精品解析：辽宁沈阳铁路实验中学2025-2026学年高一下学期四月月考数学试题

沈阳铁路实验中学2025-2026学年度下学期高一年级四月考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 试卷说明：本试卷分第I卷选择题（1-11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12-19题，共92分）．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．作答时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递增 ③在有4个零点 ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分对给部分分，有选错得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当 D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象过点 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 角终边在直线上，则___________． 13. 已知，且，则___________． 14. 设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． （1）求的大小． （2）设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 17. 已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. （1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 18. 设函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，求的值． （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳铁路实验中学2025-2026学年度下学期高一年级四月考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 试卷说明：本试卷分第I卷选择题（1-11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12-19题，共92分）．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．作答时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】已知，故角为第二象限角． 2. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 【详解】由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 3. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除C，根据取值利用排除法，即可得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以为偶函数，排除选项B； 由，排除选项D； 由，排除选项C. 故选：A. 4. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 5. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设所在圆半径为，所在圆半径为，由，得， 又，则， 所以该梅花砖雕的平面图形的面积为（）. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 所以 7. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递增 ③在有4个零点 ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C． 【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C． 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分对给部分分，有选错得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D错误． 10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当 D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】先求的解析式：将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得． 选项A：的最小正周期，故A正确． 选项B：对称轴满足不满足，故B错误． 选项C：，解得，故C正确． 选项D：当时，， 令，则， 又在上单调递增、在上单调递减，． 所以，当时，有两个不等实根，故D正确． 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象过点 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可. 【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有， 即，由函数的图象可知：，又，所以， 即，由图象可知：，所以，因此A不正确； 对于B：，所以B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以函数的图象关于直线对称，因此C正确； 对于D： 当时，， 当， ， 当函数在区间上不单调时，则有，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 角终边在直线上，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，若角的终边在第一象限，则终边上有点，则， 若角的终边在第三象限，则终边上有点，则， 所以. 13. 已知，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据条件，结合同角三角函数的关系，可得的值，根据诱导公式，化简即可得答案. 【详解】因为，所以， 由，得， 所以． 故答案为： 14. 设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】令，，，可得，，所以，，，共圆，由正弦定理可得圆的直径，从而可得，当为直径时最大，即可求解. 【详解】由题设，，而，则， 令，，，则，， 又，如下图示： 所以，，则， 故，，，共圆， 而，即， 故外接圆直径， 对于，当为直径时最大，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【小问1详解】 由题意可知：，则，，， 所以 【小问2详解】 由题意可知， ∴， ， ∴. 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． （1）求的大小． （2）设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解； （2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解. 【小问1详解】 由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． 【小问2详解】 设，其中，则． ， 故的取值范围是． 17. 已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. （1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【答案】（1），， （2）5个小时 【解析】 【分析】（1）由表中数据知，然后利用周期公式可求出，再由，和，，可求出，从而可求出解析式， （2）利用余弦函数的性质解即可得答案. 【小问1详解】 由表中数据知，所以. 由，，得. 由，，得，故，， 所以函数解析式为：. 【小问2详解】 由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以， 所以，所以，， 即，. 又因为，故可令 得，或，或. 所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00. 18. 设函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若，求的值． （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得 和 ，结合周期公式求出 ，再将 代入 结合正弦函数的性质和 即可求出 ，从而得解． （2）先根据，得到，再结合确定的范围，求出的值，最后利用诱导公式对化简求值． （3）先求出 在 的值域，接着令 ，将不等式 在 上恒成立等价变形为 在 上恒成立，从而将问题转化为求函数 在 上的最小值，求出该最小值即可得解． 【小问1详解】 由图得，， 所以，故，所以， 将代入得， 所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 因为，所以，所以， 所以，令， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以函数在上单调递增， 所以当时，有，所以，即． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求出递增区间. （2）①换元，利用二次函数在闭区间上的最值问题求出；②由①求出函数在上的值域，由（1）求出函数在上的值域，再按分类并利用集合的包含关系求出范围. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，解得， 则，由，得， 由或，得或， 所以函数在区间上的单调递增区间是. 【小问2详解】 ①令，，由，得二次函数图象的对称轴， 当，即时，函数在上单调递减， 则，解得，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，而，解得， 所以. ②由①得函数在上的值域为， 则函数在上的值域为， 当时，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 由，使， 得函数在上的值域包含于函数在上的值域， 当时，，不合题意； 当时，， 由，得，解得， 当时，， 由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $