第二十章勾股定理基础巩固测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

第二十章勾股定理 基础巩固测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B． C． D．或10 【答案】A 【分析】直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：设斜边长为，根据勾股定理得，， ， 即斜边长为． 2．已知直角三角形的两条边长分别是和，则它的第三边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】题目未说明已知边长中哪条是斜边，需要分两种情况分类讨论计算． 【详解】解：设第三边长为，分两种情况计算． 情况1：当是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理 ，边长为正数 ． 情况2：当是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理 ，边长为正数 ． 因此第三边长为或． 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 【答案】D 【分析】满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，不是“勾股数”，不符合题意； 不是“勾股数”，不符合题意； 不是正整数，故不是“勾股数”，不符合题意； 是“勾股数”，符合题意； 4．在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 【详解】解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 5．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 6．图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理计算出各条线段的长度，再估算出每条线段长度的范围，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴线段长度最接近的是． 7．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为折叠后点与点重合，可得．设的长为，那么．在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵折叠后点与点重合， ∴． 设， ∵， ∴ ， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，代入得： ， 解得 ， ∴的长为． 8．以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D 、，故选项符合题意． 9．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 10．如图，在中，，，．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；作射线交于点D．分别以D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线分别与，，相交于点G，E，F．下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，由作图得，平分，求出，然后得到垂直平分，求出，即可判断A；然后利用三角形内角和定理求出即可判断B；求出，利用三线合一即可判断C；得到，然后利用勾股定理求解即可判断D． 【详解】解：，， ∴ 由作图得，平分 ∴ ∴ 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴，故A正确； ∴，故B错误； ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故C正确； ∵，． ∴， ∴ ∴，故D正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况：点C在x轴上方和点C在x轴下方，过点C作于点H，求出的长，利用等边三角形的性质得到的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C在x轴上方时，过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴点C的坐标为； 同理可求出当点C在x轴下方时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 12．直角三角形中，，，则的长为________． 【答案】15或/或15 【分析】需分为斜边和为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算的长． 【详解】∵，故分两种情况讨论： ①当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； ②当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为15或． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 14．如图，在数轴上点表示实数______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边长度，结合数轴上点的位置即可求解； 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和， 根据勾股定理，， 圆弧是以原点为圆心，斜边长为半径画的， 的长度等于斜边长，即 ， 点在原点的左侧， 点表示的实数． 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 16．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点 D 在 BM 上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接 EM．则下列结论中： ①BF＝CE； ②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE＝2ME；④DE2＋DF2＝2DM2； ⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1； 正确的有_______．（只填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=，DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤； 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ACE=∠CBF， 又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC， ∴△BCF≌△CAE（AAS）， ∴BF=CE，故①正确； 由全等可得：AE=CF，BF=CE， ∴AE-CE=CF-CE=EF， 连接FM，CM， ∵点M是AB中点， ∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB， 在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM， ∴∠DBF=∠DCM， 又BM=CM，BF=CE， ∴△BFM≌△CEM（SAS）， ∴FM=EM，∠BMF=∠CME， ∵∠BMC=90°， ∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形， ∴EF=EM=AE-CE，故③错误，∠MEF=∠MFE=45°， ∵∠AEC=90°， ∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确， 设AE与CM交于点N，连接DN， ∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°， ∴△DFM≌△NEM（ASA）， ∴DF=EN，DM=MN， ∴△DMN为等腰直角三角形， ∴DN=DM，而∠DEA=90°， ∴DE2+DF2=DN2=2DM2，故④正确； ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°， ∵∠DEM=45°， ∴∠EMD=67.5°，即DE=EM， ∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE， ∴△ADE≌△ACE（ASA）， ∴DE=CE， ∵△MEF为等腰直角三角形， ∴EF=EM， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．如图，在四边形中，点在边上，． (1)求证： (2)若是的垂直平分线，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）通过证明、是等边三角形，得到是含有的直角三角形，再由的直角三角形性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴． 18．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】根据全等的判定和性质，可得，得到，根据勾股定理的逆定理，即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 19．在四边形中，，，，，， (1)求的长 (2)判断与是否也垂直，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】（1）因为，所以是直角三角形，可利用勾股定理求的长． （2）要判断与是否垂直，可先计算出的长度，再结合、的长度，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】（1）解：已知， 因此是直角三角形，． 根据勾股定理 ， 代入，， 得， 因为线段长度为正， 因此 ． （2）解：．理由如下： 已知，，， 得： ， 可得 ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，， 因此 ． 20．已知寻乌某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量．若每平方米草皮需要180元，问需要多少投入？ 【答案】需要投入6480元 【分析】连接，利用勾股定理先求得，再用勾股定理逆定理判断，然后求出四边形的面积进一步求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵每平方米草皮需要180元， ∴ (元)． ∴需要投入6480元． 21．如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 【答案】叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 【详解】解：过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 22．如图1和图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出长度分别为，的线段，且线段的端点都在格点上； (2)在图2中，画出一个面积为5的，且点A，B，C都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格与勾股定理求解即可． （2）利用网格与勾股定理画出一个腰长为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如答图1，即为所求（答案不唯一）． （2）解：如答图2，即为所求（答案不唯一）． 23．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 24．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章勾股定理 基础巩固测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B． C． D．或10 2．已知直角三角形的两条边长分别是和，则它的第三边长为（    ） A． B． C． D．或 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 4．在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，在中，，，．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；作射线交于点D．分别以D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线分别与，，相交于点G，E，F．下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 12．直角三角形中，，，则的长为________． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 14．如图，在数轴上点表示实数______． 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 16．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点 D 在 BM 上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接 EM．则下列结论中： ①BF＝CE； ②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE＝2ME；④DE2＋DF2＝2DM2； ⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1； 正确的有_______．（只填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分。17．如图，在四边形中，点在边上，． (1)求证： (2)若是的垂直平分线，，求． 18．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 19．在四边形中，，，，，， (1)求的长 (2)判断与是否也垂直，并说明理由． 20．已知寻乌某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量．若每平方米草皮需要180元，问需要多少投入？ 21．如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 22．如图1和图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出长度分别为，的线段，且线段的端点都在格点上； (2)在图2中，画出一个面积为5的，且点A，B，C都在格点上． 23．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 24．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $