3.第二十章 勾股定理学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）河北专版

答案与解析 (3)归纳总结得，第n个符合规律的二次根式为√n2+2n,整数 部分为n.理由：n2<n2+2n<2+2n+1, .n<Vn2+2n<n+1,∴.√n2+2n的整数部分为n 23.【解1(1)1 √5+2 5-2 (2)a,+a,+a,+…+a,=V2-l+V3-√2+2-5+…+2√3- √11=2√5-1. 3+5+5+5Jx(7+5) (3) 1 =5E+5,5)x7+5) 2 2 =3×(万-)×(7+5)=3×(7-3)=2 3.第二十章学情调研 题号123456789101112 答案DBCA BDB C BCCB 1.D【解析】：在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b, c,∠A=90°，∴.a为斜边.根据勾股定理可得a2=b+c2.故选D. 2.B 3.C【解析】A.52+62=25+36=61≠72，故不能构成直角三角 形，不符合题意；B.62+82=36+64=100≠112，故不能构成直 角三角形，不符合题意；C.92+122=81+144=225=152,故能 构成直角三角形，符合题意；D.52+122=25+144=169≠232， 故不能构成直角三角形，不符合题意.故选C 4.A【解析]如图，过点P作PE⊥x轴于点E,连接OP P(-2,3),∴.PE=3,OE=2. P 在Rt△OPE中，根据勾股定理，得 OP2 =PE2+OE2. E .0P=V32+22=√13， -20 即点P到原点的距离为√13.故选A 第4题答图 5.B【解析】如图，AD是∠BAC的平分线、BC 边上的中线也是BC边上的高线， BD=2BC=5,·AD=132-5= 12.故选B. 6.D【解析】S,=8cm2,S2=17cm2, BL .BC2=8,AC2=17.∠ACB=90°， 第5题答图 AB2=BC+AC,即AB2=8+17=25,AB=5cm.故选D. 7.B【解析】由题意可得∠ABC=90°，OB=2,BC=1,连接 0C(图略)，则0C=V22+12=5,.OM=0C=√5，故点 M对应的数是√5.故选B. 8.C【解析】由勾股定理，得AB=V2.52-1.52=2(m), 因为地毯长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5(m).故选C. 9.B【解析]如图，连接AC,左右、上下两个 B 相邻密码点间的距离均为1，.AB=2, AC =1,AD 2,DE 1,.BC=AE= √22+1=√5，“按此手势解锁一次的路 径长为AB+BC4CD+DE+ME=2+N5+1+心O① 1+√5=4+25.故选B. A 10.C【解析】：∠C=90°，AC=√3，AE=第9题答图 V5,∴CE=√AE2-AC2=V2.:斜边AB的垂直平分线交 边BC于点E,∴.BE=AE=V5,∴.BC=BE+CE=V5+V2 故选C 11.C【解析】，a+ab2+bc2=b+a2b+ac2, ∴.a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0,(a3-a2b)+(ab2-b3)-(ac2-bc2) =0,a2(a-b)+b2(a-b)-c2(a-b)=0,(a-b)(a2+b2-c2)=0, .a-b=0或2+b-c2=0,.a=b或a2+b=c2. 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，故选C. 12.B【解析】AD⊥BC,AD=BD=12,ED=DC=5, ∴.BE=VBD2+DE2=V12+52=13,故①正确. AD=BD, 在△ADC和△BDE中，{∠ADC=∠BDE, DC=DE, ,.△ADC≌△BDE(SAS), .∠DAC=∠DBE,AC=BE. :∠BED+∠DBE=∠AEF+∠DBE=90, .∠DAC+∠AEF=90°，∴.∠AFE=90°， .BF⊥AC,故④正确. :号BCAD=2BF·AC, ·方×17x12=方×BF×13,解得BF-,故②正确. 13 若BE平分∠ABC,且BF⊥AC, '.∠ABF=∠CBF ∠ABF=∠CBF, 在△ABF和△CBF中，{BF=BF, ∠AFB=∠CFB=90°， ∴.△ABF≌△CBF(ASA), .BC BA,BC 17,BA =BD2+AD2 =122+122= 12√2，∴BC≠BA,矛盾，故③错误. 若F是AC的中点，由BF⊥AC,得直线BF是线段AC的垂直 平分线，故BC=BA,而BC≠BA,矛盾，故F不是AC的中点， 故⑤错误. 综上，正确的有①②④，共3个.故选B. 13.17【解析】当x不是最大数时，x=V152-82=161,不是正 整数，不符合题意；当x为最大数时，x=V152+82=17,是正 整数，符合题意.综上，若8,15，x是一组勾股数，则x的值为 17.故答案为17. 14.5【解析】由勾股定理，得直角三角形的斜边长=√32+4？= 5(cm),.阴影部分的面积=1×5=5(cm2).故答案为5. 15.20【解析】在Rt△ABC中，：AB=30m,BC=40m, ∴.AC=VAB2+BC2=50(m),30+40-50=20(m),∴.他们踩 坏了草坪，只为少走20m的路.故答案为20. 16.(1)135(2)50 公路 【解析】(1)如图，连接AC. ∠ADC=90°，AD=CD,∴.∠CAD= 45°.在Rt△ADC中，AC=AD2+ B CD2=20000,.'AB=10000,BC= 30000,∴.AB+AC=BC,∴.∠BAC= 第16题答图 90°，∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°. (2)如图，过点E作EH⊥AD于点H,点M,N在直线AD上， 且EM=EN=65m,即MN为直线AD上被摄像头监控到 的公路长度.∠BAD=135°，∠EAH=180°-∠BAD =45°，.∠AEH=45°，.EH=AH.在Rt△AEH中， AE=AB-BE=100-(100-60√2)=60v2(m).由勾股定 理，得AH+EH2=AE2,即2EH2=AE2,.EH=60m 在Rt△EHM中，MH=√EM2-EH2=25(m).'EM=EN, EH⊥MN,∴.MN=2MH=50m,即直线AD上被摄像头监 控到的公路长度为50m.故答案为(1)135；(2)50. 17.【解】(1)设a=3x,则b=4x,在Rt△ABC中，a2+b2=c2, 即(3x)24(4x)2=252,得x=5,.a=15,b=20. (2).c+a=64,.c=64-a.,a2+b2=c2,∴.a2+162=(64-a)2, 解得a=30,c=64-30=34. 18.【解】.∠A=50°，∠B=40°， ∴.∠C=90°，.△ABC是直角三角形。 ,AB 2.5 km,BC 2.4 km, AC=√AB2-BC2=0.7(km,∴.0.7÷0.2=3.5（天）. 答：需要3.5天才能把隧道AC凿通. 19.【解】(1)√52√55 分析：由网格得AB=V2+2=√5，BC=√22+42=25， AC=V32+42=5. (2)△ABC是直角三角形，理由如下： .AB2+BC=(V5)2+(2W5)2=25,AC2=52=25, .AB+BC?=AC2,.△ABC是直角三角形. 20.【解(1)由题意得，∠MAB=60°，∠PBC=30° ,∴.∠ABQ=60°，.∠ABC=180°-∠ABQ-∠PBC=90° 在Rt△ABC中，AB=BC=10km, .AC=√AB2+BC2=102+102=10W2≈14.1(km), ∴.A,C两港之间的距离约为14.1km. (2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形， .∴.∠BAC=45°，.∠CAM=60°-45°=15°， ∴.C港在A港的北偏东15的方向上 21.【解1(1)4×104分析：a+b=2+1+2n=(n+1)2, 当n=199时，原式=(199+1)2=2002=40000=4×104 (2)24分析：，a=2+1,b=2n,c=r-1, 当n=3时，a=32+1=10,b=2×3=6,c=32-1=8, ∴b+c2=100=a2,∴.这个三角形为直角三角形， ·这个三角形的面积是)×6×8=24， (3)嘉淇的发现正确，理由如下： b2+c2=(2n)2+(2-1)2=4n2+(2)2-2n2+1=(n2+1)2, .b+c2=a2,.当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数。 22.(1)【证明】：AD∥BC,.∠DEF=∠BFE. 由折叠的性质可得∠DEF=∠BEF, ∴.∠BEF=∠BFE,∴.BE=BF (2)【解】由长方形的性质可得CD=AB=√5，∠C=90°， BC=AD=2N3,由折叠的性质可得CF=GF,BG=CD= √3，∠G=∠C=90°，设CF=GF=x,则BF=2√3-x, 在Rt△BGF中，由勾股定理得BF2=BG子+FGP, (25-x)2=(5)2+,解得x=3y3 4’ cf-9sm=c6x6x39-号 4=8 23.【解】【小试牛刀片a(a+b)号b(a-b)号c 3a(a+b)=3b(a-b)+2c2 【知识运用】250 分析：如图①，作点C关于AB的对称点F,连接DF交AB于 点P,连接PC,点P为所求.作DE⊥BC交BC的延长线于 点E.在Rt△DEF中，，'DE=AB=200m,EF=AD+BC= 80+70=150(m),∴.DF=VDE2+EF2=V2002+1502=250(m), 故该最短距离为250m D 15 E D A I-- ① ② 第23题答图 真题圈数学八年级下RJ9G 【知识迁移】17. 分析：如图②，AB=15,AD=5,BC=3,BC⊥AB,DA⊥AB, 作点C关于AB的对称点F,连接DF,作DE⊥BC交BC的延 长线于点E,则DF的长就是代数式√x2+9+√Q5-x)2+25 的最小值.：DF=√DE2+EF2=V152+82=17,.代数式 Vx2+9+√05-x)2+25的最小值为17. 24.【解】(1)：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, AC=4cm,∴.BC=√AB2-AC2=3cm (2)由题意可得，BP=3tcm,∠B≠90° 当∠APB=90时，易知点P与点C重合， ∴.BP=BC,即31=3，∴.t=1. 当∠PAB=90时，如图①所示， .CP=BP-BC =(3t-3)cm. .AC2+CP2 AP2 =BP2-AB2, 4(3-3)2=(302,解得1=答 综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为1或写 ① ② CP ③ ② 第24题答图 (3)2或或瓷 分析：如图②所示，当AB=AP时， ,AC⊥BC,.BP=2BC,即3t=2×3=6,.t=2 如图③所示，当AB=BP时，由31=5，得1=} 如图④所示，当AP=BP时，CP=BP-BC=(3t-3)cm, AP=BP=3tcm,在Rt△APC中，AC+CP2=AP2,即42+ (3-3)2=（30只，解得1=瓷。 综上，当△ABP为等腰三角形时，1的值为2或或装， 4.重难题型卷（二）勾股定理的应用 1.C【解析】∠B=90°，AB=2,BC=4,.AC=AB2+BC =22+42=20,∴.正方形ADEC的面积为20.故选C. 2.D【解析】∠C=90°，∠B=60°，.∠A=30°，∴c= 2a=23,b=VC-a=3,·△ABC的面积为)b=号 女5x3=9故选D 3.C【解折】S影=34C+号BC+号4B=4C+BCAB). .AB2 AC2+BC2=4,.'.AC2+BC2+AB2 =8, S影=7×8=4故选C 4.B【解析】：∠AED=90°，正方形ABCD和正方形AEFG的 面积分别是289和225，∴.AD2-A2=DE=289-225=64, :DE=8,:以DE为直径的半圆的面积是号×元×(= 8元.故选B.真题圈数学 同步 调研卷 八年级下RJ9G 3.第二十章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) 回期 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1.在△ABC中，若∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠A=90°，则( A.a=b+c B.b2=a2+c2 C.c2=a2+b2 D.a2=b2+c2 2.情境题（期中·23-24唐山路北区）用长度相等的火柴棒首尾相连拼接成直角三角形，若其中两 条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为( A.12 B.10 C.8 D.6 3.(期末·24-25廊坊安次区改编)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A.5,6,7 B.6,8,11 C.9,12,15 D.5,12,23 4.(期中·24-25邯郸二十五中改编)在直角坐标系中，点P(-2,3)到原点的距离是( A.V13 B.5 C.11 D.2 5.(期末·23-24邢台任泽区)等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长 部 为( A.V69 B.12 金 C.15 D.3 6.如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S,S,若S,=8cm2,S,= 17cm2,则斜边AB的长是( A.3cm B.6cm C.4cm D.5cm 器 B 0 巡加 H 昶 图 第6题图 第7题图 ® 品 7.（月考·23-24唐山九中)如图，数轴上点A,B分别对应1,2，过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心， AB长为半径画弧，交PQ于点C,以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M,则点M对 应的数是( A.3 B.5 C.6 D.万 8.（期中·24-25唐山丰润区改编)如图是一段楼梯，高BC是1.5m,斜边AC是2.5m,如果在楼梯 上铺地毯，那么至少需要地毯( A.2.5m B.3m C.3.5m D.4m D B A D 第8题图 第9题图 第10题图 第12题图 9.情境题如图是小观爸爸设置的手机解锁手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均 为1，手指沿A-B-C-D-E-A顺序解锁.按此手势解锁一次的路径长为( A.8 B.4+2W5 C.5+25 D.1 10.（月考·23-24廊坊六中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√3，AC<BC.斜边AB的垂 直平分线交边BC于点E,交AB于点D.若AE=√5，则BC的长为( A.2W5-V3 B.√5-V2 C.√5+√2 D.3+2 11.（期末·22-23邯郸南湖中学)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足+ab2+bc2=b3+a2b+ac2, 则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 12.(期中·22-23张家口宣化区)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E在AD上，连接BE并 延长交AC于点F已知AD=BD=12,ED=DC=5.下列结论：①BE=13;②BF=204 13 ③BE平分∠ABC;④BF⊥AC;⑤F是AC的中点， 其中正确的个数为() 拒绝盗印 A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13.(期中·23-24廊坊安次区)若8,15，x是一组勾股数，则x的值为 14.(期中·23-24唐山路南区)如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是 cm2 4 cm ■ 1 cm 3 cm 第14题图 第15题图 15.情境题如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒 注意.如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC(∠ABC=90°)，于是在草 坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”.已知AB=30m,BC=40m,他们踩坏了草坪，只为少 走 m的路 16.(期中·24-25唐山丰润区改编)如图是某工厂的平面图，经测量AB=AD= 公路 CD=100m,BC=100V3m,∠ADC=90°. (1)则∠BAD= (2)已知EF是在AB边上工厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情 第16题图 况，工作人员计划在点E处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离 为65m,若BE=(100-60√2)m,则直线AD上被摄像头监控的公路长度为 m. 三、解答题（共8题，共72分） 17.(期中·23-24廊坊安次区节选)(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c. (1)若a:b=3:4,c=25,求a,b. (2)若c+a=64,b=16,求a,c. 精品图书 星教育 18.（期中·24-25唐山丰南区)(6分)如图，某工程队为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=50°， ∠B=40°，AB=2.5km,BC=2.4km,若每天开凿隧道0.2km,需要几天才能把隧道AC凿通？ R 第18题图 19.（期中·24-25保定清苑区)(8分)如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶 点均在网格的格点上· (1)AB= BC= AC= (2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由 C 第19题图 20.情境题（期中·23-24唐山路北区）(8分)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至 B港，然后沿北偏西30方向航行10km至C港 (1)求A,C两港之间的距离（√2≈1.414，结果精确到0.1km) (2)确定C港在A港的什么方向 拒绝盗印 北 +东 B- M Q Af---N 烯 第20题图 21.(期中·23-24廊坊四中)(10分)已知a=n2+1,b=2n,c=2-1. (1)当n=199时，写出a+b的值 (用科学记数法表示)， 最 狗 (2)当n=3时，若以a,b,c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 (3)嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数.你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计 饰 算说明理由 出细 回期 题圈 精品图书 金星教 咖 图 22.（月考·23-24廊坊六中)(10分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落 在点G处，折痕为EF (1)求证：BE=BF (2)若AB=√3，AD=2V3,求△BGF的面积. G 第22题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 23.方法探索（月考·22-23保师附校改编）(12分) 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其 中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春发现了一个新的证法 【小试牛刀】把两个全等的直角△ABC和△DAE如图①放置，其三边长分别为a,b,c.显然， ∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE.请用a,b,c分别表示出梯形ABCD,△EBC,四边形AECD的面积： S△EBC= 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 化简后， 可得到勾股定理 【知识运用】如图②，河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距200m,C,D为两个菜园（看作 两个点)，AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=80m,BC=70m,现在菜农要在AB上确 定一个抽水点P,使得抽水点P到两个菜园C,D的距离和最短，则该最短距离为 m. 【知识迁移】借助上面的思考过程，请直接写出当0<x<15时，代数式√x2+9+√15-x)2+25 的最小值 D 金星教育 ① ② 第23题图 24.探究性试题(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=4cm,动点P从点 B出发沿射线BC以3cms的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求BC边的长 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值 (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出t的值 A 0 第24题图 备用图① 备用图② 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 0一