专题5.1 轴对称及其性质（同步培优讲义）知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.1 轴对称及其性质『第五章 图形的轴对称』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 轴对称图形 2 知识点二 两个图形成轴对称 2 知识点三 轴对称的有关概念与性质 2 知识点四 画对称轴 3 知识点五 画已知图形的轴对称图形 3 重点难点 考点讲练 3 题型1：轴对称图形的识别 3 题型2：成轴对称的两个图形的识别 4 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 5 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 6 题型5：求对称轴条数 7 题型6：折叠问题 9 题型7：画对称轴 10 题型8：画轴对称图形 11 题型9：设计轴对称图案 13 题型10：车牌号码的镜面对称 14 题型11：钟表的镜面对称 15 题型12：电子钟示数的镜面对称 16 题型13：台球桌面上的轴对称问题 16 题型14：轴对称中的光线反射问题 18 中考真题 实战演练 19 难度分层 闯关训练 24 【基础夯实 能力提升】 24 【创新拓展 拔尖冲刺】 33 知识点一 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。 知识点二 两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合. 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换. 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 知识点三 轴对称的有关概念与性质 1.对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角. 2.轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 成轴对称的三个条件 （1）找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 知识点四 画对称轴 1.画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2.画对称轴的步骤： （1） 找：找到任意一对对应点； （2） 连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 知识点五 画已知图形的轴对称图形 1.方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 2.步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连” （1）找：在原图形上找特殊点； （2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点. 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期中）下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，就是轴对称图形， 对四个选项逐一判断． 【详解】解：A跑步图标：找不到能使图形对折后完全重合的直线，不是轴对称图形； B射箭图标：动作左右不对称，对折后无法完全重合，不是轴对称图形； C击剑图标：不存在满足条件的对称轴，对折后无法重合，不是轴对称图形； D举重图标：沿图形中间的竖直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”可知：只有C选项符合题意． 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 题型5：求对称轴条数 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 题型6：折叠问题 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一个长，宽的长方形，沿对角线对折后，得到一个新的图形（如图），其中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各个顶点和交点标出，根据折叠，推出，，再根据阴影部分的周长代入即可求解． 【详解】解：如图所示，标出各个顶点与交点， 据题意可得：，， ∵长方形沿对角线对折， ∴，， ∴阴影部分的周长． 题型7：画对称轴 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 题型8：画轴对称图形 【典例精讲】（24-25七年级下·云南文山·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的正方形网格中． (1)作出该图形关于直线对称的图形； (2)求出这个图形的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)． 【分析】本题考查轴对称图形绘制与网格中图形面积计算，熟练掌握运用轴对称性质找对称点来完成作图以及运用割补法求面积是解题的关键． （1）作轴对称图形的核心是找到关键点关于直线的对称点，再按原图顺序依次连接即可； （2）通过分割法将复杂图形转化为两个简单三角形，以为底利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示即为所作图形； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积的计算． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点、、的坐标，描出各点，依次连接即可画出； （2）采用割补法，构造一个能够完全包围的最小矩形，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图，关于轴对称的图形即为所求； （2）解：由图可知，． 题型9：设计轴对称图案 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果． 【详解】解：观察四个选项，只有选项C中的图形是由题目图形经过轴对称变换得到． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 【答案】4 【详解】解：如图所示： 能满足条件的线段有4条． 题型10：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 题型11：钟表的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，的实际时间应该是． 故答案为： 题型12：电子钟示数的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可． 【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·云南昆明·期中）电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 题型13：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 题型14：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，三角形的面积公式，轴对称—最短路线问题等知识点，熟练掌握轴对称图形的作法及轴对称的性质是解题的关键． （1）按照画轴对称图形的方法画出关于直线l成轴对称的即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交直线l于点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：的面积， 故答案为：； （3）解：如图，连接，交直线l于点，则点即为所求． 1．（2024·贵州遵义·中考真题）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∴，结论正确，故A不符合题意； ∵， ∴，即，结论正确，故B不符合题意； ∴，和不一定相等，结论错误，故C符合题意； ∵，结论正确，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2024·山东淄博·中考真题）已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，折叠的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质，列代数式即可得出答案． 【详解】解： ，， ． 将纸片沿折叠，使点与点重合， ． 将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合， ，， ， 的周长为． 故选：D． 3．（2024·四川达州·中考真题）在​中，​，将沿​折叠，使得点​恰好落在​的延长线上的点​处，​交边​于点​．若​，，，​，则​的度数是_____（用含​的代数式表示）；​的长度为___（用含​的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用折叠性质、对顶角相等、同角的余角相等，可得、，进而证得，从而求出；利用证明，结合线段比例关系，从而求出． 【详解】解：将沿​折叠得到， ，， ，， ，， ， ， ， ； ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 4．（2024·福建福州·中考真题）小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点的对应点恰好落在折痕上，进而研究该折纸过程中角的变化．若，则用含的式子表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，平角的定义，设，则，根据折叠的性质可得，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵折叠， ∴， 又∵ 即 ∴ ∴， 故答案为：． 5．（2024·江西抚州·中考真题）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，然后根据即可求解； （2）先求出，由折叠的性质，得到，，求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， 因为， 所以， 即． （2）解：因为， 所以， 由折叠的性质，得， 所以， 所以． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的对边平行可得，求出图1中，图2中根据折叠性质求出，图3中根据折叠性质及求出度数． 【详解】解：图1中，纸带是长方形， ， ，， 由折叠可知，图2的与图1的相等，且图2与图3的， 在图2中，， 再由折叠可知，图3的与图2的相等， 在图3中，． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义.首先根据折叠性质和平角定义求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，最后结合折叠性质和平角定义求出的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， 又∵， ， ． 4．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知．    （1）__________； （2）__________． 【答案】 【分析】由折叠可知：，，，由折叠的性质得，过点作，然后分别求出，，即可求得的度数． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵，， ∴， ∴； 过点作，如图， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 【答案】 【分析】根据长方形对边平行得到内错角相等，利用平行线性质求出，再结合折叠性质确定，则可求． 【详解】解： 由折叠的性质得， ∵ ， ∴ ∴， ， ． 6．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据邻补角的定义可知，根据折叠的性质可知，所以可得，根据平行线的性质可知，根据折叠的性质可知． 【详解】解：， ， ， ， ， 由折叠可知， , ， ， 由折叠可知． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合平角求出即可得到答案 【详解】解：根据折叠得，平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系内，已知． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积为 ． 【答案】(1)作图详见解析 (2) 【分析】先由点的对称性作出图形，再由网格中求三角形面积的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 的面积为． 10．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得， ． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当在上方时，延长，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当在下方时，延长，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【详解】解：如图1，当在上方时，延长，二线交于点Q， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当在下方时，延长，二线交于点T， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，∠EFC的度数为或， 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应点到对称轴的距离相等，可得，，……，以此类推，找出规律，即可求解． 【详解】解：由折叠知，，，，…… 以此类推，， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质以及平行线的性质分别表示出，，即可求解． 【详解】解：设， ∴ ∵第一次沿折叠，第二次沿折叠， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 【答案】或 【分析】分点在直线上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 将沿着翻折得，点的对应点为点， ∴， ①当点在直线上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点在直线下方时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 【答案】 90 【分析】先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到，当时，最小，则的面积最小，先求出，再求出面积的最小值即可． 【详解】解：由翻折得：，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 要使最小，当时，最小，则的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基本模型】在图1中，请直接写出，，之间的数量关系_____； (2)【类比探究】在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由； (3)【应用拓展】如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，则，根据两直线平行内错角相等，以及角的和差关系，即可证明结论； （2）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等，以及角的和差关系，即可证得结论； （3）根据平行线的性质和折叠的性质，得出，，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，． ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）解：四边形为长方形， ，即． ∵， ∴，． ∵将长方形纸条沿折叠， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，得到； ①根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质即可得到结论； ②根据上述过程可得：，求得，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F， ， ． 四边形是长方形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ∴， ， ． 继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H， ， ， ； ②根据上述过程可得：， ， ， ， 解得， ． 10．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)与是一组“巧角”，理由见解析 (2)①或；②或或或 【分析】（1）利用折叠的角相等性质，计算出两个角的差，验证是否符合“巧角”定义； （2）①由三点共线和折叠性质得到，结合“巧角”的绝对值方程求解； ②分重叠和无重叠两种情况，利用角度关系建立方程，结合“巧角”定义求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 若，则，解得， ，故与是一组“巧角”． （2）①解：根据题意可知，，， ， 可得，即， 与是一组“巧角”，则， 若，即， 则有， 解得； 若，即， 则有， 解得， 综上，或． ②解：如图，当折叠后与无重叠部分， ，，， ， ， ， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，即， 可得， 解得， ； 如图，当折叠后与有重叠部分， ，，， ， ，即， ， ， 解得， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，， 可得， 解得， ． 综上，或或或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题5.1 轴对称及其性质『第五章 图形的轴对称』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 轴对称图形 2 知识点二 两个图形成轴对称 2 知识点三 轴对称的有关概念与性质 2 知识点四 画对称轴 3 知识点五 画已知图形的轴对称图形 3 重点难点 考点讲练 3 题型1：轴对称图形的识别 3 题型2：成轴对称的两个图形的识别 4 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 4 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 5 题型5：求对称轴条数 5 题型6：折叠问题 6 题型7：画对称轴 6 题型8：画轴对称图形 7 题型9：设计轴对称图案 8 题型10：车牌号码的镜面对称 8 题型11：钟表的镜面对称 9 题型12：电子钟示数的镜面对称 9 题型13：台球桌面上的轴对称问题 9 题型14：轴对称中的光线反射问题 10 中考真题 实战演练 10 难度分层 闯关训练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【创新拓展 拔尖冲刺】 16 知识点一 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。 知识点二 两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合. 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换. 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 知识点三 轴对称的有关概念与性质 1.对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角. 2.轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 成轴对称的三个条件 （1）找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 知识点四 画对称轴 1.画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2.画对称轴的步骤： （1） 找：找到任意一对对应点； （2） 连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 知识点五 画已知图形的轴对称图形 1.方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 2.步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连” （1）找：在原图形上找特殊点； （2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点. 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期中）下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 题型5：求对称轴条数 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·月考）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    题型6：折叠问题 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一个长，宽的长方形，沿对角线对折后，得到一个新的图形（如图），其中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 题型7：画对称轴 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【变式训练】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 题型8：画轴对称图形 【典例精讲】（24-25七年级下·云南文山·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的正方形网格中． (1)作出该图形关于直线对称的图形； (2)求出这个图形的面积． 【变式训练】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)的面积为___________． 题型9：设计轴对称图案 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 题型10：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式训练】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 题型11：钟表的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 题型12：电子钟示数的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为_____． 【变式训练】（24-25七年级下·云南昆明·期中）电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 题型13：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 题型14：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)的面积为__________； (3)在直线l上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹） 1．（2024·贵州遵义·中考真题）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 2．（2024·山东淄博·中考真题）已知一张三角形纸片（如图①），其中，。将纸片沿折叠，使点与点重合（如图②）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合（如图③），则的周长为（    ） A． B． C．5 D． 3．（2024·四川达州·中考真题）在​中，​，将沿​折叠，使得点​恰好落在​的延长线上的点​处，​交边​于点​．若​，，，​，则​的度数是_____（用含​的代数式表示）；​的长度为___（用含​的代数式表示）． 4．（2024·福建福州·中考真题）小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点的对应点恰好落在折痕上，进而研究该折纸过程中角的变化．若，则用含的式子表示为________． 5．（2024·江西抚州·中考真题）点分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，求的度数． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知．    （1）__________； （2）__________． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 6．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是______． 8．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系内，已知． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积为 ． 10．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基本模型】在图1中，请直接写出，，之间的数量关系_____； (2)【类比探究】在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由； (3)【应用拓展】如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 10．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $