专题5.2 简单的轴对称图形（同步培优讲义）知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.2 简单的轴对称图形『第五章 图形的轴对称』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 等腰三角形 2 知识点二 等边三角形 2 知识点三 垂直平分线的性质 2 知识点四 尺规作垂直平分线 2 知识点五 角平分线的性质 3 知识点六 尺规作角平分线 3 重点难点 考点讲练 4 题型1：等边对等角 4 题型2：三线合一 4 题型3：线段垂直平分线的性质 5 题型4：作已知线段的垂直平分线 6 题型5：角平分线的性质定理 7 题型6：作角平分线(尺规作图) 8 题型7：最短路径问题 9 题型8：线段问题(轴对称综合题） 10 题型9：面积问题(轴对称综合题） 11 题型10：其他问题(轴对称综合题） 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 闯关训练 16 【基础夯实 能力提升】 16 【创新拓展 拔尖冲刺】 19 知识点一 等腰三角形 （1）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 知识点二 等边三角形 （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 知识点三 垂直平分线的性质 （1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点四 尺规作垂直平分线 （1）过一点作已知线段的垂线 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线 （2）作已知线段的垂直平分线 作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点；②连接CD，即为所求 知识点五 角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 知识点六 尺规作角平分线 作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 ②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 题型1：等边对等角 【典例精讲】（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【变式训练2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 题型2：三线合一 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型3：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 题型4：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【变式训练1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 题型5：角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 题型6：作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【变式训练1】（25-26七年级下·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 题型7：最短路径问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 题型8：线段问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的;（要求：A与，B与，C与相对应） (2)的面积是______； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，方格图中每个小正方形的边长都为1，点、，都是格点． (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的值最小． 题型9：面积问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 题型10：其他问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【变式训练2】（24-25七年级下·山东济南·期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，MN⊥AC于N，MN=2，则△ABM的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，则下列结论中：①；②若，则有AD平分；③若，则；其中结论正确的选项有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（2024·安徽宿州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为___________ ． 4．（2024·广东清远·中考真题）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 6．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东河源·期末）等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 6．（24-25七年级下·江西·期中）如图中，平分，且，若，则 ____________． 7．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在中，平分，过点作交于点交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____________．    8．（24-25七年级下·江苏·期末）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与 (或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到与垂直时（如图1），易证：．当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.2 简单的轴对称图形『第五章 图形的轴对称』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 等腰三角形 1 知识点二 等边三角形 2 知识点三 垂直平分线的性质 2 知识点四 尺规作垂直平分线 2 知识点五 角平分线的性质 3 知识点六 尺规作角平分线 3 重点难点 考点讲练 4 题型1：等边对等角 4 题型2：三线合一 5 题型3：线段垂直平分线的性质 7 题型4：作已知线段的垂直平分线 9 题型5：角平分线的性质定理 12 题型6：作角平分线(尺规作图) 14 题型7：最短路径问题 16 题型8：线段问题(轴对称综合题） 19 题型9：面积问题(轴对称综合题） 22 题型10：其他问题(轴对称综合题） 26 中考真题 实战演练 29 难度分层 闯关训练 35 【基础夯实 能力提升】 35 【创新拓展 拔尖冲刺】 43 知识点一 等腰三角形 （1）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 知识点二 等边三角形 （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 知识点三 垂直平分线的性质 （1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点四 尺规作垂直平分线 （1）过一点作已知线段的垂线 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线 （2）作已知线段的垂直平分线 作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点；②连接CD，即为所求 知识点五 角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 知识点六 尺规作角平分线 作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。 ②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线 题型1：等边对等角 【典例精讲】（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 题型2：三线合一 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 题型3：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 题型4：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 【变式训练1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)， 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． ②结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （2）点到直线的距离即为该点到直线的垂线段长度，据此即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ①是线段的垂线，②是线段的垂直平分线； （2）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，掌握好尺规作图的步骤是关键． 按照角平分线和线段垂直平分线作图的步骤进行操作即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 题型5：角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型6：作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭，使其到小路的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ）． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟悉角平分线的性质：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 将“凉亭到小路的距离相等”转化为“点在与相交所成角的平分线上”，判断点为的角平分线与的交点的作图即可． 【详解】解：甲方案：在的垂直平分线上， 到的距离相等，不一定到和的距离相等， 乙方案：平分， 由角平分线的性质定理可得：到小路的距离相等， ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积15 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 题型7：最短路径问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【变式训练1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 题型8：线段问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的;（要求：A与，B与，C与相对应） (2)的面积是______； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称中的最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知轴对称图形对应点到对称轴上一点的距离相等是解题的关键． （1）根据轴对称图形的特点找到、、的对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，所作△即为所求； （2）解：， 故答案为：5； （3）解：如图所示，点即为所求； 连接交于， 由对称性可得，则， 当、、三点共线时，最小，即最小． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，方格图中每个小正方形的边长都为1，点、，都是格点． (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，三角形的面积，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）连接交于点，利用两点之间线段最短可得到，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）的面积； （3）如图，点为所作， ， 当在上时的值最小． 题型9：面积问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)24 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）如图，直线和 即为所求； ， （2）如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， （3）四边形的面积为： ． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【详解】（1）如图所示:即为所画； （2） . ∴的面积为6． 题型10：其他问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：即为所求，如图：   ； （2）解：作点关于x轴对称的点，    由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解： ． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解： 是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【变式训练2】（24-25七年级下·山东济南·期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积； (3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为5 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线于点Q，此时最小． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：的面积； （3）解：如图，点为所作，   ． 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，MN⊥AC于N，MN=2，则△ABM的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，得出，即可求解． 【详解】解：过点作， 由题意得：是的角平分线， ， ， ， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，则下列结论中：①；②若，则有AD平分；③若，则；其中结论正确的选项有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3；②根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论． 【详解】解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3， 故①正确； ②∵BC∥AE， ∴∠3=∠B， ∵∠C=∠B=45°， ∴∠3=45°， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2=45°， ∴AD平分∠CAB， 故②正确； ③∵∠3=2∠2，∠1=∠3， ∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°， ∴3∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴∠3=60°，又∠E=30°， 设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°， ∵∠B=45°， ∴∠4=45°， ∴∠C=∠4． 故③正确． 故正确的选项有：①②③． 故选D． 3．（2024·安徽宿州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为___________ ． 【答案】8 【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， 的周长为， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故答案为：8． 4．（2024·广东清远·中考真题）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明： ， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，可得，由，可得即可． 【详解】解：∵直线， ∴， 又∵， ∴． 2．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 4．（2024七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 6．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)11 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论； （3）连接，交直线于点，由此即可得解； （4）连接，并延长交直线于点，由此即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图： ． （3）解：如图，点即为所求． （4）解：如图，点即为所求． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·广东河源·期末）等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，作于，由等腰三角形的性质可得，，，，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，再由三角形面积公式计算得出的长即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于， ， ∵等腰三角形中，，E是高上任意一点， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得，点P是得中点，根据作图意义解答即可． 本题考查了中线与三角形的面积，尺规作图，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，得，点P是的中点， A. 作图是的垂直平分线，点P是的中点，符合题意； B. 作图是,点P不是的中点，不符合题意； C. 作图是是的平分线，点P不是的中点，不符合题意； D. 作图是，点P不是的中点，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江西·期中）如图中，平分，且，若，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将线段关系进行转化，进而利用角度关系求解． 通过在上截取，构造，将转化为，再结合线段关系得出，从而利用角度关系求出． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在中，平分，过点作交于点交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____________．    【答案】①②④⑤ 【分析】延长CD，交AB的延长线于H，连接HP、HG，作于M，于N，于Q，根据角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的和差关系、全等三角形的性质以及判定定理、三角形面积公式分别求解即可． 【详解】延长CD，交AB的延长线于H，连接HP、HG，作于M，于N，于Q ，即， ，即△ACH为等腰三角形 ∵AD平分∠BAC ∴AD为HC的垂直平分线 ∵∠BCA的平分线CF交AD于点P ∴，故①正确 ∵平分，作的平分线交于点，交于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确 ∵CF为∠ACB的角平分线 ∴HP为∠FHG的角平分线 在△HFP和△HGP中 ∴，故④正确 ∵，， ∴ ，， ，故⑤正确 故答案为：①②④⑤．    8．（24-25七年级下·江苏·期末）已知，在的平分线上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与 (或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到与垂直时（如图1），易证：．当三角板绕点C旋转到与不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【答案】在图2、图3这两种情况下成立，证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．结合角平分线的性质作出辅助线，进而证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：图2中成立，证明如下： 如下图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 图3中成立，证明如下： 如下图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ， 同图2可证， ∴． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系； （2）①利用外角的关系用其他角度表示，再由三角形外角进行换角计算得到为，得到垂直关系；②通过设元，通过外角和角平分线换角用表示，即可得到两个角的大小关系． 【详解】（1）平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， （2）①如图2，与交于点O，    由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $