4.重难题型卷(二)勾股定理的应用-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）河北专版

17.【解】(1)设a=3x,则b=4x,在Rt△ABC中，a2+b2=c2, 即(3x)24(4x)2=252,得x=5,.a=15,b=20. (2).c+a=64,.c=64-a.,a2+b2=c2,∴.a2+162=(64-a)2, 解得a=30,c=64-30=34. 18.【解】.∠A=50°，∠B=40°， ∴.∠C=90°，.△ABC是直角三角形。 ,AB 2.5 km,BC 2.4 km, AC=√AB2-BC2=0.7(km,∴.0.7÷0.2=3.5（天）. 答：需要3.5天才能把隧道AC凿通. 19.【解】(1)√52√55 分析：由网格得AB=V2+2=√5，BC=√22+42=25， AC=V32+42=5. (2)△ABC是直角三角形，理由如下： .AB2+BC=(V5)2+(2W5)2=25,AC2=52=25, .AB+BC?=AC2,.△ABC是直角三角形. 20.【解(1)由题意得，∠MAB=60°，∠PBC=30° ,∴.∠ABQ=60°，.∠ABC=180°-∠ABQ-∠PBC=90° 在Rt△ABC中，AB=BC=10km, .AC=√AB2+BC2=102+102=10W2≈14.1(km), ∴.A,C两港之间的距离约为14.1km. (2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形， .∴.∠BAC=45°，.∠CAM=60°-45°=15°， ∴.C港在A港的北偏东15的方向上 21.【解1(1)4×104分析：a+b=2+1+2n=(n+1)2, 当n=199时，原式=(199+1)2=2002=40000=4×104 (2)24分析：，a=2+1,b=2n,c=r-1, 当n=3时，a=32+1=10,b=2×3=6,c=32-1=8, ∴b+c2=100=a2,∴.这个三角形为直角三角形， ·这个三角形的面积是)×6×8=24， (3)嘉淇的发现正确，理由如下： b2+c2=(2n)2+(2-1)2=4n2+(2)2-2n2+1=(n2+1)2, .b+c2=a2,.当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数。 22.(1)【证明】：AD∥BC,.∠DEF=∠BFE. 由折叠的性质可得∠DEF=∠BEF, ∴.∠BEF=∠BFE,∴.BE=BF (2)【解】由长方形的性质可得CD=AB=√5，∠C=90°， BC=AD=2N3,由折叠的性质可得CF=GF,BG=CD= √3，∠G=∠C=90°，设CF=GF=x,则BF=2√3-x, 在Rt△BGF中，由勾股定理得BF2=BG子+FGP, (25-x)2=(5)2+,解得x=3y3 4’ cf-9sm=c6x6x39-号 4=8 23.【解】【小试牛刀片a(a+b)号b(a-b)号c 3a(a+b)=3b(a-b)+2c2 【知识运用】250 分析：如图①，作点C关于AB的对称点F,连接DF交AB于 点P,连接PC,点P为所求.作DE⊥BC交BC的延长线于 点E.在Rt△DEF中，，'DE=AB=200m,EF=AD+BC= 80+70=150(m),∴.DF=VDE2+EF2=V2002+1502=250(m), 故该最短距离为250m D 15 E D A I-- ① ② 第23题答图 真题圈数学八年级下RJ9G 【知识迁移】17. 分析：如图②，AB=15,AD=5,BC=3,BC⊥AB,DA⊥AB, 作点C关于AB的对称点F,连接DF,作DE⊥BC交BC的延 长线于点E,则DF的长就是代数式√x2+9+√Q5-x)2+25 的最小值.：DF=√DE2+EF2=V152+82=17,.代数式 Vx2+9+√05-x)2+25的最小值为17. 24.【解】(1)：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, AC=4cm,∴.BC=√AB2-AC2=3cm (2)由题意可得，BP=3tcm,∠B≠90° 当∠APB=90时，易知点P与点C重合， ∴.BP=BC,即31=3，∴.t=1. 当∠PAB=90时，如图①所示， .CP=BP-BC =(3t-3)cm. .AC2+CP2 AP2 =BP2-AB2, 4(3-3)2=(302,解得1=答 综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为1或写 ① ② CP ③ ② 第24题答图 (3)2或或瓷 分析：如图②所示，当AB=AP时， ,AC⊥BC,.BP=2BC,即3t=2×3=6,.t=2 如图③所示，当AB=BP时，由31=5，得1=} 如图④所示，当AP=BP时，CP=BP-BC=(3t-3)cm, AP=BP=3tcm,在Rt△APC中，AC+CP2=AP2,即42+ (3-3)2=（30只，解得1=瓷。 综上，当△ABP为等腰三角形时，1的值为2或或装， 4.重难题型卷（二）勾股定理的应用 1.C【解析】∠B=90°，AB=2,BC=4,.AC=AB2+BC =22+42=20,∴.正方形ADEC的面积为20.故选C. 2.D【解析】∠C=90°，∠B=60°，.∠A=30°，∴c= 2a=23,b=VC-a=3,·△ABC的面积为)b=号 女5x3=9故选D 3.C【解折】S影=34C+号BC+号4B=4C+BCAB). .AB2 AC2+BC2=4,.'.AC2+BC2+AB2 =8, S影=7×8=4故选C 4.B【解析】：∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的 面积分别是289和225，∴.AD2-A2=DE=289-225=64, :DE=8,:以DE为直径的半圆的面积是号×元×(= 8元.故选B. 答案与解析 5.A【解析】由题图可知S,+S2=1,S2+S=2,S+S4=3,所以 S+S2+S+S4=4.故选A. 6.A【解析】由题意得a+b2=c2,S,=S,=a+b+2×)b= a2+b+ab=c2+ab,故选项A符合题意，选项B,C,D不符合题意 故选A 7.A【解析】如图所示.正方形ABCD的边长为2， △CDE为等腰直角三角形， .'DE2+CE2=CD2,DE CE, .2S2=S 观察，发现规律：S=22=4,S,= 38=28,=38,=1,8=S,= 第7题答图 ，=a≥10. 当=9时8-”-( 故选A 8A【解析]如图所示，：在圆柱中，底面半径为8，BC=12, ·展开图中，AB=)×2×8×元=8，BS=)BC=6, .AS=V82+62=10.故选A B R 第8题答图 第9题答图 9.D【解析】如图①所示，AB=√4+102=2√29 如图②所示，AB=V62+82=10. 2√29>10， .运动的最短路程为10.故选D. 10.A【解析】如图，沿过点A的圆柱的A 、p M 高剪开，得到长方形EFGH,过C作 应 CQ⊥EF于Q,作点A关于EH的对 称点A',连接A'C交EH于P,连接 ----￥C AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的 F G 最短距离. 第10题答图 :AE =A'E,A'P=AP, ∴.AP+PC=A'P+PC=A'C :CQ=3×18=9(cm,4Q=12-4+4=12(cm, .在Rt△A'QC中，由勾股定理得AC=V122+92=15(cm). 故选A. 11.25【解析】如图所示，：三级台阶的 20 平面展开图为长方形，长为20，宽为 (2+3)×3,.蚂蚁沿着台阶面爬行到 B点的最短路程是此长方形的对角线 长.设蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最 短路程为x,由勾股定理，得x2=202+ 第11题答图 [(2+3)×3]2=252,.x=25. 故答案为25. 12.【解】(1)如图①，连接AC,线段AC即甲虫从点A处到达点C 处需要走的最短路径，依据是两点之间，线段最短. D 0 A B ① ② 第12题答图 (2)如图②，根据题意可得，展开图中AB=100+10=110(cm), B'C'=50cm,由(1)可得，在Rt△AB'C中，由勾股定理可得 AC=√AB2+BC=V1102+502=10W146(cm), 即这只甲虫从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的 最短路程为10√146cm. 13.B【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5, ∴.BC=√AC2-AB2=4. 由折叠的性质可得AE=CE,设BE=x,则AE=CE=4-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+B2=AE, 34=(4-x,解得x=名BE-名故选B 14.2√2【解析】：AD是△ABC的中线， .BD=CD=BC 2 cm. 由翻折可知∠ADE=∠ADC=45°，ED=CD, .∠BDE=90°，BD=DE=2cm 在Rt△BDE中，由勾股定理得BE=V22+22=2√2(cm) 故答案为2√2. C(F) 15.1≤BD≤5【解析】如图，当点E与点B 重合时，BD有最大值，最大值为5. 当点F与点C重合时，BD有最小值 在△ABC中，∠A=90°，AB=5,AC=12, .BC=VAC2+AB2=122+52=13. A B(E 将Rt△ABC折叠， 第15题答图 .AC=CD=12, .BD=1,即BD的最小值为1， .BD的取值范围是1≤BD≤5. 故答案为1≤BD≤5. 16.108【解析】：三边长之比为3：4：5，.该三角形是直角三 角形.如图，设AB=3x,BC=4x,AC=5x,图①中，由折叠 可知，EF=EB,AB=AF,∴.AF=3x,CF=2x. 设BE=m,则EC=4x-m. 在Rt△EFC中，(4x-m)2=m2+(2x)2, m=2,8,=×2x×x=号2 F C.c-------- ⑦ ② 第16题答图 图②中，由折叠的性质可知CF=BC=4x,BE=EF, .AF=x,设EB=n,则AE=3x-n. 在Rt△AEF中，(3x-n)2=R+x2, n=专x,,=方×号xxx=号 4 :5-=15,3=15, ∴.x=32,.AB=9V2,BC=12V2, 5。c=号×95×125=108故答案为108 17.B【解析设CH=x,则DH=EH=9-x BE:EC=2:1,BC=9,.CE=3BC=3. 在Rt△ECH中，Ef=EC+CP,即(9-x)2=32+x2, 解得x=4,即CH=4.故选B. 18.C【解析】由折叠的性质可知，∠EBD=∠CBD,.:AD∥ BC,∠EDB=∠CBD,∴∠EDB=∠EBD,EB=ED,设 DE=x,则BE=x,AE=2-x,在Rt△ABE中，根据勾股定理， 得x=(2)4(2-x)2,解得x=多，即DE=多.故选C. 19.4或2W10【解析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况： ①当点F落在长方形内部时，如图①所示. 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,∴.AC=10. ,将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处， .∴·∠AFE=∠B=90°. 当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°， ∴.点A,F,C共线，即△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线 AC上的点F处，∴.AB=AF=6,∴.CF=10-6=4 ②当点F落在AD边上时，BE=EF,如图②所示. 此时∠FEC=90°，则∠AEB=∠AEF=45°， ∴△ABE,△AEF均为等腰直角三角形， ∴.BE=AB=6,CE=8-6=2,∴.CF=2W10 综上所述，CF的长为4或2√10 故答案为4或2W10 y F D B E ① ② 第19题答图 20.【解】(1)设CF=x,则BF=8-x. 在Rt△ABF中，AB+BF=AFP, .16+(8-x)2=x2,解得x=5,.CF=5. (2)如图，过点F作FH⊥AD于点H, G 则FH=4,AH=BF=3. ,AD∥BC, 诚 D E ∴.∠AEF=∠EFC=∠EFA, .AE=AF=5, B --------1C ∴.EH=AE-AH=2, 第20题答图 .EF2=42+22=20,.EF=2√5 (3)如图，过点G作GM⊥AD于点M,则AG×GE=AE× GM,AG=AB=4,AE=AF=5,GE=DE=3, GM=号：Sam=方×GMxDE=-号 21.(1)4cm(2)2或受【解析】水1)在Rt△ABC中，LACB= 90°，AB=5cm,AC=3cm, 由勾股定理得BC=√52-32=4(cm). (2)由题意知BP=2tcm. ①当∠APB=90时，如图①， 点P与点C重合，BP=BC=4cm,∴.t=4÷2=2. ②当∠BAP=90时，如图②， CP BP-BC=(2t-4)cm,AC 3 cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t-4)2, 在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=(2t)2-52, 即34(24：=(22-5，解得1=爱。 真题圈数学八年级下RJ9G 综上所述，当△ABP为直角三角形时，！的值为2或空 故答案为(1)4cm;(2)2或2 B C(P) ① 第21题答图 22.【解】(1)当t=2时，AN=2t=4(cm),BM=4t=8(cm). '.AB 16 cm,.'BN AB-AN 16-4 12(cm). 在Rt△BN中，由勾股定理，可得 MN=√BM2+BW2=V82+122=4V13(cm), 即N的长为4W13cm. (2)由题意可知AW=2tcm,BM=4tcm, .AB 16 cm,.'BN AB-AN =(16-2t)cm. 当△MNB为等腰三角形时，有BM=BW, 16-21=4,解得1=号 ·出发s后，△MWB是等腰三角形. (3)当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形 分析：在△ABC中，由勾股定理可求得AC=20cm 当点M在AC上运动时，AM=BC+AC-4t=(32-4t)cm, ∴.CM=AC-AM=20-(32-4t)=(4t-12)(cm). ①当BM=BC=12cm时，过B作BE⊥AC于点E(图略)， 则CE=3CM=(2-6)cm 在Rt△ABC中，可求得BE=铝cm, 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=BE+CE2, 12=(等+a6月 解得1=6.6或t=-0.6(舍去). ②当CM=BC=12cm时，4t-12=12,解得1=6. ③当CM=BM时，∠C=∠MBC, :∠C+∠A=90°=∠CBM+∠MBA, .∠A=∠MBA .'MB =MA, ∴.CM=AM=10cm,即4t-12=10,解得1=5.5. 综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形 5.阶段学情调研（一） 题号123456789101112 答案B CBCD ABACACD 1.B2.C 3.B【解析】由题知△ABC为直角三角形，∠C=90°，则∠B= 180°-∠A-∠C=180°-35°-90°=55°.故选B. 4.C【解析】A.√9=3，原计算错误，不符合题意；B.±√9= 士3，原计算错误，不符合题意；C.-27=-3,正确，符合题意； D.√(-3)2=3，原计算错误，不符合题意.故选C. 5.D【解析】分两种情况：①当4为直角边的长时，第三边的长 =V32+42=5;②当4为斜边长时，第三边的长=√42-32= √万.综上，第三边的长为5或√万.故选D. 6.A【解析：V12+√27=23+35=5V5,.a=3,b=3, c=5,∴.a+b-c=1.故选A真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ9G 4.重难题型卷（二） 湘粑 勾股定理的应用 开 书州 题型一 面积问题 同期 1.（期中·23-24廊坊四中)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB =2,BC=4,四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面 积是( A.8 B.16 C.20 D.25 帕 第1题图 第3题图 2.(月考·23-24廊坊六中)在△ABC中，∠C=90°，∠B= 60°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a=√3，则 △ABC的面积为( A.33 B.2W3 C.3 D.33 3.如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三 p 角形，若AB=2,则图中阴影部分的面积为( A.2 B.3 C.4 金星教 D.5 的 4.(期末·22-23唐山路南区)如图，∠AED=90°，正方形ABCD 和正方形AEFG的面积分别是289和 G 225,则以DE为直径的半圆的面积 是( ) 茶 A.4π B.8π D 崇 C.16元 D.32π 第4题图 5.（期末·22-23保定满城区)如图，在直线1上依次摆放着 七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3， 加 阳 正放置的四个正方形的面积依次是S,S,S,S4,则S,+S,+S,+ 胞 S4=( 第5题图 A.4 B.5 C.6 D.7 6.数学文化如图，意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出 不一样的空洞，根据两个空洞的面积相等，证明了勾股定理， 若设左边图中空白部分的面积为S,右边图中空白部分的面 积为S,则下列式子不正确的是( 剪开 右边部分 上下翻转 第6题图 A.S=a2+b2+2ab B.S,=c2+ab C.S=S D.a2+b2=c2 7.(期中·23-24张家口宣化区改编)如图，正方形ABCD的边 长为2，其面积标记为S,以CD为斜边 S S2 作等腰直角三角形，以该等腰直角三角 D 形的一条直角边为边向外作正方形，其 S 面积标记为S,…,按照此规律继续下 第7题图 去，则S。的值为( B( √2 D √2 2 2 题型二最短路径问题 8.(联考·23-24廊坊安次区)如图，一个圆柱的底面半径为8 BC三12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的 中点S,则移动的最短距离为( A.10 B.12 C.14 D.20 B 第8题图 第9题图 9.（期末·22-23邢台七中)如图，桌面上的长方体长为8，宽为6， 高为4，B为CD的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表 面到达B点，则它运动的最短路程为( A.2√29 B.4V5 C.314 D.10 一11 10.(月考·22-23廊坊四中)如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm, 底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的 点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( A.15 cm B.√97cm C.12 cm D.18 cm 20 蚂蚁 C蜂蜜 第10题图 第11题图 11.（月考·23-24唐山九中改编)如图，一个三级台阶，它的每 一级的长、宽、高分别为20,3,2.A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁想到B点，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点的最短路程是 12.(1)问题情境一：如图①，一只甲虫在一个长为100cm,宽为 50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出甲虫从点A处 到达点C处需要走的最短路径，并写出画图依据 (2)问题情境二：在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱 形的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽AD,木块从正面 看是一个边长为10cm的等边三角形，示意图如图②，求出 这只甲虫从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的 最短路程 绝盗印 ① ② 第12题图 题型三折叠问题 类型1三角形中的折叠 13.（期中·23-24唐山丰润区)如图所示， 在△ABC中，∠B=90°，AB=3, AC=5,将△ABC折叠，使点C与点 A重合，折痕为DE,则BE的长为( A曾 第13题图 c 14.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=4cm.把 △ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置，则BE= cm. D B 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=5,AC=12.将Rt△ABC 折叠，使点A落在BC边上，对应点为D.若折痕与AB边交 于点E,与AC边交于点F,则BD的取值范围是 16.如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5.按 图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个 顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分的面 积分别为S,S已知S,-S。=15,则纸片的面积是 第16题图 类型2四边形中的折叠 17.(期中·22-23唐山丰南区)如图，正方形ABCD的边长为9， D 将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的 Ar-- 点E处，折痕为GH.若BE:EC=2:1, 则线段CH的长是( A.3 B.4 第17题图 C.5 D.6 18.（期中·24-25邯郸二十五中)如图，将长方形ABCD沿对 角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为 C',BC'与AD交于点E,若AB=√2，BC=2,则DE的长 为() A号 B.1 C.3 D.2 A D B-- C 第18题图 第19题图 19.如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边 上一点，连接AE,把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处， 当△CEF为直角三角形时，CF的长为 20.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使点A与点C重 合，点D与点G重合.若长方形的长BC为8，宽AB为4，求： (1)CF的长. (2)EF的长. (3)阴影部分三角形GED的面积. G 第20题图 12 题型四动点问题 21.（期末·23-24张家口宣化区改编)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发 沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. R 第21题图 备用图 (1)BC= (2)当△ABP为直角三角形时，t的值为 22.(期中·22-23唐山路北区)如图，在△ABC中，∠B=90°， AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点， 其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2c/s, 点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s, 它们同时出发，设运动的时间为ts (1)出发2s后，求MN的长. (2)当点M在边BC上运动时，出发几秒钟后，△MNB是等 腰三角形？ 学 关爱学 (3)当点M在边CA上运动时，直接写出能使△BCM成为 等腰三角形的t的值 拒绝盗印 B N 第22题图