精品解析：广东东莞市2025-2026学年第二学期期中质量自查试卷八年级数学

2025-2026学年第二学期期中质量自查试卷八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 3. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 4. 下列选项中，运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的化简可判断A，根据二次根式的乘方运算可判断B，根据二次根式的减法运算可判断C，根据二次根式的除法运算可判断D，从而可得答案； 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，除法运算，乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键． 5. 设、为实数，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据算术平方根有意义的条件即可确定x的值，进而求出y的值，代入原式即可得出． 【详解】解：根据题意可得:，解得： 当时， 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数是非负数． 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，，得到，结合，，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③；不平行，则，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且 ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 当点在边上， ∵不平行， ∴， ∴不可能是等边三角形，故④错误； ∴正确的有①③，共2个， 故选；B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 13. 如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角，根据除以正多边形的边数即可救出结果． 【详解】解：因为多边形是正八边形， 所以，， 故答案为：． 14. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积______ 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 三、解答题（一）（共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：． 【答案】 四边形是平行四边形 ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】先求出，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每小题7分，共21分） 18. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、运用乘法公式进行因式分解等知识点，灵活掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先求出，然后对原式进行因式分解后代入计算即可； （2）先求出、，然后对原式进行因式分解后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． 【小问2详解】 解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 20. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理的逆定理证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故蔬菜区边的长为． 【小问2详解】 解：∵， ，， 则，， 即， ∴， ∴劳动基地的面积为：， 故劳动基地（四边形）的面积为． 五、解答题（三）（共3小题，每小题8分，共24分） 21. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则_______，_______； （2）已知是的算术平方根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将配方为，再根据左右两边式子相等得到的值； （2）先利用配方法得到的算术平方根，代入代数式计算即可． 【小问1详解】 解：， 由可得； 【小问2详解】 解：， ， ∴． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． （1）求A，B两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】（1）米； （2）段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由勾股定理即可求解； （2）过C作于D.先用等积法求出，比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度． 【小问1详解】 解：在中，米，米， （米）. 答：A，B两村之间的距离为米； 【小问2详解】 公路有危险而需要封锁. 理由如下：如图，过C作于D. ， （米）． 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 米， （米），是等腰三角形， ∴ ∴（米）， 则需要封锁的路段长度为米． 六、解答题（四）（共2小题，每小题10分，共20分） 24. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简：__________； （2）化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （3）黄金矩形ABCD的长____________； （4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： （5）在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 矩形DCEF是黄金矩形，理由如下： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可知： ， FD=EC=AD-AF， ， 所以矩形DCEF是黄金矩形； （5） 【解析】 【分析】（1）仿照题干中的过程进行计算即可； （2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可； （3）根据黄金矩形定义结合AB=1进行计算即可； （4）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值为即可； （5）在图②中，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可． 【小问1详解】 化简：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：原式＝ 【小问3详解】 ∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， 黄金矩形ABCD的长BC为：． 故答案为：． 【小问4详解】 略 【小问5详解】 如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，， ， 在△AED中， ， ， ， 解得， 以点D到线段AE的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 25. 如图，在正方形中， （1）如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； （2）如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； （3）如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 【答案】（1） 证明：在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， 且； （2） 解：， 理由如下： 作交于，作交于，如图所示： ， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ， 由（1）的证明过程可知，则， ； （3）， 【解析】 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质求证即可； （2）作交于，作交于，由平行四边形的判定与性质得到，再结合（1）的证明过程得出即可确定答案； （3）连接，由勾股定理及折叠性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 为的中点， ， 在中，由勾股定理可得， 由折叠性质可知，则由（2）的证明过程可知， 设，则由折叠性质可知， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中质量自查试卷八年级数学 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设、为实数，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 9. 如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 13. 如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则________． 14. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积______ 三、解答题（一）（共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：． 四、解答题（二）（共3小题，每小题7分，共21分） 18. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 20. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 五、解答题（三）（共3小题，每小题8分，共24分） 21. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则_______，_______； （2）已知是的算术平方根，求的值． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． （1）求A，B两村之间的距离； （2）为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 六、解答题（四）（共2小题，每小题10分，共20分） 24. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简：__________； （2）化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （3）黄金矩形ABCD的长____________； （4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： （5）在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 25. 如图，在正方形中， （1）如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； （2）如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； （3）如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $