第5章 图形的轴对称【章节复习培优讲义】知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 第5章 图形的轴对称『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 轴对称图形 2 知识点二 轴对称性质 2 知识点三 画轴对称图形 3 知识点四 线段垂直平分线性质 3 知识点五 角的平分线的性质 3 知识点六 等腰三角形的概念与性质 3 知识点七 等边三角形的概念与性质 3 知识点八 将军饮马-最短路径问题 4 重点难点 考点讲练 4 题型1：轴对称图形的识别 4 题型2：成轴对称的两个图形的识别 5 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 5 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 6 题型5：求对称轴条数 6 题型6：折叠问题 7 题型7：画对称轴 7 题型8：画轴对称图形 8 题型9：设计轴对称图案 9 题型10：车牌号码的镜面对称 9 题型11：钟表的镜面对称 10 题型12：台球桌面上的轴对称问题 10 题型13：等边对等角 10 题型14：三线合一 11 题型15：线段垂直平分线的性质 11 题型16：作已知线段的垂直平分线 12 题型17：角平分线的性质定理 13 题型18：作角平分线(尺规作图) 13 题型19：最短路径问题 14 题型20：线段问题(轴对称综合题） 14 题型21：面积问题(轴对称综合题） 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 闯关训练 18 【基础夯实 能力提升】 18 【创新拓展 拔尖冲刺】 19 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）下列通信图标中，不属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若 ，则线段的长为_______． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 题型5：求对称轴条数 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，该轴对称图形有________条对称轴． 题型6：折叠问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型7：画对称轴 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）画出下列图形的对称轴 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型8：画轴对称图形 【典例精讲】（25-26七年级下·广东惠州·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【变式训练】（25-26七年级下·云南保山·月考）如图，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线对称的； (2)在上找出一点，使得的值最小． 题型9：设计轴对称图案 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 题型10：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    题型11：钟表的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·月考）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 题型12：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【变式训练】（24-25七年级下·河南濮阳·月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 题型13：等边对等角 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 题型14：三线合一 【典例精讲】（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·甘肃临夏·期末）如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 题型15：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 题型16：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 题型17：角平分线的性质定理 【典例精讲】（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【变式训练】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 题型18：作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）快递服务让我们的生活更加便捷．为了更高效地服务于客户，某快递公司计划新修建一个快递中转站．如图所示，为了取送方便，要求该快递中转站到，两条公路的距离相等，且到E，D两个小区的距离相等．请用尺规作图法，求作该快递中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型19：最短路径问题 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，牧羊人从羊圈地出发，先让羊群在草地吃草，再让羊群去河流饮水，再将羊群带到点处休息．请你帮牧羊人确定最短的出行路线． 题型20：线段问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1)格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上找一点P使得周长最小． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是______． 题型21：面积问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)直接写出的面积__________； (3)在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 1．（2024·山西大同·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 2．（2024·广东深圳·中考真题）活动课上，数学小组成员开展探寻角的活动．下列操作结果不为角的是（   ） A．如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，得到时针与分针的夹角大小 B．如图2，拼摆一副三角板，得到的大小 C．如图3，用量角器测量，得到的大小 D．如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小 3．（2024·江苏扬州·中考真题）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则____________． 4．（2024·上海·中考真题）将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 5．（2024·河北保定·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)在（1）的作图下，求的面积． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，一张四边形纸片，，点，分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，使点落在处，点落在处．已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点G，再将其沿折叠，点分别落在点处，若折叠后，则的度数为______． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，，将长方形纸片沿直线折叠，如图2所示，再沿折痕折叠，如图3所示，则图3中的度数为________． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，，分别是边和上的动点，且，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏           D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 第5章 图形的轴对称『章节复习培优讲义』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共57题） 〔解析版〕 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 轴对称图形 2 知识点二 轴对称性质 2 知识点三 画轴对称图形 2 知识点四 线段垂直平分线性质 3 知识点五 角的平分线的性质 3 知识点六 等腰三角形的概念与性质 3 知识点七 等边三角形的概念与性质 3 知识点八 将军饮马-最短路径问题 3 重点难点 考点讲练 4 题型1：轴对称图形的识别 4 题型2：成轴对称的两个图形的识别 5 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 6 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 7 题型5：求对称轴条数 8 题型6：折叠问题 9 题型7：画对称轴 11 题型8：画轴对称图形 12 题型9：设计轴对称图案 14 题型10：车牌号码的镜面对称 15 题型11：钟表的镜面对称 16 题型12：台球桌面上的轴对称问题 17 题型13：等边对等角 18 题型14：三线合一 19 题型15：线段垂直平分线的性质 20 题型16：作已知线段的垂直平分线 22 题型17：角平分线的性质定理 23 题型18：作角平分线(尺规作图) 24 题型19：最短路径问题 26 题型20：线段问题(轴对称综合题） 28 题型21：面积问题(轴对称综合题） 30 中考真题 实战演练 33 难度分层 闯关训练 37 【基础夯实 能力提升】 37 【创新拓展 拔尖冲刺】 40 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 题型1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）下列通信图标中，不属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、C的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，选项D不能找到这样一条直线，所以不是轴对称图形． 故选：D． 题型2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 题型3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 题型4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若 ，则线段的长为_______． 【答案】15 【分析】由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上，， ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 【答案】 2cm 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 题型5：求对称轴条数 【典例精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴数量． 根据图形作答即可． 【详解】解：该轴对称图形有4条对称轴， 故答案为：4． 题型6：折叠问题 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据翻折的性质以及平行线的性质表示出相关角的度数，然后根据平角列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， 由翻折变换的性质得出， ∵，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 题型7：画对称轴 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）画出下列图形的对称轴 【答案】图象见解析 【分析】本题考查图形的轴对称．根据轴对称的定义画出直线即可． 【详解】解：如图： 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 题型8：画轴对称图形 【典例精讲】（25-26七年级下·广东惠州·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． 【详解】（1）解：如图，作，使它与关于直线对称； （2）连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 【变式训练】（25-26七年级下·云南保山·月考）如图，的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线对称的； (2)在上找出一点，使得的值最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质等知识．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质作图即可； （2）如图1，连接交于点P，连接，则，由，可知当P，B，三点共线时，最小，点P即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：连接交于点P，则点P即为所求． 题型9：设计轴对称图案 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图案的对称与延续性，掌握观察图案局部特征并寻找匹配选项的方法是解题的关键． 观察挂毯的整体对称花纹，分析①位置上下区域的图案特征，再对比选项找到匹配的布料图案． 【详解】解：挂毯的花纹由多个小三角形组成，形成对称图案； ①位置上方和下方的图案由两个方向相反的小三角形组成； 选项D的布料由两个方向相反的小三角形组成，与①位置上方和下方的图案相匹配． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟悉轴对称图形及基本作图是解题的关键． 补画出小圆，使画出的图形关于某条直线对称即可，该直线即为对称轴． 【详解】解：如图． 题型10：车牌号码的镜面对称 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    【答案】浙A7936 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 题型11：钟表的镜面对称 【典例精讲】（25-26七年级下·福建福州·月考）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 题型12：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24七年级下·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式训练】（24-25七年级下·河南濮阳·月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 题型13：等边对等角 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型14：三线合一 【典例精讲】（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴°， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·甘肃临夏·期末）如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一及直角三角形两锐角互余．先通过已知条件利用等腰三角形三线合一定理得出，平分，再由已知条件求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质得出结果． 【详解】解：∵为等腰三角形，为的中线， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型15：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 题型16：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（2026·陕西咸阳·一模）如图，已知，请用尺规作图法作，使得点E到点A、C的距离相等，且点E在边上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作的垂直平分线交于点，即为所求． 【详解】解：如图， 即为所求． 【变式训练】（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 题型17：角平分线的性质定理 【典例精讲】（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 【变式训练】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【详解】解：∵平分，， ∴点D到的距离． 题型18：作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线，线段，角平分线，解题的关键是熟练掌握直线，线段以及作角平分线的方法． （1）根据直线的定义即可作图； （2）根据线段的定义即可作出线段，再延长，截取即可； （3）作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：直线和直线即为所求； （2）解：如上图，线段和点即为所求； （3）解：如上图，射线即为所求． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）快递服务让我们的生活更加便捷．为了更高效地服务于客户，某快递公司计划新修建一个快递中转站．如图所示，为了取送方便，要求该快递中转站到，两条公路的距离相等，且到E，D两个小区的距离相等．请用尺规作图法，求作该快递中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作角平分线(尺规作图)，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用尺规作出的平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求作的点． 【详解】解：作的平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求作的点． 题型19：最短路径问题 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，牧羊人从羊圈地出发，先让羊群在草地吃草，再让羊群去河流饮水，再将羊群带到点处休息．请你帮牧羊人确定最短的出行路线． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称—最短问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交分别于点，连接，即可求解． 【详解】解：如图，，故牧羊人应让羊群在点处吃草，在点处饮水，才能使他出行路线最短． 题型20：线段问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1)格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上找一点P使得周长最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，对称轴图形及其性质求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据对称轴图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵的周长为，的值是定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接交于点， ∴根据两点直线，线段最短得到，此时的值最小时， ∴点P即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． ． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 题型21：面积问题(轴对称综合题） 【典例精讲】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)直接写出的面积__________； (3)在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)点的位置见详解，最小值为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）长度为个单位的小正方形组成的网格中，过点作的延长线于，可知，，由此即可求解； （3）由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，即为所求点的位置，连接，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：关于直线成轴对称的如图所示， （2）解：如图所示，过点作的延长线于， 可知，， ∴． 故答案为3. （3）解：如图所示， 由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，连接，在中，， ∴图中点为所求点的位置，使得最小，这个最小值是． 1．（2024·山西大同·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题考查了中垂线的性质，尺规作图，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由题意得，垂直平分，，可推出，则的周长可转化为，问题可解． 【详解】解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·中考真题）活动课上，数学小组成员开展探寻角的活动．下列操作结果不为角的是（   ） A．如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，得到时针与分针的夹角大小 B．如图2，拼摆一副三角板，得到的大小 C．如图3，用量角器测量，得到的大小 D．如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，三角板的角度计算，角的度量，折叠的性质．根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，时针和分针中间相差个大格． 钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 点分分针与时针的夹角是；故该选项不符合题意． B. 如图2，拼摆一副三角板，得到的大小为；故该选项不符合题意． C. 如图3，用量角器测量，得到的大小为，不为，故该选项符合题意． D. 如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小为; 故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．先利用平行线的性质，结合已知的求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即， ∵ ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，先分别表示三次裁剪后的正方形的边长，再建立方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第二次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第三次操作后剩余长方形的两边分别为，，或，； ∴或， 解得：或； 故答案为：或 5．（2024·河北保定·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)在（1）的作图下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）解：的面积为. 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，一张四边形纸片，，点，分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴ ∵把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处， ∴， ∴ ∴ 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，使点落在处，点落在处．已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 3．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点G，再将其沿折叠，点分别落在点处，若折叠后，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质和垂直的定义求出，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 由题可知， ∴， ， ． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，，将长方形纸片沿直线折叠，如图2所示，再沿折痕折叠，如图3所示，则图3中的度数为________． 【答案】 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知： 图2中，，， 图3中， ． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质求得、的面积，观察规律，即可求解． 【详解】解：由题意可知：正方形ABCD的面积 由题意可得：分别为各边的中点， 将正方形沿、进行折叠，可得与重合，与重合， 可以得到、、、 又∵ ∴ 同理可得，… 故选C 3．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，，分别是边和上的动点，且，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为________． 【答案】54 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，平行线的性质，做出恰当辅助线，利用证明 是解题的关键． 【详解】如图，延长相交于Q点， 由内错角知， 由折叠性质知， ， ， ， ， ， 由折叠性质知， 再由得． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏           D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】(1)3 (2)D 【分析】（1）通过图2的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系； （2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长： ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3. 故答案为：． （2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意； B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意； C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意； D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意． 故选：D． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $