2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题

**基本信息** 以航天知识竞赛、函数零点证明等情境设计，融合数据处理、逻辑推理与空间观念，适配高考模拟预测需求，体现数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、双曲线、概率等|基础题考查概念辨析，如第2题纯虚数定义；多选题第9题结合不放回摸球考查条件概率，体现推理意识| |填空题|3题15分|函数奇偶性、椭圆离心率、四边形面积|第13题椭圆与圆相切综合，考查几何直观；第14题动态四边形面积最值，培养创新意识| |解答题|5题77分|统计（频率分布直方图）、数列、立体几何、抛物线、函数导数|第15题航天竞赛数据处理，发展数据意识；第19题函数零点证明，深化逻辑推理，契合高考综合题命题趋势|

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集,则M = A． B． C． D． 2．已知复数为纯虚数，则 A．-6 B． C． D．6 3．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 4．已知，则 A．-1 B． C． D．1 5．的展开式中的常数项是 A．-1120 B．-352 C．352 D．1120 6．已知四边形ABCD为平行四边形，，，若点M，N满足， ，则 A．3 B．6 C．9 D．15 数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．已知为等差数列，为等比数列，其中，则 A． B． C． D． 8．已知函数，当且仅当有，则 A． 　 　B．1 C．3 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一个袋子中有4个红球和2个白球，采用不放回方式依次摸取2个球.设事件为“第一次摸到红球”，事件为“第二次摸到红球”，则 A． B． C． D．与相互独立 10．已知函数，若图像的相邻两个对称中心之间的距离为，直线是曲线图像的一条对称轴，则 A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递减 D．将的图像向左平移个单位长度后所得函数的图像关于轴对称 11．已知四面体ABCD满足，，点A，B，C，D均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体ABCD所得的截面的面积为S，则 A．球的表面积为 B．四面体ABCD体积最大时， C．当时，S的最小值为 D．当时，S的最大值为 数学试题第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是奇函数，当时，．则__________． 13．设椭圆C:的左、右焦点分别为，．若过的直线和圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为____________． 14．在平面凸四边形中，，，，的面积为． 当最大时，四边形的面积为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； （2）若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 16.（15分） 记为正项数列的前项和，已知． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，证明：． 数学试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17.（15分） 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点． （1）证明：DE⊥平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18.（17分） 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且． （1）求的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H； （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值． 19.（17分） 已知函数． （1）当时，求在区间的最小值； （2）若存在，使得对任意都有，求实数b的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，证明：． 数学试题第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．AC 10．ABD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-2 13． 　 　14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）第百分位数位于区间，设百分位数为， 则，…（2分） 解得…（3分） 平均数 …（5分） （2）成绩不低于分的学生总人数：， “航天达人”总数量为：， 非“航天达人”总数量为：，所以抽样比为3：5， 故从8人中抽取“航天达人”3人，非“航天达人”5人…（7分） 取值为0，1，2，3 则；； 答案第1页，共2页 数学答案第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 ；；…（11分） 所以随机变量分布列为： 0 1 2 3 数学期望…（13分） 注：（2）中每算对1个概率给1分，分布列无错误给1分，期望计算正确给1分. 16．（15分） （1）当时，可得，…（1分） 当n≥2时，，. 作差可得，…（5分） 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，…（6分） 所以.…（7分） （2）由题可得， 所以，又， 所以，…（12分） 又也满足上式，所以 ＜…（15分） 17．（15分） （1）取中点，连接，…（1分） 因为，所以，…（2分） 为的中点，所以为△的中位线， 数学答案第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 所以，…（3分） 又，所以四边形为平行四边形，…（4分） 又因为平面平面， 则，…（5分） 由于平面， 所以平面，…（6分） 又因为，所以平面．…（7分） （2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，…（8分） 在中，由余弦定理可得： ，则，…（9分） 于是， 则，…（11分） 设平面，…（12分） 于是，即，…（13分） 令，则，…（14分） 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为．…（15分） 数学答案第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 解法二：在中，由余弦定理可得： ，则，…（8分） 如图，连接， 由（1），平面平面，则，…（9分） 又因为，四边形为正方形，为的中点 ∴，…（10分） 由于平面，则平面，…（11分） 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面， 则平面，…（12分） 所以即为直线与平面所成角，由于， 则，…（13分） 由于，则为的三等分点， 则， 于是，…（14分） 即直线与平面所成角的正弦值为．…（15分） 数学答案第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离 为，则，…（8分） 在中，，则，…（9分） 过B作交的延长线于，易得，…（10分） 且易证平面，…（11分） 由于，则，…（13分） 在中，， 且，…（14分） 又，则．…（15分） 18．（17分） （1）解：由抛物线，可得其焦点为， 准线方程为，…（1分） 因为点在上，且， 可得，解得，…（2分） 所以抛物线的方程为.…（3分） 数学答案第5页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 （2）（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得，…（4分） 令，代入切线方程，可得，即，…（6分） 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得，…（8分） 则，…（9分） 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得， 解得，所以点或.…（10分） （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得， 即，由（i）知， 点在以点为圆心，半径为的圆上，…（14分） 又由，…（15分） 则，…（16分） 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为.…（17分） 注：本题若有其余方法只要合理且正确均给分 数学答案第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 19．（17分） （1）由题意可得，， 令 …（3分） （2）可整理为， 则存在，使得，转化为．…（4分） 因为，所以，则在上单调递增，故，转化为对任意恒成立，…（5分） 即，即对任意恒成立，…（7分） 因为当时，，所以． 构造函数，则，故在上单调递增．又，等价于，则…（9分） 所以任意恒成立，转化为. ，令，得，…（10分） 当时，， 单调递增； 当时，，单调递减． 故，故b的取值范围是．…（11分） （3）令， 则有两个不相等的实根，，不妨设， 则有，…（12分） 数学答案第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 构造函数，则， 所以在上单调递减，故，得 ．…（14分） ， 即．…（15分） 下证， 令，则只要证，…（16分） 设，则， 故当时，单调递增，故，则． 故，．…（17分） 数学答案第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $