3.第二十章 勾股定理 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ3B 3.第二十章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 第I卷选择题（共30分）》 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(期中·24-25晋中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作里，这部著作 是( 周 子算经 算经 海岛算经 九章算术 A B C D 2.下列各选项中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是( A.1,2,3 B.32,42,52 C.3,√4,5 D.1,√2，N 3.将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是( 批 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.（月考·24-25山大附中)以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，则正 方形A的面积是( A.164 B.36 C.8 D.6 64 100 些加 H 第4题图 第5题图 胞)均 5.（期中·22-23大同一中)“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置 关系结合起来进行研究的数学思想.如图，在数轴上以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点A, 即OA=OB,则数轴上点A所表示的数是() A.1.5 B.3 C.2 D.5 6.如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知 大正方形面积为25，用x,y表示直角三角形的两直角边长(x>y>0),(x+y)2= 49,下列选项中正确的是() A.小正方形的面积为4 B.x2+y2=5 C.x2-y2=7 D.xy=24 第6题图 7.（期末·24-25晋中榆次区)五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三 角形，下列图形正确的是( 25 24 5 25 20 25 15 15 20 24 A C D 8.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8,BC=6,点P在AB上，将△DAP沿DP折叠，使点A落 在对角线BD上的点A'处，则AP的长为() A.5 B.4 C.3 D.2 C x DC 门槛 0 B P ① ② 第8题图 拒绝盗印 第9题图 9.数学文化《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔ，门槛的意思）一 尺，不合二寸.问：门广几何？题目大意是：如图①和②（图②为图①的平面示意图），推开双门， 双门间隙CD为2寸，点C和点D与门槛AB的距离都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 10.数学建模几何（月考·24-25太原志达中学）如图，ABCD是长方形地面， 长AB=10m,宽AD=5m,中间刚好有一堵墙，高MW=1m,一只蜗 牛从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走( A.10m B.12m C.13m D.14m 第10题图 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.（月考·24-25太原三十八中改编)已知△ABC的三边长分别为7,24,25，则 2 1 △ABC的面积为 o123436元 12.如图，在平面直角坐标系中有A（5,0),B(0,4)两点，则这两点之间的距离 第12题图 为 13.教材习题改编有5个边长为1的正方形，排列形式如图，把它们分割后拼接成一个大正方形，这 个大正方形的边长为 第13题图 第14题图 第15题图 14.（月考·23-24太原师院附中)如图，两个滑块A,B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的 滑道上滑动.开始时，滑块A距O点16cm,滑块B距O点12cm.问：当滑块A向下滑到O点时， 滑块B滑动了 cm. 15.(月考·22-23太原师院附中)如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且 EF∥BC交AC于点M,若CM=5,则CE+CF2= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)如果a=7,b=24,求c的长. (2)如果c=13,b=12,求a的长 精品图书 金星教育 17.(8分)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A,B,C,D都在格点上. (1)线段AB的长度是 ,线段CD的长度是 (2)如果EF的长为√5，那么以AB,CD,EF三条线段为边能否构成直角三角形？说明理由 第17题图 18.教材例题改编(8分)如图，一个工人拿一个2.5m长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7m处， 另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4m,求梯子的底部向外滑出的距离 第18题图 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,求证：AE2=BE2+AC2 爱学子 拒绝盗印 D 第19题图 真题圈 金榜 班级 学号： 姓名 仙西初中考试真题 助你 题昌 者生 练考卷 弥 封 线 真题圈 精品图书 0.5m 要20型窗 21.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方”.请从以下图形（图①②）中任意选择一个来证明这个定理 b D e 2 B 6 ⑦ ② 第21题图 盗印必究 关爱学子 绝盗印 22.(12分)法国数学家费马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组 解.我们把满足该方程的正整数解(x,y,z)叫作勾股数，如(3,4,5)就是一组勾股数· (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n,y= n2-1,z=n2+1,那么以x,y,z为三边的三角形为直角三角形（即(x,y,z)为勾股数）请你加以证明 (2)探索规律：观察下列各组数(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，（9,40,41)，…，写出第6个数组 直题圈 精品图书 金星教育 1 23.(月考·24-25太原四十八中改编)(13分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm, AC=5cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动时间为ts. (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值 (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 第23题图 备用图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 0 一答案与解析 3.第二十章学情调研 题号12345678910 答案B D CB D CBCCC 1.B 2.D【解析】选项A中，12+22≠32，故不能作为直角三角形的 三边长，不符合题意；选项B中，(32)2+(42)2≠(52)2，故不能 作为直角三角形的三边长，不符合题意；选项C中，(V5)2+ (√4)2≠(V5)2,故不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 选项D中，12+（√2）2=（√3）2，故可以作为直角三角形的三边 长，符合题意.故选D. 3.C 4.B【解析】如图，由题知CD2=100,BC=64,在 64 Rt△BCD中，∠CBD=90°，根据勾股定理得 BD2=CD2-BC=36,所以正方形A的面积 为36.故选B. 100 5D【解析】由题可知，OB=V2+22=√5 :OA=OB=√5，∴.点A所表示的数是V5 第4题答图 故选D. 6.C【解析】根据题意，可得x2+y2=25,故B错误；又因为(x+ y)2=49,所以2y=24,故D错误；(x-y)2=x2-2xy+y2=1, 故A错误；由上述内容知x+y=7,x-y=1,所以x2-y2=7,故 C正确.故选C. 7.B【解析】72=49,152=225,202=400,242=576,252= 625, .72+242=252,152+202=252, .以7,24,25三根木棒能摆成直角三角形，以15,20,25三根 木棒能摆成直角三角形，故选B. 8.C【解析】：在长方形ABCD中，AB=8,AD=BC=6, .BD=√AB2+AD2=10. 根据折叠的性质，可得AD=A'D=6,AP=A'P,∠A= ∠PA'D=90°，.BA=4.设AP=x,则BP=8-x, 在Rt△A'PB中，：BP2=PA2+BA'2,.(8-x)2=x2+4,解得 x=3,∴AP=3. 故选C. 9.C【解析】过点D作DE⊥AB于点E,如示意图所示 由题意，得OA=OB=AD=BC, 设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸，DE=10寸， 0E=)CD=1寸，则AE=(-1)寸 在Rt△ADE中，AE2+DE=AD, 即(r1)2+102=2,解得r=50.5,∴.2r=101, .AB=101寸.故选C. 2寸 1尺 EO 第9题答图 10.C【解析】如图所示，将图展开，图形 D 长度增加2m,此时AB=10+2=12(m)】 连接AC,因为四边形ABCD是长方 A 形，所以∠B=90°.因为AB=12m, MN 第10题答图 BC=AD=5m,所以AC2=AB+BC2= 122+52=169,所以AC=13m,所以蜗牛从A点爬到C点，它 至少要走13m的路程.故选C. 11.84【解析】因为△ABC的三边长分别为7,24,25,7P+242= 252,所以△ABC是直角三角形，且直角边长为7,24，则△ABC 的面积=号×7×24=84.故答案为84 12.V41【解析】A(5,0),B(0,4),.OA=5,OB=4,.AB =VO+0B2=V52+42=√41，即A,B两点之间的距离是 √41.故答案为√41 13.√5【解析】如图所示，按如图所示分割后可拼成一个大正方 形，则大正方形的边长为V2+22=√5.故答案为√5. 第13题答图 14.8【解析】由题意，得AB2=A0+0B2=162+122=202,可知 连杆的长度等于20cm 当滑块A向下滑到0点时，滑块B距O点的距离是20cm,故 滑块B滑动了20-12=8(cm).故答案为8. 15.100【解析：CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, ·∠ACE=ACB,∠ACF=∠ACD, ·∠ECF=(LACB+∠ACD)=90° 又'EF∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, .∠ECB=∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF, .CM=EM=MF=5,..EF 10. 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.故答案为100 16.【解】(1)因为∠C=90°，a=7,b=24, 所以根据勾股定理得c2=2+b=7P+242=625 解得c=25(负值舍去)，所以c的长为25. (2)因为∠C=90°，c=13,b=12, 所以根据勾股定理得a2=c2-b=132-122=25, 解得a=5(负值舍去)，所以a的长为5. 17.【解】(1)132√2 分析：由题图可知，AB=√32+22=√13，CD=V22+22=2√2 (2)以AB,CD,EF三条线段为边能构成直角三角形. 理由：AB=13,CD=22,EF=√5， .CD2+EF=(22)2+(V5)2=8+5=13, AB2=(N13)2=13,∴.CD2+EF2=AB, .以AB,CD,EF三条线段为边能构成直角三角形 18.【解】.AB=2.5m,AC=0.7m, .BC=√AB2-AC2=2.4(m). 梯子的顶部下滑0.4m,∴.BE=0.4m, .'EC BC-BE =2(m), .'DC=DE2-EC2 1.5(m), .AD=1.5-0.7=0.8(m), .梯子的底部向外滑出0.8m. 19.【证明】如图，连接AD. :∠C=90°，D是BC的中点， DE⊥AB于点E, .'BD=CD, .AE2=AD2-DER D =AC2+CD2-(BD2-BE2) 第19题答图 =AC2+B2,∴AE=BE+AC. 20.【解】设AD=xm,则由题意可得， AB=(x-0.5)m,AE=(x-1)m. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2, 即(x-1)2+1.52=(x-0.5)2, 解得x=3. 答：秋千支柱AD的高为3m. 21.【证明】（方法1）由题图①可知，S正方形cD=(a+b)2=a2+ b2+2ab. 又因为SE话n=方×abx4+2=2ab+2, 所以a2+b2+2ab=2ab+c2,所以a2+b=c2. (方法2)由题图2可知，S形o=(a+b)×(a+b)=(c4 b+2ab)=74号B+ab 又因为Swww=号b×2+号2=ab+号2， 所以3a2+2+ab=ab+2c2,所以ar+b= 22.(1)【证明】x2+y=(2n)2+(n2-1)2=4r+n-2n2+1=n4+ 2m2+1=(2+1)2=z2,.(x,y,z)为一组勾股数， 即以x,y,z为三边的三角形为直角三角形 (2)【解】①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2×1+1， ②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1， ③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1， ④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1， .⑥2×6+1=13,2×6+2×6=84,2×62+2×6+1=85， .第6个数组是(13,84,85). 23.【解】(1)，∠ACB=90°，AB=13cm,AC=5cm, ∴.BC=12cm ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=l2cm, ∴.t=12÷2=6; ②当∠BAP为直角时， BP 2t cm,CP =(21-12)cm,AC=5 cm, 在Rt△ACP中，AP2=52+(2t-12)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 132+[5+(2-12)2]=(2)2,解得1=169 24 综上，当1=6或1=2时，△ABP为直角三角形. Γ24 (2)①当BP=BA=13cm时，t=6.5; ②当AB=AP时，BP=2BC=24cm,∴.t=12; ③当PB=PA时，PB=PA=2tcm,CP=(12-2t)cm,AC= 5cm,在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2, (2)2=54(12-2)2,解得1=162 48 综上，当t=6.5或t=12或t=16时，△4BP为等腰三角形， 48 4.重难题型卷（二）勾股定理及应用 1.B【解析】：以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形， 每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴·每个正 方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方， A项，由勾股定理，得S=5+15=20,故选项A不符合题意； B项，由勾股定理，得S=15-5=10,故选项B符合题意； 真题圈数学八年级下RJ3B C项，由勾股定理，得S=8+6=14,故选项C不符合题意； D项，由勾股定理，得S=8-6=2,故选项D不符合题意. 故选B. 2.12cm2【解析如图，过点C作CD⊥AB于点D. 因为AC=BC,CD1AB,所以AD=2AB=3cm 由勾股定理，得CD=AC2-AD2=16,解得CD=4cm(负值 舍去)，所以SMc-号AB·CD-号×6×4=12(cm2).故答案 为12cm2 5 cm 5 cm D 44 B 6 cm 第2题答图 第3题答图 3.12【解析】由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的长方形中 如图，a=3,b=1, .CD=DE=EF=CF=b=1,..BD =BG=BC-CD=a-b =2, 设AF=AG=x,∴.AC=x+1,AB=x+2, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC+BC, ∴.(x+2)2=(x+1)2+32,解得x=3,∴.AF=3,.AC=4, .长方形的面积为3×4=12.故答案为12. 4.【解](1)24÷4=6，设AC=x,则易得AB=6-x,又易知0C =OB=3, ∴.在Rt△AB0中，根据勾股定理，得(x+3)2+32=(6-x)2, 解得x=1,分×(3+1×3×4=7×4×3×4=24 故该飞镖状图案的面积是24. (2)40 3 分析：将正方形MWKT的面积设为x,将其余八个全等的直角 三角形每一个的面积设为y, 因为正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别 为S1,S2,S3,S+S2+S3=40, 所以S,=8y+x,S2=4y4x,S3=x, 则S+5+S=3x+12y=40,所以x4=9, 所以8=x4=9 5.C【解析】.∠C=90°，AC=6,BC=8, ∴.由勾股定理可得AB=10,根据翻折可得BE=5. 设DB=x,根据图形翻折可得AD=x,CD=8-x, 在Rt△ACD中，根据勾股定理可得62+(8-x)2=x2, 解得x=25 4 在Rt△DEB中，由勾股定理可得 DE=D8-BE=%-25= 故选C 6.9【解析】：四边形ABCD为长方形，AD=12,MN是边 AD的垂直平分线，∴.MN⊥AD,MN⊥BC, 易得AM=BN=AD=6,MN=AB=10, 根据折叠的性质，可知AE=A'E,A'B=AB=10,