACD: (2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值； (3)在(2)的条件下，求二面角P-BM-D的平面角的余弦值. 8 14.在三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AA=AB=AC,且D为BC的中点，D为B,C 的中点 C D A B B (1)若AB=AC,求证：AD⊥ABC; (2)若AB=AC=2,AA=4,求直线AB与平面BCCB,所成角的正弦值 (3)若BC=2√2，AA=4,求二面角A-BC-C1的正弦值的最大值， 15.如图，已知三棱台ABC-AB,C1,底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，体 积为4V 3 ,平面8A1平面ABC,且44=48-BB-4B, A A B (1)证明：BC⊥平面ABBA1; (2)求点B到面ACCA的距离： (3)在线段CG上是香存在点了，使得二面角F-AB-c的大小为石，若存在，求出CF的长， 若不存在，请说明理由. 10 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平 面ABCD,M是PD的中点. B (1)求证：PB∥平面MAC: (2)求二面角M-AC-D的余弦值： (3)在棱PC上是否存在点Q使平面BD2L平面MAC成立？如果存在，求出 Oc 的值；如果 不存在，请说明理由， 11 17.己知正三棱锥P-ABC,顶点为P,底面是三角形ABC. ⊙ π ()若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为8设质点严自A出发依次沿着三个侧面移动环 绕一周直至画到出发点A,求质点移动路程的最小值： (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形ABC内切圆为底面的圆锥的 体积 (3)若该锥体的体积为定值V,设O为点P在底面的投影，点O到AB的距离为x,OM⊥AB 于点M,连接得∠PMO=(0<8<90).求出当三棱锥的表面积S最小时，角B的余弦值 12 18.(多选)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，E,F分别是棱BC,AC1上的点.记直线EF 与AA所成角的大小为a,EF与平面ABC所成角的大小为B,二面角F-BC-A的大小为 ,则(). AF C B E A.+B=90° B.B≤Y C.当AA>AB时，B<45° D.当AA>AB时，a<Y 13 立体几何——角度问题 立体几何——角度问题 1 【知识梳理：异面直线所成角】 1 【题型演练】 1 【知识梳理：线面角】 4 【题型演练】 4 【知识梳理：二面角】 7 【题型演练】 8 1 学科网（北京）股份有限公司 立体几何——角度问题 【知识梳理：异面直线所成角】 (1)定义和范围 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线a1//a,b1//b， 把a1与b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． ②范围：. (2) 平移法： 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. ①作：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证：证明作出的角即为所求的角； ③求：利用解三角形来求角. 【注意】将异面直线平移成共面直线的方法：①利用图中已有的平行线进行平移； ②利用特殊点作平行线进行平移； ③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移. 【题型演练】 1．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（    ） A．直线与垂直 B．直线与平行 C．直线与异面 D．直线与成角 3．（多选）已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（   ） A． B．直线与直线所成角为 C．三棱锥的体积为 D．过三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 4．（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 5．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在三棱锥中，，点在平面上的投影为，连接. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由； (3)如图3，已知，，，为平面内一点，且.记异面直线与所成角为，求的最大值. 【知识梳理：线面角】 (1)定义和范围 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： (2)射影转化法： ①作：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足； ②找线在面外的一点P，过点P向平面α做垂线，确定垂足O； ③连接斜足A与垂足O为斜线AP在平面α上的投影； ④证：投影AO与斜线AP之间的夹角为线面角； ⑤求：把投影AO与斜线AP归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）. 【注意】以上第②步过面外一点向平面做垂线的方法有以下几种： ①线在面外的一点P与平面上某点的连线正垂直于平面α，无需再作辅助线； ②题中已知有与平面α垂直的直线，过线在面外的一点P直接作此垂线的平行线； ③过线在面外的一点P作两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OP⊥面α（这两个垂直平面一个是平面α，另一个是过点P且与平面α垂直的平面）. (3)等体积法： 在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而l必作出线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角. 【题型演练】 7．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 8．如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面； (2)若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 9．如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形， (1)求证：平面平面PCD： (2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 10．如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．    11． 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【知识梳理：二面角】 (1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角A-CD-B） (3) 二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点O为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线OA, OB，这两条射线所成的角∠A,OB就叫做该二面角的平面角； 范围． (3)作二面角的平面角常有三种方法： ①棱上一点双垂线法：在棱l上任取一点O，过这点O在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面α上一点A向另一面β引垂线，再由垂足B向棱l作垂线OB得到棱上的点O（即斜足O），斜足O与面α上一点A的连线和斜足O与垂足B连线所夹的角∠AOB，即为二面角的平面角.（利用了三垂线定理） ③空间一点垂面法：自空间一点O作与棱l垂直的平面，截二面角得两条射线OA,OB，这两条射线所成的角∠AOB就是二面角的平面角. (4)定义法: 在棱上取点O，分别在两面内引两条射线OA,OB与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 【题型演练】 12．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 13．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 14．在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 15．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 16．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面MAC； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 17．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值: (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； (3)若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值. 18．（多选）如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（    ）． A． B． C．当时， D．当时， $ 立体几何——角度问题 立体几何——角度问题 1 【知识梳理：异面直线所成角】 1 【题型演练】 1 【知识梳理：线面角】 12 【题型演练】 12 【知识梳理：二面角】 23 【题型演练】 24 1 学科网（北京）股份有限公司 立体几何——角度问题 【知识梳理：异面直线所成角】 (1)定义和范围 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线a1//a,b1//b， 把a1与b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． ②范围：. (2) 平移法： 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. ①作：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证：证明作出的角即为所求的角； ③求：利用解三角形来求角. 【注意】将异面直线平移成共面直线的方法：①利用图中已有的平行线进行平移； ②利用特殊点作平行线进行平移； ③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移. 【题型演练】 1．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 2．（多选）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（    ） A．直线与垂直 B．直线与平行 C．直线与异面 D．直线与成角 【答案】BCD 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的概念及辨析 【分析】作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；利用图形可判断C选项. 【详解】作出正方体，如下图所示，连接. 对于A选项，因为且，则四边形为平行四边形， 故与所成的角为或其补角， 易知为等边三角形，则， 所以直线与的夹角为，A错； 对于B选项，由A可知，四边形为平行四边形，则，B对； 对于C选项，由图可知，平面，，平面， 所以直线与为异面直线，C对； 对于D选项，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，则，即直线与直线所成角为，D对. 故选：BCD. 3．（多选）已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（   ） A． B．直线与直线所成角为 C．三棱锥的体积为 D．过三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 【答案】AC 【知识点】求异面直线所成的角、判断正方体的截面形状、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】利用中位线的平行关系，利用正方体中的垂直关系，可判断AB，利用平行关系进行三棱锥体积变换，再计算体积，可判断C，利用延长线或作平行线来确定截面，可判断D. 【详解】对于A， 取的中点为，连接，由分别是棱的中点， 可得：，， 由正方体的性质可得：平面，， 所以可得：平面，， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对于B, 由分别是棱的中点，可得， 由正方体性质可得：， 所以就是直线与直线所成角或其补角， 由于是等边三角形，所以， 即直线与直线所成角为，故B错误； 对于C: 在上取点，使得，连接，易证． 则 ． 另解：如图，连接， 则 ． 故C正确． 对于D，截面是平面与几何体表面的交线围成的图形． 如上图所示，过三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形．故D错误． 故选：AC． 4．（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、证明面面垂直、证明线面平行 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断D． 【详解】正方体中由平面，平面，可得， 又，是平面内两相交直线，从而得平面， 平面，因此有， 同理，， ∴平面，又平面，∴平面平面，A正确； 正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面， ∴平面，同理平面，，都在平面内， ∴平面平面，平面，∴平面，B正确； 与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角为，C错误； 由 B选项，知平面，∴到平面的距离不变，因此三棱锥体积不变，D正确． 故选：ABD． 5．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、判断线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于①，根据直线BP与平面EFG无公共点进行判断，对于②，根据面面平行的判定定理结合正方体的性质分析判断，对于③，结合①②分析判断，对于④， 【详解】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确， 对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点， 所以∥，∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面平面，所以②正确， 对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面， 因为平面平面，点P为底面上任意一点， 所以所有点P在上，所以③错误， 对于④，因为∥，所以为BP与所成的角， 因为平面，平面，所以， 所以， 由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为， 所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确. 故选：C 6．在三棱锥中，，点在平面上的投影为，连接. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由； (3)如图3，已知，，，为平面内一点，且.记异面直线与所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析； (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）取BC中点为点D，连接AD、PD，利用证明平面PAD，进而证明线线垂直； （2）作于点E，由三垂线定理知，分别在、、中求出、、，即可证明等式，再根据余弦函数的单调性与有界性可判断的大小关系； （3）利用三角形全等证明点H在线段AD上且为AD的中点，勾股定理求出各线段的长度，设与的夹角为，由可将转化为，根据余弦函数的值域可求得的最大值. 【详解】（1）取BC中点为点D，连接AD、PD， 因为，所以， 因为，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD，又平面PAD，所以. （2）作于点E，连接PE， 由题意知平面ABC，则， 由三垂线定理知，在中，， 在中，，在中，， ，等式成立. 因为，所以， 又且在上单调递减，所以. （3）因为平面ABC，所以， 易知，则，又， 所以，则， 所以点H在直线AD上， 在，，同理， 是等边三角形，因为， 所以H是AD的中点，则，，， 因为为平面内一点，且，所以M点的轨迹是以H为圆心、为半径的圆， 设与的夹角为，， 因为， 所以， 当时，取得最大值. 【知识梳理：线面角】 (1)定义和范围 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： (2)射影转化法： ①作：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足； ②找线在面外的一点P，过点P向平面α做垂线，确定垂足O； ③连接斜足A与垂足O为斜线AP在平面α上的投影； ④证：投影AO与斜线AP之间的夹角为线面角； ⑤求：把投影AO与斜线AP归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）. 【注意】以上第②步过面外一点向平面做垂线的方法有以下几种： ①线在面外的一点P与平面上某点的连线正垂直于平面α，无需再作辅助线； ②题中已知有与平面α垂直的直线，过线在面外的一点P直接作此垂线的平行线； ③过线在面外的一点P作两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OP⊥面α（这两个垂直平面一个是平面α，另一个是过点P且与平面α垂直的平面）. (3)等体积法： 在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而l必作出线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角. 【题型演练】 7．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证（易证）和，只需证平面，根据题意容易证； （2）利用等体积法求得点P到平面的距离，设直线与平面所成的角为，则根据即可得到答案. 【详解】（1）因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点, 所以 , 因为 、 平面 , 所以 平面 ，又因为 平面 , 所以 , 又因为 为半球面上一点, 所以 , 又因为 平面 所以 平面 , 又 平面 , 所以 ; （2）因为三角形 为直角三角形, 所以 , 又因为 平面 , 所以 ， 又因为三角形 也是直角三角形， 所以 , 所以， 设点 到平面 的距离为 , 则有 ，即 , 所以 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 8．如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面； (2)若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. （2）找出线面角的平面角，计算线面角的平面角的三角函数值，求出线面角大小. 【详解】（1） 在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2） 过作，垂足为，因为平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，得， 又因为，平面，所以平面， 可得为与平面所在角， 由等面积法可得， 即，解得， 由于点是直角三角形斜边的中点，所以， 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 9．如图，四棱锥中，平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形， (1)求证：平面平面PCD： (2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析； 【知识点】由线面角的大小求值、证明面面垂直、已知线面角求其他量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，再利用锐角三角函数及余弦定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解； 方法二.根据已知条件及线面角的定义及线面垂直的性质定理，建立空间直线坐标系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直和面面垂直的判定定理即可求解； （2）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及锐角三角函数即可求解. 方法二.设，可得，求出直线CE的方向向量和平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】（1）方法一. 由，得， 因为平面，是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 在中，,解得， 因为所以 在中，, 因为所以 在中，由余弦定理得，即. 由，得， 因为平面，平面,所以, 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 方法二.由，得， 因为平面，是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 在中，,解得， 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，， ，， ， ，， 所以，， 所以，，即， 又，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）存在，理由如下， 方法一.取的中点，连接，如图所示， 因为，所以， 因为所以,所以四边形为矩形， 所以, 因为平面，平面,所以, 又，平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角，即， 由（1）知，,且是的中点， 所以.在中，， 因为平面，平面,所以, 在中，， 由,得，在中，, 取的中点为，连接,又, 所以,在中，, 所以，解得,所以, 所以,,所以. 所以线段上存在点，使CE与平面PAD所成的角为，此时. 方法二.由（1）知，，，，，， 设， 所以，， 因为平面，平面，所以，又， 且，所以平面， 所以是平面PAB的一个法向量， 所以， 解得，或， 当时，点与重合，不符合题意，舍去， 所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且. 10．如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．    【答案】/ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可. 【详解】如图，取中点，连接， 因为面，面， 所以， 又因为， 所以， 因为面，面， 所以， 又因为，所以， 因为面，， 所以面， 因为面， 所以， 因为面， 所以面， 所以是与平面所成角， 因为，， 所以, 由已证知，面，因为面， 所以， 所以， 因为面，面， 所以， 所以， 所以， 由已证知，面， 又因为面，所以 所以， 即与平面所成角的正弦值是.    故答案为： 11．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【答案】 / 【知识点】求线面角、判断面面平行 【分析】分别取的中点，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断点在或处时最长，位于线段中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，利用线面角的定义可求出与平面所成角的正切值. 【详解】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 因为，所以由可得， 所以，所以. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题. 【知识梳理：二面角】 (1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角A-CD-B） (3) 二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点O为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线OA, OB，这两条射线所成的角∠A,OB就叫做该二面角的平面角； 范围． (3)作二面角的平面角常有三种方法： ①棱上一点双垂线法：在棱l上任取一点O，过这点O在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面α上一点A向另一面β引垂线，再由垂足B向棱l作垂线OB得到棱上的点O（即斜足O），斜足O与面α上一点A的连线和斜足O与垂足B连线所夹的角∠AOB，即为二面角的平面角.（利用了三垂线定理） ③空间一点垂面法：自空间一点O作与棱l垂直的平面，截二面角得两条射线OA,OB，这两条射线所成的角∠AOB就是二面角的平面角. (4)定义法: 在棱上取点O，分别在两面内引两条射线OA,OB与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 【题型演练】 12．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析． (2)； (3)． 【知识点】已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）法一：取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得的长，然后线线角的空间向量法求解；法二：找出在平面的投影，即可结合与平面所成角的正弦值计算得到与长度关系，再借助等角定理找到与相交且与平行的直线，最后利用余弦定理的推论计算即可得； （3）法一：由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值；法二：先找到平面与平面交线，再作出相应二面角的平面角，再通过计算得到该平面角的正弦值即可得解． 【详解】（1）底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； （2）法一：取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 法二：取中点，连接，，连接，取中点，连接、， 由为正三角形，则， 由侧面底面，侧面底面，平面， 故平面，则在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成角， 则有，则， 则，， 则四边形为正方形，故， 连接，取中点，连接、， 由是的中点，则，且， 故直线与直线所成角与直线与直线所成角相等， 则， 故直线与直线所成角的余弦值为； （3）法一：由（2）知，设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为， 则，从而． 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 法二：取中点，中点，连接、、， 过点作于点，过点作于点， 由、分别为、中点，则，， 由四边形为正方形，故且， 故，故平面与平面为同一平面， 则平面与平面所成夹角即为或其补角， 又，故，由为中点，故， 故四边形为矩形，则， 则，故，则， ， 则， 故，则， ， 故， 则， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 13．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【知识点】证明线面垂直、余弦定理解三角形、求二面角、求线面角 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【详解】（1）   ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． （2）过点作，垂足为．如图所示    由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． （3）    取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 14．在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    15．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离、求点面距离 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【详解】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 16．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：平面MAC； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明面面垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 17．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． (1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值: (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； (3)若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、棱锥的展开图 【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解； （2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解； （3）利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值， 由题意可得：，所以，， 由余弦定理得， 则， 所以质点移动路程的最小值为. （2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为,圆锥的母线为， 则，解得：， ，所以， ， 所以圆锥的侧面积为， 圆锥的体积为. （3）依题意得，为点在底面的投影，点到的距离为，于点， 则，连接，则， 所以，， 因为是等边三角形，所以，， 因为，所以 ， 侧面积为， 所以三棱锥的表面积， 因为，所以， 所以棱锥的体积， 所以， 所以 ， 令，则，又，所以 所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 取得最小值，取得最小值，此时， 所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小. 18．（多选）如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（    ）． A． B． C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角、求线面角 【分析】利用正三棱柱的性质，把空间角转化为平面角，再结合直角三角形的正切函数，把角的大小转化为边的大小比较，从而可判断各选项. 【详解】 过作于点，过点作于点，连接， 由正三棱柱的性质可知：就是直线与所成的角，所以， 由正三棱柱的性质可知：平面，所以就是与平面所成角， 则， 由正三棱柱的性质可知：， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，即就是二面角的一个平面角，则， 由图可知：，故A正确； 因为，而 所以有，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故B正确； 因为，而，， 所以，又因为是锐角，所以，故C错误； 因为， 又， 所以，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故D正确； 故选：ABD． $立体几何一一角度问题 立体几何一一角度问题 ..1 【知识梳理：异面直线所成角】.1 【题型演练】 1 【知识梳理：线面角】 12 【题型演练】 12 【知识梳理：二面角】 23 【题型演练】 24 1 立体几何一一角度问题 【知识梳理：异面直线所成角】 (1)定义和范围 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线al/a,blb, 把a1与b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. ②范围：(0，] (2)平移法： 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 来解决。 ①作：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在 特殊的位置上： ②证：证明作出的角即为所求的角： ③求：利用解三角形来求角 【注意】将异面直线平移成共面直线的方法：①利用图中已有的平行线进行平移；②利用 特殊点作平行线进行平移：③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移， 【题型演练】 1.在正方体ABCD-ABCD中，O为BD的中点，则直线BC与OD,所成角的大小为(). A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得∠ADO就是直线BC,与OD所成的角或其补 角，通过计算即可求解 【详解】 D A B 由正方体的性质可知：BC1/1AD, 所以∠ADO就是直线BC,与OD所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：AC⊥平面BDDB,ODC平面BDDB, 所以AC⊥OD, 假设正方体的棱长为1，则A0=540=2 √2 所以有sin∠AD,0= AO 21 AD,√22 因为∠ADO为锐角，所以∠ADO=30°， 故选：A. 2.(多选)如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（) 0 A.直线AB与CD垂直 B.直线CD与EF平行 C.直线EF与GH异面 D.直线GH与AB成60°角 【答案】BCD 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线的概念及辨析 【分析】作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质 可判断B选项；利用图形可判断C选项 【详解】作出正方体，如下图所示，连接AF. D(H) B(E) 对于A选项，因为BDIICF且BD=CF,则四边形BDCF为平行四边形， 故AB与CD所成的角为∠ABF或其补角， 易知△ABF为等边三角形，则∠ABF=60°， 所以直线AB与CD的夹角为60°，A错： 对于B选项，由A可知，四边形CDEF为平行四边形，则CDIEF,B对： 对于C选项，由图可知，GH⌒平面EGF=G,GEF,EFC平面EGF, 所以直线EF与GH为异面直线，C对； 对于D选项，因为AH/GF且AH=GP,故四边形AFGH为平行四边形， 所以GH/1AF,所以GH与AB所成的角为∠BAF或其补角， 因为△ABF为等边三角形，则∠BAF=60°，即直线GH与直线AB所成角为60，D对. 故选：BCD 3.(多选)已知正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，E,F,G分别是棱AD,CC,CD的中点， 下列结论正确的是() A.EF⊥BC B.直线FG与直线AD所成角为 C.三棱锥B-EFG的体积为 6 D.过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 【答案】AC 【知识点】求异面直线所成的角、判断正方体的截面形状、线面垂直证明线线垂直、锥体体 积的有关计算 【分析】利用中位线的平行关系，利用正方体中的垂直关系，可判断AB,利用平行关系进 行三棱锥体积变换，再计算体积，可判断C,利用延长线或作平行线来确定截面，可判断 D 【详解】对于A, 3 D B A D E. 取BC的中点为M,连接BM,MF,BC,由E,F分别是棱AD,CC的中点， 可得：ME/ICD,MFI/BC, 由正方体的性质可得：CD⊥平面BCCB,B,C⊥BC, 所以可得：ME⊥平面BCCB,B,C⊥M, 又因为B,Cc平面BCCB,所以MB⊥BC, 又因为MEMF=M,ME,MFc平面MBF, 所以B,C⊥平面MEF,又因为EFC平面MEF,所以EF⊥BC,故A正确： 对于B, D G A D B 由F,G分别是棱CC,CD的中点，可得FG/CD, 由正方体性质可得：A,D/1CB, 所以∠B,CD就是直线FG与直线AD所成角或其补角， 由于△B,CD是等边三角形，所以∠BCD= 3 即直线心与直线4D所成角为行，故B错误； 对于c: D G 在8S上取点H,使得CH=),连接GH,易证GH/BB. 则Va-BO=V。-BER=VH-BBr=VE-BH -212x小2 221 6 另解：如图，连接BH, D G R ::>H E- 则Vg-g阳=Va-BBH-Vr-g时 32*3 故C正确 对于D,截面是平面与几何体表面的交线围成的图形 D G D G A B M M B 如上图所示，过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形.故D错误. 故选：AC 4.(多选)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正 确的是() 5 D B D B A.平面PB,D⊥平面ACD B.AP∥平面ACD C.异面直线4P与AD,所成角的取值范围是(0， D.三棱锥D-APC的体积不变 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、证明面面垂直、证明线面平行 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A,由面面平行的性质定理可判断B,由线面垂直的 性质定理可判断C,由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断D, 【详解】正方体中由DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,可得DD⊥AC, 又AC⊥BD,DD,BD是平面BDDB,内两相交直线，从而得AC⊥平面BDDB, BDC平面BDDB,因此有AC⊥B,D, 同理AD⊥BD,ACúAD=A, .BD⊥平面ACD,又BDC平面PBD,∴.平面PBD⊥平面ACD,A正确； D B 正方体中AB与CD平行且相等，则ABC,D,是平行四边形，AD/IBC,AD,C平面ABC, BCc平面ABC, 6 .AD/平面ABC,同理AC/平面ABC1,AD,∩AC=A,AD,AC都在平面AD,C内， 平面ADC∥平面ABC,APC平面ABC,∴.AP∥平面ACD,B正确： D C A 与A选项同理可证AD⊥平面AB,CD,当P是BC,与BC交点时，APC平面ABCD, A1AP,异面直线4P与AD所成角为受，C错误： B D 由B选项，知BCII平面ACD,∴.P到平面ACD,的距离不变，因此三棱锥P-ACD,体积 不变，D正确. D B 故选：ABD 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，点E,F,G分别是棱BC,CC,C,D 的中点，点P为底面AB,C,D上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题 中， ①BP∥平面EFG ②平面EFG∥平面BC,A > ③所有点P在直线BD上 ④BP与DD,所成的角为o,则tam8的最小值是 2 正确命题的个数是() D A D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】c 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、判断线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于①，根据直线BP与平面EFG无公共点进行判断，对于②，根据面面平行的 判定定理结合正方体的性质分析判断，对于③，结合①②分析判断，对于④， 【详解】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以BP∥平面EFG,所以①正确， 对于②，连接CD,因为点E,F,G分别是棱BC,CC,CD的中点， 所以EF∥BC,FG∥CD, 因为CD∥AB,所以FG∥AB, 因为EF,FGa平面BC,A,AB,BC1C平面BCA, 所以FG∥平面BCA,EF∥平面BC,A, 因为EFFG=F,EF,FGc平面EFG, 所以平面EFG∥平面BCA,所以②正确， A 对于③，由①②知EFG∥平面BCA,BP∥平面EFG,所以BPC平面BC,A, 因为平面BCA∩平面AB,CD=AC,点P为底面AB,CD上任意点， 8 所以所有点P在AC1上，所以③错误， 对于④，因为DD∥BB,所以∠BBP为BP与DD所成的角， 因为BB⊥平面AB,CD,BPC平面AB,CD,所以BB⊥BP, 所以an∠B,BP=BP-BP BB 2 由③可知点P在AC上，所以当P为AC的中点时，BP最小为√2， 所以mn∠BBP的最小值为5，即tam9的最小值是，所以④正确， 故选：C 6.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC,点P在平面ABC上的投影为H,连接AH. 图1 图2 图3 (1)如图1，证明：AP⊥BC: (2)如图2，记∠PAB=日，∠BAH=日，直线AP与平面ABC所成角为O,,求证： cos0=cos0cos62,比较0与82的大小并说明理由： (3)如图3，已知AB=5,AP=4,BC=6,M为平面ABC内一点，且M=√5.记异面直 线PM与BC所成角为a,求cosu的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析；0>6， 9 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】(1)取BC中点为点D,连接AD、PD,利用BC⊥AD、BC⊥PD证明BC⊥平面 PAD,进而证明线线垂直； (2)作HE⊥AB于点E,由三垂线定理知PE⊥AB,分别在Rt△PAH、Rt△AEH、Rt△PEA 中求出c0s9,、cos0、cos0,即可证明等式cos日·cos6,=cos0,再根据余弦函数的单调性 与有界性可判断8，日的大小关系： (3)利用三角形全等证明点H在线段AD上且为AD的中点，勾股定理求出各线段的长度， PM·BC 设HM与BC的夹角为O,由PMBC=M.BC可将cosx PM·BC 转化为 5 lcosel, 根据余弦函数的值域可求得cosa的最大值. 【详解】(1)取BC中点为点D,连接AD、PD, D 因为AB=AC=PB=PC,所以BC⊥AD,BC⊥PD, 因为ADúPD=D,AD,PDC平面PAD,BC丈平面PAD, 所以BC⊥平面PAD,又APC平面PAD,所以AP⊥BC. (2)作HE⊥AB于点E,连接PE, 由题意知PH⊥平面ABC,则∠PAH=O, 由三垂线定理知PELAB,在aPAH中，cosA=1 PA 在a1B中，co-H,在APZA中，cos0- AH PA cosc0s月，=AB.AH4 AH PA PA =cos8,等式成立. 因为0<cos8<1,所以cos0=cos61cos62<cos02, 又0，ac0到且y=osr在(0写上单调递减，所以0>4. 10 (3)因为PHL平面ABC,所以∠PC-∠PB-号 易知APHC=APHB,则HC=HB,又BD=DC, 所以△BD=AHCD,则HD⊥BC, 所以点H在直线AD上， 在Rt△ABD,AD=√AB2-BD2=4,同理PD=4, △PAD是等边三角形，因为PH⊥AD, 所以H是AD的中点，则AH=2,PH=VPA?-AH?=2√5，PM=V15, D 因为M为平面ABC内一点，且HM=√阝<HD,所以M点的轨迹是以H为圆心、√为半 径的圆， 设M与BC的夹角为0,8e[0,2), 因为PM.BC=(P五+HM0·BC=PF.BC+M.BC=HM.BC, PM.BC HM.BC √3x6cos0 所以cos a PMBC PM BC V15x6 当cos=1时， cos取得最大值y5 11 【知识梳理：线面角】 (1)定义和范围 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角， ②范围：[0，] (2)射影转化法： 斜线 斜足 垂线 ①作：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足： ②找线在面外的一点P,过点P向平面α做垂线，确定垂足O; 年足 ③连接斜足A与垂足O为斜线AP在平面a上的投影： 射影 ④证：投影AO与斜线AP之间的夹角为线面角： ⑤求：把投影AO与斜线AP归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角 形) 【注意】以上第②步过面外一点向平面做垂线的方法有以下几种： ①线在面外的一点P与平面上某点的连线正垂直于平面α，无需再作辅助线： ②题中已知有与平面aα垂直的直线，过线在面外的一点P直接作此垂线的平行线： ③过线在面外的一点P作两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OP⊥面α（这 两个垂直平面一个是平面a,另一个是过点P且与平面垂直的平面) (3)等体积法： 在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而1必作出线面角， 则线面角θ满足sin0=上(I为斜线段长)，进而可求得线面角 【题型演练】 7.如图，AB是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且AP⊥PQ 0 P (1)求证：PQ⊥BQ: (2)若AB=4,AP=1,BQ=3,求直线PQ与平面ABQ所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析； R今 7 12 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】(1)要证PQ⊥BQ,只需证BQ⊥平面PAQ,只需证BQ⊥AQ(易证)和B2⊥AP, 只需证APL平面PBQ,根据题意容易证： (2)利用等体积法求得点P到平面ABQ的距离h,设直线PQ与平面ABQ所成的角为O, 则根据sn0=么即可得到答案 PO 【详解】(1)因为AB为半球O的直径，P为半球底面圆周上一点， 所以AP⊥BP, 因为AP⊥PO,PO∩BP=P,PO、BPC平面PBO, 所以APL平面PBQ,又因为BQC平面PBQ, 所以AP⊥BQ, 又因为Q为半球面上一点， 所以AQ⊥BQ, 又因为AO∩AP=A,AO,APc平面QAP 所以BQ⊥平面QAP,又P2c平面QAP, 所以B2⊥PO; (2)因为三角形ABP为直角三角形，AB=4,AP=1 所以BP=√AB2-AP2=√15， 又因为BQ=3,BQ⊥平面QAP, 所以PQ=VBP2-Pg2=V6, 又因为三角形QAB也是直角三角形， 所以QA=√AB2-BQ-V万， 所以s=34P01x6-5 8w0405×8- 2 2 设点P到平面QAB的距离为h, 则有ee=ew,即Soeh-owB0, 3 13 √6 ×3 √42 所以h= 3v7 7 2 √42 设直线PQ与平面ABQ所成的角为O,则 sine=h 7 PQ√67 8.如图，已知三棱台ABC-AB,C中，平面ABB,A⊥平面BCCB,、ABC是以B为直角顶 点的等腰直角三角形，且AB=2A4=4,A4=AB,=BB. A (1)证明：AB⊥平面BB,CC: (2)若AB的中点为D,求直线DB与平面ABC所成角的大小 【答案】(1)证明过程见解析 暗 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】(1)通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面 面垂直的性质定理，说明线面垂直， (2)找出线面角的平面角，计算线面角的平面角的三角函数值，求出线面角大小. 【详解】(1) B B 在三棱台ABC-ABC中，AB/1AB,AB=2AA=2AB=2BB=4, 在等腰梯形ABBA中，coS∠ABB,=2 AB-AB)_1 BB 22 14 由余弦定理得：AB=AB2+BB-2ABBB,cOs∠ABB,=4+Y-2×4×2x112, 则AB2=AB2+BB2,即AB⊥BB, 而平面ABB,A⊥平面BCCB,平面ABB,A∩平面BCCB,=BB,ABC平面ABBA, 所以AB⊥平面BCCB. (2) DH 过B,作BH⊥AB,垂足为H,因为AB⊥平面BCC,B, 又因为BCc平面BCCB,所以AB⊥BC, 又因为BA⊥BC,BA∩AB,=A,BA,ABC平面ABBA,所以BC⊥平面ABBA, B,HC平面ABB,A,得BC⊥BH, 又因为ABOBC=B,AB,BCC平面ABBA,所以B,H⊥平面ABC, 可得∠BDH为DB,与平面ABC所在角， 由等面积法可得ABBH=ABB,C, 21 即BH×4=x25x2,解得BH=√3， 由于点D是直角三角形AB,B斜边AB的中点，所以B,D=AB=2, 2 所以sin∠BDH=HB-V3 DB 2 因为∠BDH为锐角，所以∠B,DH= 3 所以DB,与平面4BC所成角为5 9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2 15 B (1)求证：平面PAC⊥平面PCD: (2)在线段PD上是否存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有 的 PD 值：若不存在，说明理由 【答案】(1)证明见解析 2存在，理由见解折：PD方 PE 1 【知识点】由线面角的大小求值、证明面面垂直、已知线面角求其他量、空间位置关系的向 量证明 【分析】(1)方法一.利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，再利用锐角三角函数及余 弦定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解； 方法二根据已知条件及线面角的定义及线面垂直的性质定理，建立空间直线坐标系，求出 相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直和面面垂直的判定定理即可求解； (2)方法一.利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及锐角 三角函数即可求解， 方法二.设PE=PD=(0,22,-),可得CE=（-1,21-1,1-),求出直线CE的方向向量和 平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】(1)方法一.由AD=2PA=2BC=2,得PA=BC=1,AD=2, 因为PA⊥平面ABCD,AB是PB在平面ABCD内的射影， 所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45/, 在AMBP中，an∠PB1=PA1-tan45,解得AB=L, ABAB 因为∠ABC=90,AB=BC=1,所以∠BAC=45, 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=√2， 因为∠BAD=90°，所以∠CAD=90°-∠BAC=45, 在△ACD中，由余弦定理得 16 CD=AD+AC-24DACC0545=2-2x22CD- 由AC2+CD2=AD2,得AC⊥CD, 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,所以CD⊥平面PAC, 又因为CDC平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC. 方法二.由AD=2PA=2BC=2,得PA=BC=1,AD=2, 因为PA⊥平面ABCD,AB是PB在平面ABCD内的射影， 所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45, 在△ABP中，an∠PBA=PA三1 AB AB =tan45,解得AB=1, 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系A-yz,如图所示， E D(0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,1),A(0,0,0), D B PC=(1,1,-1),AP=(0,0,1),CD=(-1,1,0), 所以CD.PC=-1+1=0,CD⊥PC, 所以CD.AP=0,CD⊥AP,即CD⊥AP,CD⊥PC, 又AP∩PC=P,AP,PCc平面PAC, 所以CD⊥平面PAC, 又因为CDc平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. (2)存在，理由如下， 方法一.取AD的中点M,连接CM,EM,如图所示， 17 A人 D B C 因为AD=2BC,所以AM=BC, 因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD/BC,所以四边形ABCM为矩形， 所以CM⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD,CMC平面ABCD,所以PA⊥CM, 又APOAD=A,AP,ADC平面PAD, 所以CML平面PAD,所以EM是CE在平面PAD内的射影， 所以∠CEM是CE与平面PAD所成的角，即∠CEM=45°， 由(1)知，AC⊥CD,且M是AD的中点， 所以CM=AD=1.在Rt△CME中，CE= CM 1 =√2， sin∠CEM sin45° 因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 在Rt△PAD中，PD=√PA+AD=√5， 由PD=CD+PC,得CD1PC,在RtAPDC中，cos∠CDP=CD-5MO PD 5 取DB的中点为Q,连接CQ,又CD=CE, 所以Ce⊥DB,在Rt△CQD中，cos∠CDO=DD' CD√2 ,部得D025所以0-D0:25 所以D架i0 5 1 所以BD=B0+DQ-45 5 PR=PD-ED=5 v峪 所以PE5.1. PE 1 所以线段PD上存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45°，此时 PD-5 方法二.由(1)知，B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),D(0,2,0),PD=(0,2,-1), 18 设PE=1PD=(0,22,-), 所以E=(0,22,1-),CE=（-1,21-1,1-2), 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PALAB,又AD⊥AB, 且PAOAD=A,所以AB⊥平面PAD, 所以AB=(1,0,0)是平面PAB的一个法向量， AB.CE 所以os(BC〉 1 2 ABCE V1+(2元-1)2+1-2)2 2, 解得天行或2=1， 当1=1时，E点与D重合，不符合题意，舍去， 所以当1=5时，CB与平面PAD所成的角为45，且g= PD 5 10.如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,∠ACB=90°，且AC=BC=PA=2,M 是PB的中点，则AM与平面PBC所成角的正弦值是 ò 【答案】5兮6 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】根据图形特征，取PC中点D,连接AD,DM,通过线面垂直的性质与判定得到AD⊥ 面PCB,因而∠AMD是AM与平面PBC所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其 正弦值即可. 【详解】如图，取PC中点D,连接AD,DM, 因为PA⊥面ABC,ACC面ABC, 所以PA⊥AC, 又因为AC=PA=2, 所以AD⊥PC, 因为PA⊥面ABC,BCC面ABC, 19 所以PA⊥BC, 又因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC, 因为PA,ACc面PAC,PA∩AC=A, 所以BC⊥面PAC, 因为ADC面PAC, 所以BC⊥AD, 因为PC,BCC面PCB,PCOBC=C 所以AD⊥面PCB, 所以∠AMD是AM与平面PBC所成角， 因为PA⊥AC,AC=PA=2, 两以0房=， 由已证知，BC⊥面PAC,因为ACc面PAC, 所以BC⊥AC, 所以AB=VAC2+BC2=2N2, 因为PA⊥面ABC,ABC面ABC, 所以PA⊥AB, 所以PB=√PA+AB2=V√4+8=2W3, 所以AM=1PB=5, 2 由已证知，AD⊥面PCB, 又因为DMC面PCB,所以AD⊥DM 所以sinm∠AMD=AD-V2_V6 AM√33 即AM与平面P8C所成角的正弦值是V6 ◇ M 20 故答案为： 3 11.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱BC、CC,的中点，P是侧面 BB,CC内一点，若APII平面AEF,则线段AP长度的取值范围是 ；AD与平面 ACD所成角的正切值为 【答案】 3W25 4’2 分5 2 【知识点】求线面角、判断面面平行 【分析】分别取BB,B,C的中点M,N,连接N,易证平面平面，由题意知点P必在线段MN 上，由此可判断点P在M或N处时AP最长，位于线段MN中点处最短，通过解直角三角 形即可求得线段AP长度的取值范围，利用线面角的定义可求出AD与平面ACD所成角的 正切值 【详解】分别取BB,BC的中点M,N,连接N,BC, 因为M,N,E,F分别为BB,B,C,BC,CC的中点， 所以MN∥BC,EF∥BC,所以MN∥EF, 因为MN丈平面AEF,EFC平面AEF,所以MN∥平面AEF, 因为AA∥E,AA=WE,所以四边形AEA为平行四边形， 所以AN∥AE, 因为AN文平面AEF,AEC平面AEF,所以AN∥平面AEF, 因为AN∩MN=N,AN,MNc平面AMN, 所以平面AMN∥平面AEF, 因为P是侧面BB,CC内一点，且AP/平面AEF, 所以点P必在线段MN上， 在Rt△AB,M中，AM=VAB2+B,M 21 在RtAAB,N中，AM=√AB+BN2 12+ 1)2 2 所以△AN为等腰三角形， 当点P为MN的中点O时，AP⊥MN,此时AP最短， 当点P在M或N处时AP最长， 因为MN 因为AO=√AMP-OM 2 所以线段AP长度的取值范围是 3W2V5 4’2 D C M A E B 设D到平面ACD的距离为h,AD与平面ACD所成角为O, 因为S4o= 2-所以由eh=名河得马。 3 所以 in0=-3 ,所以ama=V2 2 1 3 故答案为： 325 4’2 2 22 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平 行的判断和线面平行的关系得到点P必在线段N上，考查空间想象能力，属于较难题. 【知识梳理：二面角】 (1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二 面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角a-1-B或者是二面角A-CDB) (3)二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一点O为端点，在两个半平面内分别做 垂直于棱的两条射线OA,OB,这两条射线所成的角∠A,OB就叫做该二面角的平面角： 范围：[0，可 (3)作二面角的平面角常有三种方法： ①棱上一点双垂线法：在棱1上任取一点O,过这点O在两个平面内分别引棱的垂线，这两 条射线所成的角，就是二面角的平面角： ②面上一点三垂线法：自二面角的一个面α上一点A向另一面B引垂线，再由垂足B向棱1 作垂线OB得到棱上的点O(即斜足O),斜足O与面a上一点A的连线和斜足O与垂足B 连线所夹的角∠AOB,即为二面角的平面角.（利用了三垂线定理） ③空间一点垂面法：自空间一点O作与棱1垂直的平面，截二面角得两条射线OA,OB,这 两条射线所成的角∠AOB就是二面角的平面角 (4定义法： 在棱上取点O,分别在两面内引两条射线OA,OB与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就 是二面角的平面角，如图在二面角α一1-β的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面 和B内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当 然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可). 23 【题型演练】 12.在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD为正三角形，底面ABCD为 矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为 4 (1)求证：AM⊥平面PCD: (2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值； (3)求平面ABM与平面PBC所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析. 6 3)36 7 【知识点】己知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、异面直线夹角 的向量求法 【分析】(1)由面面垂直的性质定理得CDL平面PAD,从而得CD⊥AM,然后由线面垂 直的判定定理证明线面垂直： (2)法一：取AD中点O,证明PO⊥平面ABCD,以O为原点，过O平行于AB的直线为 x轴，OD,OP为y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得AB 的长，然后线线角的空间向量法求解；法二：找出PB在平面ABCD的投影，即可结合PB与 平面ABCD所成角的正弦值计算得到AB与AD长度关系，再借助等角定理找到与AM相交 且与PB平行的直线，最后利用余弦定理的推论计算即可得： (3)法一：由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值：法二：先找到平面ABM与 平面PBC交线，再作出相应二面角的平面角，再通过计算得到该平面角的正弦值即可得解， 【详解】(1)底面ABCD为矩形，则CD⊥AD, 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PADO底面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,而AMC平面PAD,所以CD⊥AM, 又侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD, 24 又PDOCD=D,PD,CDC平面PCD, 所以AM⊥平面PCD; (2)法一：取AD中点O,连接PO,则PO⊥AD, 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PADO底面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD, 以O为原点，过O平行于AB的直线为x轴，OD,OP为y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB=4,AD=2,a>0,则B(a,-1,0),P(0,0,√3)，A(0,-1,0),D(0,1,0), 则w09. BP=(-a,1,V5),平面ABCD的一个法向量是i=(0,0,1), 因为PB与平面ABCD所成角的正弦值为 4 所以cos(Bp,= BP.i 13平，解得a=2(负值合去。 3-6 -@9顾：31， 33 0+二+ cos(AM,BP)= AM.BP 22 6 AM BP √3x√⑧ 4 所以直线AM与直线PB所成角的余弦值为6 7 法二：取AD中点O,连接PO,BO,连接BD,取BD中点N,连接N、AN, 由△PAD为正三角形，则PO⊥AD, 由侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PADO底面ABCD=AD,POC平面PAD, 故POL平面ABCD,则PB在平面ABCD上的投影为OB, 故∠PBO即为直线PB与平面ABCD所成角， 25 则有sin∠PB0= PO PB 4 .则路名0者5D=D -62 BO-PB:-AO=AD,AB=1BO-AO-AD 则四边形ABCD为正方形，故AN=2AD. 2 连接BD,取BD中点N,连接MN、AN, 由M是PD的中点，则NI/PB,且N=}PB=5AD, 2 2 故直线AM与直线PB所成角与直线N与直线AM所成角相等， AM'+MN:-AN: 3AD+LAD-LAD 则cos∠AMN= 4 2 2AM.MN 2.3 AD. 4 -AD 2 2 故直线AM与直线B所成角的余弦值为Y⑤， 4: M O B (3)法一：由(2)知AB=(2,0,0),设平面ABM的一个法向量是m=(:,y,二)， J.4a=y,+2五=0 则 m·AB=2x1=0 取y=1,则x=0,与=-√5， 所以m=(0,1,-√3)为平面ABM的一个法向量， C(21,0),B(2,-1,0),Bp=(←2,1，V5),BC=(0,2,0), 设平面PBC的一个法向量是n=(x2,y,52), i.BP=-2x2+y2+3z2=0 则 i.BC=2y2=0 取x2=V3,则y2=0,二2=2， 26 所以=(W3,0,2)为平面PBC的一个法向量， cos(m,）= mi-25√21 m园2√万 > 设平面ABM与平面PBC所成夹角为O, 则cos6=V21 从而sin0=, 3_2W7 7 - 77 所以平面A8M与平面P8C所成夹角的正弦值为2y7 法二：取AB中点I,PC中点H,连接MH、HⅢ、BH, 过点A作AT⊥BH于点T,过点T作TS⊥BH于点s, 由M、H分别为PD、PC中点，则MH=CD=AD,MRIICD, 2 由四边形ABCD为正方形，故AB/CD且AB=CD=AD, 故AB/IMH,故平面ABM与平面ABHM为同一平面， 则平面ABM与平面PBC所成夹角即为∠ATS或其补角， 又CD⊥AM,故AB⊥AM,由I为AB中点，故AI=MH, 故四边形AIM为矩形，则BH=VH2+B2=】 圆s班子联，故BT-LAR--AD,则AT-N5 AB-N3 ip 2 2 2 HC-PDCD-AD 2 2 2 则s∠HnC-朗+sc3HC4D3+AD-AD 2 3 BT, 2BH.BC 2AD·AD 4 BS 版a7-号D,则45-as+s-aD号AD4c 3 N=an-40-40-点4D 41 6 AT2+TS2-AS2 3AD2+ AD:_13 7 D 故C0S∠ATS= 4 6 9 21 2AT.TS 2.6 40. 73 AD 2 6 则sin∠ATS 2w5 即平面A84与平面PBC所成夹角的正弦值为2y 27 M H B S 13.已知平面四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°，现将△ABD沿BD 边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,此时AD⊥CD,点P为线段AD的中点 (1)求证：BP⊥平面ACD: (2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值： (3)在(2)的条件下，求二面角P-BM-D的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析： (23g 26 【知识点】证明线面垂直、余弦定理解三角形、求二面角、求线面角 【分析】(1)由等边三角形得到BP⊥AD,取BD中点E,AE⊥BD结合平面ABD⊥平面 BCD得AE⊥平面BCD,从而AE⊥CD,进而CD⊥平面ABD,再得到CD⊥BP,BP⊥平 面ACD: (2)过点M作MH⊥PC,垂足为H,则∠MPC为MP与平面BPC所成角，从而通过解三 角形可得： (3)取ED的中点为O,连接PO,过点P作PG⊥BM,垂足为G,连接OG,则∠PGO为 二面角P-BM-D的平面角，由此通过解三角形可得. 【详解】(1) 28 :AB=AD,∠BAD=60°，△ABD为等边三角形， P为AD的中点，BP⊥AD, 取BD中点E,连接AE,则AE⊥BD, :平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AEC平面ABD, AE⊥平面BCD,又CDC平面BCD,AE⊥CD. 又：CD⊥AD,AD∩AE=A,AD、AEC平面ABD,.CD⊥平面ABD. BPC平面ABD,.CD⊥BP 又：CD∩AD=D,CD、ADC平面ACD, .BP⊥平面ACD. (2)过点M作MH⊥PC,垂足为H,如图所示 由(1)知，BP⊥平面ACD,MHc平面ACD,∴BP⊥MH, 又BP∩PC=P,BP,PCC平面BPC,.MH⊥平面BPC, ·.∠MPC为MP与平面BPC所成角， 由(1)知，CD⊥平面ABD,BDC平面ABD,.CD⊥BD. BD 2 CD= 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BD=2,. tan∠BCD√3 =25 'M为CD的中点，·MD=CM=CD=5. 在RtPDM中，PD=号AD=1,pM-PD+MD-F+(-2, 在RtPDC中，PC=VPD2+CD=P+(2B=3, 29 在△CPM中，由余弦定理得cos∠MrC-PC+PM-CM (3+22-(（3) 2PC.PM 13 2×13×2 26 √39 26 :D与平面BPC所成角的正弦值为Y39 26 (3) 取ED的中点为O,连接PO, 为线段AD的中点，P01a迟，P0AB=VaB-F-x2F- 由(1)知，AE⊥平面BCD,.PO⊥平面BCD. 又BMC平面BCD,所以PO⊥BM. 过点P作PG⊥BM,垂足为G,连接OG. PO∩PG=P,PO,PGC平面POG,∴BM⊥平面POG. 又：OGc平面POG,.BM⊥OG, ∴.∠PGO为二面角P-BM-D的平面角. 在RtABDM中，BM=VBD2+DM=V2+(N5=V万， 由(1)知，△ABD为等边三角形，P为AD的中点，BP=√AB2-AP2=√22-1P=√5 由(1)知，BP⊥平面ACD. 又PMc平面ACD,所以BP⊥PM. 在△aPu中，Sag8PN-8MPG 由(2)知，M-2,即分V5x27xG,解得PG=2 7 PO⊥平面BCD,OGc平面BCD,.PO⊥OG. 30 在Rt△POG中，GO=VPG2-PO2 2/21 3W21 14 3W21 coS∠PGO= 0G14 3 PG 221 4 7 所以二面角P-BM-D的平面角的余弦值为 4 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股 定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 14.在三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AA=AB=AC,且D为BC的中点，D为B,C 的中点. B (1)若AB=AC,求证：AD⊥ABC: (2)若AB=AC=2,AA=4,求直线AB与平面BCC,B,所成角的正弦值 (3)若BC=2√2，AA=4,求二面角A-BC-C的正弦值的最大值 【答案】(1)证明见解析： R 8 B)返 4 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、求二面角、证明线面垂直 【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证 (2)由(1)的信息，利用定义法求出线面的正弦值. (3)由(1)(2)中信息，求出直角三角形ADD领边上的高，再作AE⊥平面BCCB,于E, 利用定义法求出二面角正弦值的最大值 【详解】（1)在三棱柱ABC-ABC中，连接DD,由D,D分别为BC,B,C中点， 得DDI1BB,I1AA,DD=BB,=AA,则四边形ADDA为平行四边形，AD//AD, 31 由∠BAC=90°，得AD=BD,由AB=AC,得AD⊥BC, 则AA=AB2=AD2+BD2=AD2+AD,于是AD1AD,由AB=AC, 得AD⊥BC,而ADúBC=D,AD,BCC平面ABC,则AD⊥平面ABC, 所以AD⊥平面A,BC A (2)由(1)知，BC⊥AD,BC⊥AD,AD,ADC平面ADD,A,所以BC⊥平面ADDA, 而BCC平面BCCB,则平面BCCB⊥平面ADDA, 在平面ADDA内过A作AO⊥DD于点O,平面BCC,B,∩平面ADDA=DD, 因此AO⊥平面BCC,B,连接BO,∠ABO是直线AB与平面BCC,B所成角， 由AB=AC=2,AA=4,得AD=AD=√2，AD=VA4-AD2=V14,DD=A4=4, 在RtADD中，AO=4D4D=万 DD=,,在Rta4OB中，sim∠4Bo=4CV万 AB 8 所以直线AB与平面BCCB所成角的正弦值为 8 (3)由(1)得AD⊥AD,又BC=2N2,AA=4, 则40=AD=5.4D=4,00=4=4,由2)得40- 2 过A作AE⊥平面BCCB,于E,连接DE,由BCC平面BCC,B,得AE⊥BC, 而AD⊥BC,AD∩AE=A,AD,AEC平面ADE,则BC⊥平面ADE, 又DEc平面ADE,则DE⊥BC,∠ADE是二面角A-BC-C的平面角， 7 显然4B≤A0,当且仅当E,0重合时取等号，im∠4DB=4gs40 2 2, ADAD 14 4 32 所以二面角4-BC-C的正弦值的最大值为2 15.如图，已知三棱台ABC-AB,C，,底面eABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，体 积为4 3 ,平面AB,A⊥平面ABC,且A4=AB=BB=AB. A B (1)证明：BC⊥平面ABBA1: (2)求点B到面ACCA的距离： 3)在线段CC上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为乙，若存在，求出CP的长， 6 若不存在，请说明理由.。 【答案】(1)证明见解析： 2)4v②7 7 3存在，CF=82 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离、求点面 距离 【分析】(1)利用面面垂直的性质推理即得。 (2)延长A4,BB,CC交于一点P,根据Y,-Bc=产ac-4s可求得V-ac, 8 利用等体积法 构造方程求解。 (3)根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设FB=√3，根据几何关系可 表示出DE,由二面角大小可构造方程求得t,进而得到结果. 33 【详解】(1)在三棱台ABC-AB,C中，平面ABB,A⊥平面ABC,AB⊥BC, 而平面ABB,A∩平面ABC=AB,BCC平面ABC, 所以BC⊥平面ABBA. (2)由棱台性质知：延长AA,BB,CC交于一点P, B B 由A么-4B,得Se4S4,点：到平面ABC的距离为到平面AG面离的2倍， 则y-ABc=8Y-44S， 于是V-ABc= =8145_165,由BC1平面ABB,4,得BC为点C到平面PAB TABC-APE=7X 33 的距离， 又AB,/AB,则A是PA的中点，PA=AA=AB,=PB,即△PAB,为正三角形，△PAB为 正三角形， 设AB=2x,则BC=PA=PB=AB=2x, 写c}9ey2:296 ，13、 ,解得x=2, 3 3 AB=BC=PA=PB=4,由PBC平面PAB,得BC⊥PB,AC=PC=4N2, Sm-方4x不2y-2=4W行，设点a到平面4cC4的距离为d, 由4=c,得ed=45d-165,解得：d-4 3 3 7 即点B到平面ACC4的距离为42」 7 (3)由BC⊥平面ABB,A,BCC平面ABC,得平面ABC⊥平面PAB,取AB中点N,连 接PN, 在正△PAB中，PN⊥AB,而平面ABC∩平面PAB=AB,则PN、平面ABC,而CNC平 34 面ABC, 则PN⊥CN,又PNc平面PNC,则平面PNC⊥平面ABC,作FE⊥CN于E, 平面PNC∩平面ABC=CN,则FE⊥平面ABC,FE//PN,而ABC平面ABC,则AB⊥FE, 作EDL AB于D,连接FD,DE∩FE=E,DE,FEC平面DEF,则AB⊥平面DEF, 而FDC平面DEF,于是AB⊥FD,∠FDE即二面角F-AB-C的平面角， A D B 设FE=√3t,由(2)知：PW=2V5,CN=-VBC2+BN2=2√5， 由E=CE 得CBV=V,w=2W5-5 由DBBC,得DB=BNBC=25-VE Cn 2W5 443, 若存在F使得二面角F-AB-C的大小为， 6 则an∠FDB=m是及区5，解得：号 6DE4-2t3 CF=JC+E=2=8 <CC1=25, 所以存在满足题意的点P,C7=&y 5 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问 题的求解：求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几 何关系构造关于FE长度的方程，从而求得结果 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平 面ABCD,M是PD的中点. 35 (1)求证：PB∥平面MAC: (2)求二面角M-AC-D的余弦值： (3)在棱PC上是否存在点Q使平面BD2L平面MAC成立？如果存在，求出 PO 的值；如果 不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 5 3)存在， P91 0c2 【知识点】证明面面垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】(1)根据线线平行证明线面平行： (2)根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； (3)假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】(1)设AC,BD交于点O,连接OM,则O为BD中点. B 在△PBD中，O,M分别为BD,PD中点，所以OM//PB 因为OMc平面MAC,PB丈平面MAC, 所以PB/平面MAC. (2)过点M作ME⊥AD,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接MF 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD 所以MB⊥平面ABCD. 36 因为ACC平面ABCD,所以ME⊥AC. 又EF⊥AC,MEOEF=E,MB,EFC平面MEF. 所以AC⊥平面MEF. 因为MFc平面MBF,所以AC⊥MF, 则∠MFE即为平面MAC与底面ABCD所成二面角的平面角. 设8=2，则即-35，B=5 故MF 4 所以cos∠ME=EF-5 MF 5 即二面角M-AC-D的余弦值为5 （3》有在点Q,当2是时，平面BD0L平面A4C 证明如下： 如图，取AD中点N,连接CN交BD于点G,连接GQ, D 因为△PAD是正三角形，所以PN·AD 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 所以PN平面ABCD GN ND 1 PO 因为cGBC20 ,所以OG∥PW,所以OGL平面ABCD. 因为ACC平面ABCD,所以QG⊥AC. 因为底面ABCD是正方形，所以AC L BD. 又QG∩BD=G,OG,BDc平面BDO,所以AC⊥平面BDO, 又ACc平面MAC,所以平面BD2⊥平面MAC, 所以楼C上点存在点，当光-号时、平面D0L平面AC 17.已知正三棱锥P-ABC,顶点为P,底面是三角形ABC. 37 B (1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为云， 18,设质点严自4出发依次沿者三个侧面移动环 绕一周直至画到出发点A,求质点移动路程的最小值： (2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形ABC内切圆为底面的圆锥的 体积： (3)若该锥体的体积为定值V,设O为点P在底面的投影，点O到AB的距离为x,OM⊥AB 于点M,连接得∠PMO=(0<0<90),求出当三棱锥的表面积S最小时，角θ的余弦值. 【答案】1)V6-2 2 (2)V6m 108 3)c0s6= 3 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、棱锥的展开图 【分析】(1)利用三棱锥的侧面展开图即可求解： (2)求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可 求解； (3)利用x表示V与S,进而可用V表示s,再利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】(1)如图沿侧棱PA将三棱锥的侧面展开如图，则AA即为质点移动路程的最小值， 由题意可得：APB=∠BPC=∠CP-S,所以∠APA-石，PA=P=1, 6 由余弦定理得AA=PA+AP-2PA×4 P COAPA=2-2×52-5, 2 则44=v6-V5 所以质点移动路程的最小值为√6-V迈 2 （2)设三棱锥的高为h,ABC内切圆的半径为r,外接圆半径为R,圆锥的母线为l, 则x1+1+)x灯=5xr,解得：r= 4 6 38 1 R 2sin60° 1=Vr2+ ⑨哥9 所以圆锥的侧面积为和l=兀× √33π 624 圆锥的体积为兮知力-x 566 6×3=108 (3)依题意得，O为点P在底面的投影，点O到AB的距离为x,OM⊥AB于点M, 则∠PMO=6(0°<6<90)，连接OA,则∠OAM=30°， 所以OA=2x,AB=2N3x, 1 因为4BC是等边三角形，所以CM=3x,SBc=号×2√3x:3x=3W3x, 2 因为Q MP =cos6,所以MD=OM=x cosθcos0 侧面积为3x×2x,x-33x 9 2 cos0cosθ 所以三校锥的表面积S=35r+35x-3:1+L） cos日 、cos 因为0 -=tan6,所以PO=OM tan8=x.tan0, OM 所以棱锥的体积y=√5x2.tan0=5xtam6, 3 所以x3= √3tan0 所以S=8w5+1》=815”+》 、cos √3tan cos e =27V3:1 1+1月 tan2 cose 1 令 cose =1,tan'o=sin'1-cos'0 =t2-1,又0°<0<90°，所以t>1 cos20 cos20 所以S=2750+)-27:0+27:=1j+4-14 t2-1 t-1 t-1 39 =27V3V2(2×2+4)=21652, 当且仅当t-1= 4 即t=3,cos6=二时等号成立， t-1 S取得最小值，s取得最小值，此时cos0= 3, 所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值cos日=二时其表面积最小 18.(多选)如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，E,F分别是棱BC,AC1上的点.记直线EF 与AA所成角的大小为a,EF与平面ABC所成角的大小为B,二面角F-BC-A的大小为 Y,则(). A A.&+B=90° B.B≤Y C.当A4>AB时，B<45° D.当A4>AB时，a<Y 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角、求二面角、求线面角 【分析】利用正三棱柱的性质，把空间角转化为平面角，再结合直角三角形的正切函数，把 角的大小转化为边的大小比较，从而可判断各选项 【详解】 40 过F作FP⊥AC于点P,过点P作PM LBC于点M,连接PE,MF,CF, 由正三棱柱的性质可知：∠PFE就是直线EF与AA所成的角，所以∠PFE=α， 由正三棱柱的性质可知：FP⊥平面ABC,所以∠PEF就是EF与平面ABC所成角， 则∠PEF=B, 由正三棱柱的性质可知：FP⊥BC, 又因为PMLBC,PM∩PF=P,PM,PFc平面PMF, 所以BC⊥平面PMF,又因为MFc平面PMF, 所以BC⊥MF,即∠PMF就是二面角F-BC-A的一个平面角，则∠PMF=y, 由图国知：∠PAE+∠PE=a+B=受放A止确： 2 因为PM≤PE,而tanB= PF E any=PM 所以有ta1B≤ta1y,结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得B≤y,故B正确： 因为tanB=PF PE,而PF=4>AB,PE≤AB, PF 所以tanB= 1,又因为B是锐角，所以A>牙，放C错误： PE 因为A4>AB, 又tana= 祭晋投1my品总“1 PF AAAA 所以tany>tana,结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得y>c,故D正确： 故选：ABD 41