15.专题复习卷(四) 新定义试题-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 专题复习卷 八年级下5E 15.专题复习卷（四） 新定义试题 低细 命题点一 新运算 名脚 1.定义新运算：m*n=m2-mn-3,例如：2*3=22-2×3-3=-5. 则关于x的一元二次方程x*a=1的根的情况是( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 b 2.对于实数a,b,c,d,我们定义运算 a ad-bc,例如： 载 2 1 3 =2×5-1×3=7,上述记号就叫作二阶行列式.若 x x-2 =4,则x= 6 x 命题点二新概念 3.（期中·北京理工大附中)在平面直角坐标系中，对于任意一 批 点P（x,y),定义如下变换：将点P的横坐标除以2，纵坐标 取相反数，得到点R(行y小，则称R是P的半距点.以下说 法正确的是( ①若点A(2,-2),则点A的半距点的坐标是(1,2)； ②若点D(m,n)的半距点位于第四象限，则m>0,n<0; 会 ③若把点P的半距点Q向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度得到坐标(3,4)，则点P的坐标是(2，-1)； ④若点F的半距点到x轴的距离与到y轴的距离之和为3， 槛0 则所有符合条件的点F围成的图形的面积是36. H唰 题与 A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①②③④ m 4.当m,n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点Pm, 为“完 n 美点”.已知点A（1,3)与点B都在直线y=-x+b上，且点B 是“完美点”，则点B的坐标为 5.（期末·密云区)在平面直角坐标系xOy中，对于直线1和点 P,给出如下定义：过点P作直线1的垂线交直线1于点M,若 PM≤√2，则称点P为直线l的“√2限距点”.特别地，直线1 上所有的点都是直线1的“√2限距点”，已知点A(√2,0)，B (-2,2),C(0,2) (1)当直线1的表达式为y=x时 ①在点A,B,C中，直线I的“√2限距点”是 ②若以OA为边的矩形OADE上所有的点都是直线l的“√2 限距点”，求点D的纵坐标y,的取值范围 (2)当直线1的表达式为y=x+b时，若线段AB上存在直线1 的“√2限距点”，直接写出b的取值范围， 5 3 2 -6-5-4-3-2-10123456元 -2 -3 4 第5题图 47 6.(期末·延庆区)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段 MN,给出如下定义： 如果存在点Q,使得以MN为对角线的四边形PMQN是平行 四边形，则称点Q是点P关于线段MN的“关联点”.已知A(0, 1),B（-1,0),C(2,1),D（3,2),E(-6,3),F(1,0),G(m,1) (1)在点D,E,F中，点 是点B关于线段AC的“关 联点” (2)求点O关于线段AC的“关联点”的坐标 (3)若点F关于线段AG的“关联点”在△DOE的内部（不包 含边界)，直接写出m的取值范围. 7 2 7-6-5-4-3-2-1,o1234$67x 牛2 4 6 7 第6题图 爱学子 拒绝盗印 7.(期末·昌平区)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P, Q和图形W,给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交 点为M,射线PQ与图形W的一个交点为N,且满足四边形 OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心 点”.如图①，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”已知点： A(2,2),B(6,2),C(2,0) (1)点D(1,1),E(2,3),F 中，是点C关于直线 AB“平心点”的有 (2)若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a,求a的 取值范围 (3)已知点G(6,5),H(2,5),K(0,-2),点P是线段CK上 的动点（点P不与端点C,K重合），若直线I:y=c上存在 点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围. 6 S M N 234567x ① 第7题图 精品 金星教育 8.（期末·丰台区)在平面直角坐标系中，如果点A,C为某个 菱形一组对角的顶点，且点A,C在直线y=x上，那么称该 菱形为点A,C的“关联菱形”.例如，如图，四边形ABCD为 点A,C的“关联菱形” 已知点M(1,1),点P（a,a). (1)当a=3时， ①在点E(2,1),F（1,3),G（-1,5)中，点 能够成 为点M,P的“关联菱形”的顶点； ②当点M,P的“关联菱形”MWPQ的面积为8时，求点N的 坐标， (2)已知直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B.若 线段AB≤5，且点A是点M,P的“关联菱形”的顶点，直接 写出a的取值范围. y=x 2 D 2 -5-4321012多456 3-2 O123x -9 B -3引 第8题图 备用图 —48 9.（期末·西城区)在平面直角坐标系xOy中，对于线段a,给 出如下定义：直线1，：y=2x+b,经过线段a的一个端点，直 线1：y=-3x+b,经过线段a的另一个端点，若直线l,与2 交于点P,且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线 关联点”。 (1)如图，线段a的两个端点分别为(0，-1)和(0,4)，则在点 P1（1,1),P2（-1,1),P3(-1,2)中，线段a的“双线关联点” 是 (2)A(m,y)B(m+4,乃)是直线y=子x上的两个动点. ①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求 点P的横坐标； ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C(t,t),D(t,-t), E(3t,-t),F(3t,t),其中t>0,当点A,B在直线上运动时， 不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线 关联点”中，恰有2个点在正方形CDEF上，直接写出t的取 值范围 y 爱学子 拒绝盗印 -3-2-10 123 -1 -2 第9题图答案与解析 .△AED≌△CEF(SAS),.∠A=∠ACF,AD=CF, ∴.AB∥CF,DB=CF,.四边形DBCF是平行四边形， .DE∥BC,DF=BC. :DE=EP,即DE=)DF,∴DE=)BC (方法二)：CF∥AB,.∠A=∠ACR :D,E分别为AB,AC的中点，∴.AD=DB,AE=CE. ∠AED=∠CEF, 在△AED与△CEF中，{AE=CE, ∠A=∠ACF, ∴.△AED≌△CEF(ASA),.DE=EF,AD=CF,.DB=CF 又AB∥CF,.四边形DBCF是平行四边形， ∴.DE∥BC,DF=BC. DE=EF,即DE=DF,·DE=)BC 37.C38.D 14.专题复习卷（三）一元二次方程 1.B【解析由题意，得m2-1=0且m-1≠0，解得m=-1.故选B. 2.C【解析】因为a+b+c=0,所以x=1是方程ax2+bx+c=0 的解.因为a-b+c=0,所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的解.故 选C 3.A 4.B【解析】：方程x2+2x-3=0的解是x,=1,x2=-3, .方程(x+3)2+2(x+3)-3=0中x+3=1或x+3=-3, 解得x,=-2,x2=6.故选B. 5.2x2-x-3=06.x2-2x=0(答案不唯一) 7.5【解析】把m代人方程x2-2xr-6=0,得到m2-2m-6=0, 所以m2-2m=6,所以代数式2m24m-7=2(m2-2m)-7= 2×6-7=5.故答案为5. 8.11√11-1 9.【解】(1)3x2-27=0,移项，得3x2=27.化简，得x2=9. 两边开方，得x=±3，∴原方程的解是x,=3,x2=-3. (2)x2-4x-2=0,移项，得x2-4x=2. 配方，得x2-4x+4=2+4,即(x-2)2=6. 开方，得x-2=士V6, 原方程的解是x,=2+√6，x2=2-√6. 10.【解(1)x2-6x+1=0,∴.a=1,b=-6,c=1, 4=36-4=32>0,x=6±42， 2 ∴.x,=3+2V2,x2=3-22. (2)(x-2)2=3(x-2),.(x-2)2-3(x-2)=0, .(x-2)(x-5)=0,即x-2=0或x-5=0,解得x,=2,x2=5. 11.【解】(1)x2-x-4t-12=06或-2 (2)由(1)得x2-x=6或x2-x=-2, 故当x2-x-6=0时，解得x1=3,x2=-2; 当x2-x+2=0时，此时4=(-1)2-4×1×2<0，方程无解， 故原方程的解为x=3,x2=-2 12.C【解析】.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相 等的实数根，.4=0且a≠0.∴.22-4a=0且a≠0.∴.a =1.故选C. 13.C 14.C【解析】原方程(x-3)(x-2)-p2=0可变形为x2-5x+6-p2= 0,4=(-5)2-4×(6-p2)=1+4p2, :p2≥0，.1+4p2>0,即4>0，∴.方程(x-3)(x-2)-p2=0有 两个不相等的实数根.故选C 15.C【解析】根据题意得4=(-2a)2-4(c2-b2)=0, 所以a2+b2=c2,所以△ABC一定为直角三角形.故选C. 16.0(答案不唯一，m<4均可)【解析】：关于x的方程x2+4x+ m=0有两个不相等的实数根，∴.4=42-4m>0,解得m<4. 故答案为0（答案不唯一，m<4均可）. 17.(1)【证明】.a=1,b=m-1,c=-m, 4=b-4ac=(m-1)2-4×1×(-m)=m2+2m+1=(m+1)2. ,对任意实数m,(m+1)2≥0，∴.方程总有两个实数根. (2)【解】：x=b±B-4ac=1-m±(m+) 2a 2×1 .x1=1,x2=-m. :方程的一根为负数，∴.-m<0,∴.m>0. 18.【解】(1)根据题意得a≠0， .'4=b2-4a=(a+2)2-4a=2+4a+4-4a=a2+4, 又2>0，∴.>0，.方程有两个不相等的实数根. (2):方程有两个相等的实数根，∴.4=b2-4a=0, 若a=1,b=2,则方程变形为x2+2x+1=0,解得x,=x2=-1. (答案不唯一，满足b2-4a=0即可) 19.B20.D 21.B【解析设本次小组赛参赛球队有x支，根据题意，得x(x-1) =6×4×10,解得x=16,x2=-15(不合题意，舍去)，.本 次小组赛参赛球队有16支.故选B. 22.9尺6寸，2尺8寸【解析】设门的高为x尺，则宽为(x-6.8)尺， 由题意得方程x2+(x-6.8)2=102,解得x=9.6或-2.8（舍去）， ∴.x-6.8=9.6-6.8=2.8.故答案为9尺6寸，2尺8寸. 23.【解】设矩形场地的长AB为xm,则宽AD为(40-x)m, 根据题意，得x(40-x)=300, 整理，得x2-40x+300=0,解得x1=30,x2=10. 当AB=30m时，AD=40-30=10m<30m,符合题意； 当AB=10m时，AD=40-10=30m(不符合题意，舍去). .'4B 30 m,AD =10 m. 答：矩形场地的长AB为30m,宽AD为10m 24.【解】(1)设前三季度生产量的平均增长率为x, 依题意，得200(1+x)2=288, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：前三季度生产量的平均增长率为20% (2)设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度， 依题意，得(m+1)(600-20m)=2600, 整理，得m2-29m+100=0,解得m1=4,m2=25. 又，在增加产能同时又要节省投入成本， .m=4 答：应该再增加4条生产线. 25.【解】(1)(200+50x)(200-50x) (2)由题意可得200×10+(200+50x)(10-x)+4(200-50x)-600× 6=1250, 整理得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1, 10-x=10-1=9, 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元. 15.专题复习卷（四）新定义试题 1.B【解析由x*a=1,得x2-ax-3=1,即x2-a-4=0,∴.4= （-a)2-4×1×（-4)=a2+16≥16>0，∴.此方程有两个不相等的 实数根.故选B. 2.2或4【解析】根据题中的新定义得-2 =x2-6(x-2)=4, 6 x 即x2-6x+8=0,分解因式得(x-2)(x-4)=0,解得x=2或4.故 答案为2或4. 3.B【解析】①点A(2,-2)的半距点的坐标是(1,2)，故①正确； ②点D(m,n)的半距点坐标为受，：点D(m,m)的半距 点位于第四象限，小究>0，n<0,m>0,>0,故②错误： ③设Px,八则点P,)的半距点Q分小由题章得 2=3,y43=4,解得x=2y=-1,户(2,1，故③正确； 3④设F(m,心则其半距点的坐标为（受-小，由题意得叫+ 网=3a=-方m+3或n=-方m-3或a=方m+3或n= 方m3,四条直线围成一-个菱形，且对角线长为12和6面 积为36，故④正确.综上，说法正确的是①③④.故选B. ,【解析】由条件可知3=-1+b,解得b=4,小直线的 4.22) 表达式为y=-x+4. m=x, 设点B(x,-x+4),根据题意得 m m,n是正实数，且 =-x+4, n 满足m+n=mn,m+1=m,即m=m-l, m=x, n m-1=-x+4, 5 x= 解得 Z.. 5 (2'2 故答案为3,3) 2’2 m二2 5.【解】(1)①A,C分析：直线1的表达式为y=x, .直线1与坐标轴夹角为45°， 根据题意A(√2,0)到直线y=x的距离是 2=1<2, 2 故A(√2,0)是直线1的“√2限距点”； B(-2,2)到直线y=x的距离是V22+22=2√2>√2， 故B(-2,2)不是直线1的“√2限距点”； C0,2)到直线y=的题离是层=5， 22 故C(0,2)是直线1的“√2限距点” ②当点D在直线y=x的上方时，如图①， 2A V=x E D ① 第5题答图 花点到直线？=的距离为受-号%=反，则%=2： 当点D在直线y=x的下方时，如图②， 若点D到直线y=x的距离为2 2 (2-yp) 2 2-2=2,则y,=反-2； √2 结合图象可得，当V2-2≤y,≤2时，以OA为边的矩形OADE 上所有的点都是直线l的“√2限距点”， (2)-√2-2≤b≤6. y4 分析：如图③，当直线y=x+b在 y=x 点A的下方，且到点A的距离 H' AH=√2时， y=x+b B 过点A作AA'∥y轴交直线y= x+b于点A', 则A'(√2，√2+b),∠AAH= 0 45°， .A4'=0-(√2+b)=-√2-b, 第5题答图③ 组=零-号(-5--， 解得b=-√2-2； 真题圈数学八年级下5E 当直线y=x+b在点B的上方，且到点B的距离BH=√2时， 过点B作BB∥y轴交直线y=x+b于点B', 则B(-2,-2+b),∠BBH'=45°， .BB=-2+b-2=-4+b, &BH=B=Y2（(-4+b)=2,懈得6=6 2 综上，根据图象可得，若线段AB上存在直线1的“√2限距点”， 则-√2-2≤b≤6. 6.【解】(1)D分析：如图①， 6 4 D B 7-6-$-4-3-2-101234567x 第6题答图① 根据定义可得点D是点B关于线段AC的“关联点”. (2)A(0,1),C(2,1),.AC的中点坐标为(1,1) .·平行四边形的对角线为AC,O(0,0), 点0关于线段AC的“关联点”的坐标为(2,2). (3)-3<m<4且m≠0.分析：如图②， 6 5 …3 D H BA 第6题答图② G(m,1)在直线y=1上， ∴.当AG为平行四边形的对角线时，点F关于线段AG的“关联 点”在y=2上， 设直线OE的表达式为y=x(k≠0)，代人E(-6,3), :-6=3,解得k=-分，直线0E的表达式为y=-号 t 当y=2时，x=-4,则H(-4,2) 连接FH,设直线FH的表达式为y=k,x+b,(k≠O), 代入F(1,0),H(-4,2), 2 k+b=0, k=- 解得 -4k+b=2, 2 6 Γ5 2 2 直线FH的表达式为y=-亏+ 5 当y=1时，x= ,则- .×2<m<0.∴.-3<m<0; 2 2 答案与解析 根据坐标系可得FD的中点为C(2,1),则0<m<2×2, .0<m<4, 综上所述，点F关于线段AG的“关联点”在△DOE的内部时， m的取值范围为-3<m<4且m≠0. 7.【解1(1)D,F 分析：根据题意作图如图① A(2,2),B(6,2),C(2,0,0(0,0),D(1,1),E(2,3,F 直线AB所在直线为y=2,设直线OD的表达式为y=mx, 将点D(1,1)的坐标代入得m=1, .直线y=x交直线y=2于点A(2,2). 设直线CD的表达式为y=x+d,∴. 0=2n+d 1=n+d, 解得n-1 d=2, .直线CD的表达式为y=-x+2,交直线y=2于点M(0,2), .'AM=OC=2. ,AB所在直线平行于x轴，∴.四边形OCAM为平行四边形，符 合题意. 同理，点E不符合题意，点F符合题意， y 4 E 3H I K M A B 2 A -XD -101234567x-1012C34567x -2 -2 ② 2 12 6 6 5 5 日 NG M 2 A B 1 C C 134567x-1234567x -2K -2￥K ⑤ ④ 第7题答图 (2)如图②，连接4C,则中点J(22,02),即J(2,1) 21 2 连接0B,则中点J(06,02,即J(3,1),2≤4≤3 2’2 (3)2<kK1 分析：根据题意得，“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图 ③④所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形. 根据题意，平移OP,使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O 点平移后的对应点为N,P点平移后的对应点为M 平移线段OP,平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角 当落在左下角时，如图③所示， 当点P接近点K时，点M接近点A;当点P接近点C时， 点M接近AB的中点(4,2).OM所在直线为直线1：y=c, 将点A(2,2)的坐标代入得k=1, 将点(4,2)的坐标代入得k=),·2<1; 当落在右上角时，如图④所示， 当点P接近点K时，点M接近点(6,3)方 当点P接近点C时，点M接近点G(6,5). OM所在直线为直线I:y=, 将点(6,3)的坐标代入得k=),将点G(6,5)的坐标代入得k =名3<k名综上可得，<1 8.【獬】(1)①F,G分析：如图①所示， .3 F .1 6-5432☑0123456x -2 -3 =4 第8题答图① M(1,1),P(3,3),∴.PM的中点坐标为(2,2) ·菱形的对角线互相垂直平分， .可设与y=x垂直的直线的表达式为y=-x+t将(2,2)代人， 解得t=4,则y=-x+4.将E(2,1),F(1,3),G(-1,5)的坐标 分别代入y=-x+4,可得F(1,3),G(-1,5)在直线y=-x+4上， .点E(2,1),F(1,3,G(-1,5)中，点F,G能够成为点M,P 的“关联菱形”的顶点 ②如图②所示，设PM的中点为T,则T(2,2), ∴.MT=V(2-1)2+(2-1)2=V2 :点M,P的“关联菱形”MWPQ的面积为8，…SAm=子×8 =2=号MT×W=号×V反×N,则N=22 :菱形的对角线互相垂直平分， ∴.可设与y=x垂直的直线的表达式为y=-x+t.将(2,2)代入， 解得t=4,则y=-x+4. 设N(m,-m+4),则TN2=8,即(m-2)2+(-m+4-2)2=8, 解得m=0或m=4,则N(0,4)或N(4,0). y4 、6 分 3 1 /M: 6-5-432y01234、56x =3 -5 第8题答图② (2)-√5-1≤a≤V5-1且a≠-1,1. 分析：，直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B, a48o,B=图+8=9 :AB≤5,51≤5，解得-25≤b≤25 设点M,P的“关联菱形”的其余顶点在直线y=-x+c上，当直 线经过点M(1,1)时，可得y=-x+2. :A2,0是点M,P的“关联菱形”的顶点 .0=- +2，解得b=4,此时无法构成菱形 当b=0时，A(0,0)在直线y=x上，此时也无法构成菱形， ∴.-25≤b≤2W5,且b≠0,4. 设PM的中点为Q,则Q(空，生)则生=-空+e, 解得c=a+1, .点M,P的“关联菱形”的其余顶点在直线y=-x+a+1上 :点4各0是点MP的“关联菱形”的顶点， 六3=a1,a=2-1 -2V5≤b≤2W5,且b≠0,4， .-V5-1≤a≤V5-1,且a≠-1,1. 9.【解(1)P,P 分析：若直线1经过点(0，-1)，直线1，经过点(0,4)，则可得b, =-1,b2=4, ∴直线l1y=2x-1,直线2：y=-3x+4. 联立=2x-1,解得= y=-3x+4,y=1, ∴点P是线段a的“双线关联点” 若直线1经过点(0,4)，直线1，经过点(0，-1)， 则同理可求得点P,是线段a的“双线关联点” (2)①将点A,B的坐标代入y=子x,得y=子m,y=子m+3, .m.m m+4.m+3 当直线经过点Am子m,直线，经过点8m+4,子m+3时， 代入得2m+6,=号m,-3(m+4)+6,=子mt3。 解得6=-名，4=m+15 ·直线y=2x-吾m,直线马y=-3x+9m+15 y=2x-m,解得 x=m+3, 联立 y=-3x+m+1s,y=m+6 ·子m+6=4,解得m=-号x=m+3=号 当直线1经过点8m+4星m+3,直线，经过点mm时， 同理可得1少=2x寻m-5,直线马少=-3x+宁m, y-2x-im-5.mx=mtl 联立 解得 3 y=3x+m=m-3 六m-3=4,解得m=受x=m1=号 综上所述，点P的横坐标为号或号 ②唱<K15. 分析：设线段AB的“双线关联点”为M,N, 则Mm+3,m+6,Nm+1子m-3 x=m+3 由①得 y=m 6消去m可得y=x+华， 点M在直线py=寻x+学上运动， 同理可求点N在直线1少=号x学上运动 线段AB的“双线关联点”中，恰有2个点在正方形CDEF上， ·正方形CDEF与直线y=x+华和直线y=x-华恰有 2个交点. 真题圈数学八年级下5E 当t>0且t很小时，正方形与两条直线无交点，不符合题意，如 图① 随着t的增大，当点E落在直线1上时，有1个交点，不符合题意， 如图②，则？=，解得1-昌 当1继续增大，此时>吕则直线1与正方形有2个交点，符合 题意，如图③ 当t继续增大，直至点C(t,)落在直线p上， 则号+片=1，解得1=15，此时有3个交点，不符合题意。 如图④，“满足有2个交点时，吕<1K15 当>15时，有4个交点，不符合题意，如图⑤ 综上，1的取值范围为吕<K15 2/ ② ④ D ⑤ 第9题答图 期末重组卷 16.海淀区重组卷 题号1 234 5 6 7 8 答案DAD D B ABB 1.D2.A 3.D【解析】把x=1代人x2-3mx+5=0,得1-3m+5=0,解得 m=2.故选D 4.D5.B 6.A【解析四边形ABCD是平行四边形，∴.AO=OC,AD= BC=10,:AC⊥CD,∴∠ACD=90°，.CD=VAD2-AC2= V102-82=6,:E是AD的中点，.OE是△ACD的中位线，