第5章 图形的轴对称 问题解决策略：转化&本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

☆问题解决 要点提示 转化策略：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以 重要策略， 心O1固基础 知识点问题解决策略：转化 1.如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正 方形的三边为直径在正方形的内部作半圆， 则阴影部分的面积等于 A B D 一河 第1题图 第2题图 2.小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家.如 图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处， A,B两点到河岸的距离分别为AC和BD, 且AC=BD.若点A到河岸CD的中点的 距离为1000m,则小刚从A处到河里打水 再送去王奶奶家的最短距离是 m. 3.(2025巴中期末)如下图，网格中每个小正方 形的边长均为1个单位长度，点A,B,C均 在格点（网格线的交点）上（保留作图痕迹， 不写作法). (1)在图中作出与△ABC关于直线1成轴对 称的△A'B'C (2)在直线l上作一点P,使PA十PC最短， (3)以AB为边作与△ABC全等的三角形 (不包括△ABC),可作出 个 70 数学七年级BS版 策略：转化 「研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种 02提能力之 4.【问题呈现】如图①，某工厂计划在一条笔直 的道路上设立一个储物点，工作人员每天进 入工厂大门后，先到储物点取物品，再到车 间.你认为该储物点应建在什么地方，才能 使工作人员所走的路程最短？ 大门 车间 A。 ·B 四道路 图① 图② 【数学理解】如果把大门、车间和储物点都看 作一个点，把道路看作一条直线，那么就可 以把上述问题抽象成数学问题，如图② 【解决问题】(1)按下列要求作图（保留作图 痕迹，不写作法). ①如图③，直线1的两侧分别有A,B两点，在 直线l上确定一个点C,使AC十BC最短； ②请利用图④解决题干中的问题. A。 A B ·B 图③ 图④ 【能力迁移】(2)如图⑤，四边形EFGH是一 个长方形的台球桌，有黑、白两球分别位于 A,B两点.怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞 台边GH,反弹后再碰撞台边EF,最后击中 白球？请你认真思考，将黑球移动的路线作 在图上（保留作图痕迹，不写作法）. B。 图⑤ 本章小结 大单元思维导图之 一个平面图形沿一条直线折 等腰三角形的两个底角相等 叠后，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫作轴对称 等腰 等腰三角形“三线合一”：顶 图形，这条直线叫作对称轴 三角形 角平分线、底边上的高、底 边上的中线重合 两个平面图形沿一条直线折叠 后能够完全重合，称这两个图 垂直并且平分线段的直线叫 形成轴对称，这条直线叫作这 轴对称及其性 图形的轴对 单的 作这条线段的垂直平分线 两个图形的对称轴 线段垂直 线段垂直平分线上的，点到 平分线 这条线段两个端，点的距离 性质：在轴对称图形或两个成 称 相等 轴对称的图形中，对应，点所连 的线段被对称轴垂直平分，对 角平分线所在的直线是角的对称轴 应线段相等，对应角相等 角平 角平分线上的点到这个角 分线 的两边的距离相等 大单元考点训练 考点1轴对称现象 A(C) 1.(2025湖南)武术是我国传统的体育项目.下 C 列武术动作图形中，是轴对称图形的是 C 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在 文米大节 AB上，点G在BC上，△BDG与△FDG关 于直线DG对称，DF与BC交于点E.如果 B DF∥AC,那么∠B与∠BDG的数量关系是 2.(教材变式)如图所示的图形为轴 对称图形，该图形的对称轴的条 数为 ( ) 第2题图 A.2 B.4 C.6 D.8 考点2探索轴对称的性质 3.(2025晋城期末)在综合实践课上，同学们进 第4题图 第5题图 行折纸活动.折叠三角形纸片ABC,A',C 考点3等腰三角形的性质 分别是点A,C的对称点，折痕与BC边交于 5.跨生物学学科如图所示的是螳螂的简易 点D,连接AD.下列折纸示意图中，AD一 图，AB∥DE,△ABC是以B为顶点的等腰 定是△ABC的中线的是 三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则 ∠ACD的度数为 ( A.16° B.28° C.44° D.45 B(C') 6.(2025成都期中）如图，在△ABC中，AB= AC=1,∠BAC=30°，P,Q分别为边AB, 下册第五 章 AC上的两个动点，且在运 动过程中始终保持AP十 AQ=AB,连接BQ和CP. 当BQ+CP的值达到最小 第6题图 AP 时，AQ的值为 7.几何直观小明遇到一个问题： 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在 AB上，且BD=BC.试说明：∠ABC= 2∠ACD. C A D BAD BA DF 图① 图② 图③ 小明发现，除了直接用角度计算的方法外， 还可以用下面两种方法： 方法1：如图②，过点B作BE⊥CD,垂足 为E; 方法2：如图③，过点C作CF⊥AB,垂足 为F. 根据材料，从三种方法中任选一种方法，试 说明：∠ABC=2∠ACD, 考点4线段垂直平分线的性质及其应用 8.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,分别 交BC,AB于点D,E,连接CE,BF平分 ∠ABC,交CE于点F.若BE=AC,∠ACE =20°，则∠EFB的度数为 () A.56°B.58° C.60° D.63 B D 第8题图 第9题图 12 数学七年级BS版 9.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC于点 D,EF垂直平分AB于点F,交AC于点E, 连接BE,BE+CE=20,则AB的长为 考点5角平分线的性质及其应用 10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AC于点E,F是BC的中点，连 接AF.若AB=4,AC=6,DE=3,则 S△AFC= () B DF 第10题图 A.7.5B.12C.15D.30 11.(2025咸阳期末)如下图，在四边形ABCD 中，BC∥AD,E为CD的中点，连接AE, BE,并延长BE交AD的延长线于点F. (1)△BCE与△FDE全等吗？请说明 理由. (2)若AB=AD+BC. ①试说明：AE⊥BF; ②若∠C=90°，EF=5,DE=4,则点E到 AB的距离为4.解：(1)如图，BE即为所求 (2)两直线平行，同旁内角互补∠ABC35°两直 线平行，内错角相等 5.解：如图，点P即为所求. 6.C【解析】A.由角平分线的性质可知，AD=AE,BC =BE,所以AB=AE十BE=AD+BC,故A选项结 论正确；B.由A,B分别是∠NOP,∠MOP的平分线 上的点可知，∠AOE=∠AOD,∠BOE=∠BOC,所 以∠AOE+∠BOE=2×180°=90°，即∠AOB= 90°，故B选项结论正确；C.与∠CBO互余的角有 ∠BOC,∠BOE,∠OAD,∠OAE,共4个，故C选项 结论错误；：D.因为AD⊥MN,AB⊥OP,所以∠ADO =∠AEO=90°.因为∠AOD=∠AOE,OA=OA,所 以△OAD≌△OAE(AAS),所以OD=OE.同理可得 OC=OE,所以OC=OE=OD,所以O是CD的中点， 故D选项结论正确 7.4 8.7.5【解析】如图，过点D分别作DF⊥AB,DG⊥ AC,垂足是F,G. 因为AD是∠BAC的平分线，所以 DF=DG. 设DF=DG=h. 因为S△ABC=SAABD十S△ADC, 1 1 所以24=2AB·DF+2AC·DG, 所以5h+3h=48,解得h=6, 所以S△ABn=2 ×5×6=15. 因为BE是△ABD边AD上的中线， 1 所t以S△AE=SABE=2SaAm=7.5. 9.解：(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下： 在△ADF和△AEF中， (AD=AE, AF=AF, DF=EF, 所以△ADF≌△AEF(SSS), 所以∠DAF=∠EAF, 所以AP是∠BAC的平分线. (2)54【解析】(2)如图，过点P作PH⊥AC. 因为AP是∠BAC的平分线，PQ⊥AB, 所以PH=PQ=6. 因为SAABC=S△ABP十S△APC, 1 1 1 所以SaAe=2AB·PQ+2AC·PH=2X10X6 1 +2×8×6=54. 10.解：(1)1：1 (2)如图，过点D作DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F 因为AD是∠BAC的平分线，所以 DE=DE. B 因为AB=m,AC=n, 所以SAm·SAm=(分AB·DE):(号AC, DF）=m:n. (3)因为AD=DE, 所以S△ABD:S△mE=1:1. 因为S△BDE=6,所以S△BD=6. 因为AC=2,AB=4,AD平分∠BAC, 所以S△ABm:S△An=AB:AC=4:2=2:1, 1 所以SAMm=2SaMD=2X6=3, 所以S△ABC=S△ACD十SAABD=3+6=9. ☆问题解决策略：转化 1.8 2.2000【解析】如图，作点A关于CD的对称点A',连 接A'B与CD相交于点M,连接AM. 根据轴对称可知AM=A'M, A 所以AM+BM=A'M+BM. 因为两点之间线段最短， 所以A'M+BM的值最小，即 AM+BM的值最小， 所以小刚从A处到河里M处打水，再送去王奶奶家， 所走的路程最小， 根据作图并结合题意可知∠A'MC=∠BMD, ∠A'CM=∠BDM=90°，AC=BD=A'C, 所以△A'CM≌△BDM(AAS), 所以A'M=BM,CM=DM, 所以M为CD的中点. 因为点A到河岸CD的中点的距离为1000m, 所以AM=1000m, 所以AM=A'M=BM=1000m, 所以A'B=1000+1000=2000(m). 故小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距 离是2000m. 3.解：(1)如图，△A'B'C即为所求 下册参考答案 (2)如图，点P即为所求 (3)3 【解析】(3)如图所示，可作出3个与△ABC全等的三 角形. 4.解：(1)①如图①，点C即为所求. ②如图②，点C即为所求. A·、 A。、 -l C区 图① 图② (2)如图③，黑球移动的路线为A→M→N→B, H B"l 图③ 本章小结 1.C2.C 3.A【解析】A.由折叠的性质得到BD=CD,因此AD 一定是△ABC的中线，故选项A符合题意： B.由折叠的性质得到C'D=CD,因此AD不是 △ABC的中线，故选项B不符合题意； C.由折叠的性质得到AD是△ABC的角平分线，不 一定是△ABC的中线，故选项C不符合题意； D.由折叠的性质得到AD=CD,但BD和CD不一定 相等，因此AD不一定是△ABC的中线，故选项D不 符合题意， 4.∠B+2∠BDG=90°【解析】因为AC∥DF,∠C =90°， 所以∠DEB=∠C=90°，所以∠B+∠FDB=90°. 由对称的性质可知，∠BDG=∠FDG, 所以∠B+∠FDB=∠B+∠BDG+∠BDG=90°， 所以∠B十2∠BDG=90°. 5.C 6.1【解析如图，过点B作BE∥AC, 且BE=AC,在BA上截取BH=AP,连接CH,EH 因为AB=AC,AP+AQ=AB,AB=AP+BP, 24 数学七年级BS版 所以AQ=BP,CQ=AP=BH. 因为AC∥BE, 所以∠A=∠EBH. 在△ACP和△BEH中， (AC=BE. {∠A=∠EBH, AP=BH, 所以△ACP≌△BEH(SAS), 所以CP=EH. 因为AB=AC, 所以∠ACB=∠ABC. 在△CBQ和△BCH中， (CB=BC, ∠BCQ=∠CBH, CQ=BH, 所以△CBQ≌△BCH(SAS), 所以BQ=CH, 所以BQ+CP=CH+HE, 所以当C,E,H三点共线时，BQ十CP有最小值. 此时，因为AC∥BE, 所以∠A=∠EBA,∠ACH=∠BEH. 又因为AC=BE, 所以△ACH≌△BEH(ASA), 所以AH=BH, 所以H是AB的中点， 所以AP=BH=号AB. 所以点P与点H重合， 所以BP=BH=AQ=AP, 所以站-1 7.解：示例：选择方法1. 因为∠ACB=90°， 所以∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=9O°， 所以∠ACD=∠CBE. 又因为BC=BD,BE⊥CD, 所以∠ABC=2∠CBE,所以∠ABC=2∠ACD. 8.C【解析】因为DE垂直平分BC,所以EB=EC, 所以∠EBC=∠ECB. 因为BE=AC,所以CE=AC. 因为∠ACE=20°， 所以∠A=∠ABC=2(180°-∠ACE)=80 因为∠AEC+∠BEC=∠EBC+∠ECB+∠BEC =180°， 所以∠AEC=∠EBC+∠ECB=80°， 所以∠EBC=∠ECB=40°. 因为BF平分∠ABC, 所以∠FBC=号∠EBC=20 因为∠EFB+∠BFC=∠FBC+∠ECB+∠BFC =180°， 所以∠EFB=∠FBC+∠ECB=60° 9.20【解析】因为EF垂直平分AB, 所以AE=BE 因为BE+CE=20,所以AE+CE=20, 即AC=20: 因为AD垂直平分BC, 所以AB=AC=20. 10.A【解析】如图，过点D作 DG⊥AB于点G. 因为AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AC,DE=3, 所以DG=DE=3, 所以SAAc=SAABD十S△Mcn=2AB·DG+2AC DE=2(AB+AO·DE=号×4+6)X8=15. 因为F是BC的中点， 1 1 所以S△Arc=2SaAc=2X15=7.5. 11.解：(1)△BCE2△FDE. 理由：因为BC∥AD, 所以∠BCE=∠FDE. 因为E为CD的中点， 所以CE=DE. 又因为∠BEC=∠FED, 所以△BCE≌△FDE(ASA). (2)①由(1)知△BCE≌△FDE, 所以BE=FE,BC=FD. 因为AB=AD+BC, 所以AB=AD十DF, 即AB=AF. 在△ABE与△AFE中， 因为AB=AF,AE=AE,BE=FE, 所以△ABE≌△AFE(SSS), 所以∠AEB=∠AEF=90°， 所以AE⊥BF. ②4 第六章 变量之间的关系 1现实中的变量 1.B2.单价体积、金额 3.解：由图可知，表示了时间与离家的距离两个变量之 间的关系，时间是自变量，离家的距离是因变量. 4.B5.A 6.解：(1)常量：6；自变量：t;因变量：n. (2)常量：0.58；自变量：x;因变量：y 2用表格表示变量之间的关系 1.D 2.(1)50(2)10038 【解析】(2)由表格可知，行驶100km时，油箱剩余油 量为42L,每行驶100km,油量减少8L, 所以行驶150km时，油箱剩余油量为50一150÷100 ×8=38(L). 3.解：由表格可知，从20m到25m,落地时间的增加量 为0.226s,所以从25m到30m,落地时间的增加量 应小于0.226s,即30m时的落地时间应在2.226s到 2.452s之间.故估计从30m处抛下，需2.4s落地. 4.D【解析】A.根据表格可得，当t=25s时，温度计上 的读数是14.0℃，正确，不符合题意； B.当t=10s时，温度计上的读数是31.0℃，正确，不 符合题意： C.温度计上的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持 不变，正确，不符合题意； D.依据表格中反映出的规律，t=40s时，温度计上的 读数等于12℃，错误，符合题意， 5.解：(1)xy (2)13 (3)0min<x≤13min13min<x≤20min 3用关系式表示变量之间的关系 1.D2.A 3.h=一2t十30【解析】由表格可得，时间每增加 2min,高度减少1cm,即每分钟高度减少0.5cm.当t =0min时，h=30cm,即蜡烛初始长度为30cm, 所以蜡烛的高度h与燃烧时间t之间的关系式为h= 1 1 30-21=-21+30. 4.(1)rV(2)297π 5.解：(1)y=3(x-1)+0.2x=3.2x-3 (2)当y=125时，125=3.2x-3,解得x=40, 即护栏总长度为125m时，立柱的根数为40. 6.解：(1)Q=800-50t(0≤t≤16) (2)500 (3)当Q=200时，800-50t=200,解得t=12. 故12h后池中还有200m3水. 7.B【解析】增加1个纸杯后增加的高度为(12一8)÷ 6-1)=(m, 所以n个这样的纸杯按照同样的方式叠放在一起，总 高度为8+号×(m-1D=(.2+号n)em 8.xy=360【解析】由表格数据，得30×12=360,20× 18=360,18×20=360,9×40=360,所以这批毛绒玩 具共360件. 因为工作总量不变，都是360件， 所以加工时间与每小时加工的件数的乘积都是360， 即乘积不变，所以xy=360. 9.解：(1)依题意，得CD=(9-x)cm.因为S△cp= CD.CB, 下册参考答案