9.重难题型卷(三) 一元二次方程与实际应用-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下5E 9.重难题型卷（三） 一元二次方程与实际应用 共嫩 州 题型一利用方程的根求值 岩期 1.(期中·北京三中)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的一个根是0，则a的值为( A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 2.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0)，则下列代数 式的值恒为常数的是( ) A.ab B号 C.a+b D.a-b 3.如果a是一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，-a是一元二 次方程x2+3x-m=0的一个根，那么a的值是( 9 製 A.1或2 B.2或-3 C.-1或-2 D.0或3 4.（模考·陈经纶中学一模)若a,b是关于x的一元二次方程 x2-6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a,b, 4,则n的值为( A.8 B.7 C.8或7 D.9或8 5.（期中·清华附中创新班)已知关于x的方程x2+(a-6)x+a 批 =0的两根都是整数，则a的值等于 6.已知x=n是关于x的一元二次方程mx2-4x5=0的一个根， 若mm2-4n+m=6,求m的值 总 茶 7.(期中·北京十一学校)化简求值：已知m是方程x2-2x-3=0 的一个根，求(m-2)2+（m+3)(m-3)的值. 0 阳 8.（期末·石景山区)阅读材料：x,x2是一元二次方程ax2+bx+c =0的两根，由求根公式可推出，x+场，=一名，3=台这 a 是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以来解题. 已知x,x,是方程2x2-x-5=0的两根，求下列两个代数式 的值： 1)+安：2)(+5)(x+5), 题型二利用根的判别式求值 9.（期末·平谷区)若关于x的方程ax2-2x+b=0有两个不相等 的实数根，则满足条件的实数α，b的值可以是() A.a=0,b=1 B.a=1,b=1 C.a=-2,b=-4 D.a=-1,b=3 10.（模考·朝阳区一模改编)若关于x的一元二次方程x2+2x+C =0无实数根，则c可取的最小整数是 11.开放性试题（期末·房山区）关于x的一元二次方程x2- 2x+2m-1=0有实数根， (1)求m的取值范围. (2)请选择一个符合条件的m的值，并求此时方程的根。 —29 12.已知关于x的一元二次方程x2-（k+4)x+4k=0. (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若该方程有一个根小于2，求k的取值范围 (3)若该方程的两根满足(x,-3)（x,-3)=0,求k的值 题型三实际应用 类型1增长率（降低率）问题 13.（期末·通州区)某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月 下降，原来每件产品的成本是1600元，两个月后降至900 元，若产品成本的月平均降低率为x,下面所列方程正确的 是() A.1600(1-x)2=900 B.1600(1-2x)=900 C.1600(1-x2)=900 D.1600(1-x)=900 14.某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共 196万个，若x满足的方程是52+52（1+x)+52(1+x)2= 196,则x表示的意义是( A.该厂七月的增长率 B.该厂八月的增长率 C.该厂七、八月平均每月的增长率 D.该厂八、九月平均每月的增长率 15.学科融合生物（期末·顺义区）列方程解应用题： 生物活动小组选取某一个生物体作为观察实验样本，对其视 网膜厚度进行量化分析，此时它的视网膜厚度为150μm(微 米)，两周后视网膜厚度达到了216μm（微米).假设每周视 网膜厚度的增长率相同，求这个生物体视网膜厚度的周平 均增长率 16.（期中·房山区改编)列方程解应用题： A地区某年公民出境旅游总人数约256万人，两年后公民出 境旅游总人数约400万人，若这两年公民出境旅游总人数逐 年递增，请解答下列问题： (1)求这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率 (2)如果第三年仍保持相同的年平均增长率，请你预测第三 年A地区公民出境旅游的总人数 类型2几何问题 17.(期末·石景山区)某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求 如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩 形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸 的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x 英寸（如图），下面所列方程正确的是() A.（7+x)(5+x)×3=7×5 B.（7+x)(5+x)=3×7×5 C.（7+2x)(5+2x)×3=7×5 D.（7+2x)(5+2x)=3×7×5 -32m 20m 第17题图 第18题图 18.(期中·北京汇文中学)如图，在宽为20m,长为32m的矩形 地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上 草坪.要使草坪的面积为540m2,则道路的宽为 m 19.（月考·清华附中改编)学校为突出榜样教师的示范引领作 用，在校园里通过展板展示四位教师的先进事迹.现有一块 长25dm、宽8dm的矩形展板，如图所示，展示区域为全等 的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留 有宽度相同的空白区域.如果 所有矩形展示区域的面积之和 8 dm 为120dm2,空白区域的宽度应 25 dm 是 dm. 第19题图 20.（期末·通州区)如图，在高3m,宽4m的长方形墙面上有 一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两 边都留有相同宽度的空白墙面.如果长方形装饰板的面积 为4m2,那么相同的宽度应该是多少米？ 第20题图 21.教材习题改编（期末·延庆区）如图，有一块长为12cm,宽 为8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相 同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为 32cm?的无盖盒子，求截去的小正方形的边长， 第21题图 —30 22.（期末·通州区)用长为6m的铝合金条制成如图所示的矩 形窗框，其中EF∥AD∥BC,设窗框的高度AD为xm (1)若设窗框的宽度AB为ym,则y= (用含x的 代数式表示) (2)当窗户的透光面积为1.5m2时，请你计算出窗框的高和 宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计） 第22题图 23.（期中·首师大附中改编)学校计划利用一片空地建一个长 方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8，在与墙平 行的一面开一个2m宽的门.已知现有的木板材料可新建 的总长为26m,且全部用于除墙外其余三面外墙的修建. (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为 m 的、 (2)为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等 宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按(1)中 的最小长度，则停放自行车的区域面积能否达到66.5m2,若 能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由. 墙 板墙 墙 门 第23题图答案与解析 得方程(2x-1)2=13, 两边开方可求得x=仍+，与=仍+中. 2 27.【解】(1)设所求方程的根为y,则y=-x, 把x=y代人方程x2+3x-2=0,得y2-3y-2=0, 即所求方程为y2-3y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y=1, 把x=号代人方程ax-bxe=0,得a·子b:号+e=0, y 化简，得cy2-by+a=0,即所求方程为cy2-by+a=0. 28.【解1(1)①② 分析：①6x2-5x+1=0,即(2x-1)(3x-1)=0, 解得无=方=了 :传司引对-51=0是差积方程 ②3x2+8x+4=0,即(3x+2)(x+2)=0, 解得X=2名=-号 2+到-2x(引348x4=0是差积方程 ③x2-4x=0,即x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4. :10-4≠10×4，x2-4x=0不是“差积方程” (2)m=号或m=-2. 分析：方程的解为x1=2,x2=m, ,x2-(m+2)x+2m=0是“差积方程”， ∴12-m=2ml,即2-m=2m或2-m=-2m. 解得m=号或m=-2 (3)b2-4ac=c2. 证明：ax2+bx+c=0(a≠0)， 解得飞=b+-ac,5=b--4ac 2a 2a ar2+bx+c=0(a≠0)是“差积方程”， 六=k·,即原-4c a =S,即b-4ac=2 a 9.重难题型卷（三）一元二次方程与实际应用 1.B【解析】把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0, 得a2-1=0,解得a,=1,a,=-1. 而a-1≠0，.a的值为-1.故选B. 2.D【解析】：方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)， .(-a)2+b(-a)+a=0.又a≠0，∴等式的两边同除以a, 得a-b+1=0,故a-b=-1.故选D. 3.D【解析】将x=a代人方程x2-3x+m=0得a2-3a+m=0, 同理，将x=-a代人方程x2+3x-m=0得a2-3a-m=0, ∴.m=0,a2-3a=0,即a(a-3)=0,.a=0或3.故选D. 4.C【解析】：等腰三角形三边长分别为a,b,4,∴.a=b,或a, b中有一个数为4.当a=b时，有4=(-6)2-4(n+1)=0,解 得n=8,此时方程为x2-6x+9=0,解得x,=x2=3,此时三 角形的三边长分别为3,3,4，满足条件.当a,b中有一个数为4 时，有42-6×4+n+1=0,解得n=7,此时方程为x2-6x+8=0, 解得x,=2,x2=4,此时三角形的三边长分别为2,4,4，满足 条件.故选C. 5.0或16【解析】设两个根为x,x2,由一元二次方程根与系数 的关系得5+名6-a两式相加，得托场，=6，(x+1) xx2=a, (G+1)=7,两根都是整数，1=或+1=-1 x2+1=1x2+1=-7, 三二6或8…a=西=0或16，故答案为0或16 6.【解】把x=n代入方程得mm2-4n-5=0,即mn2-4n=5, 代入已知等式得5+m=6,解得m=1. 7.【解】m是方程x2-2x-3=0的一个根，.m2-2m-3=0, ,∴.m2-2m=3,∴.（m-2)2+(m+3)(m-3)=m2-4m+4+m2-9= 2(m2-2m)-5=2×3-5=1. 8.【解】·x,x2是方程2x2-x-5=0的两根， 5 杯，=25=-2 (1)1+1=+= x x2 x X2 2二5 2 20+5+5)=56)+25=-3+5×号+25=25. 9.D【解析】，'关于x的方程x2-2x+b=0有两个不相等的实 数根，∴.a≠0,1=(-2)2-4ab>0,.4-4ab>0,∴.ab<1. D选项符合题意.故选D. 10.2【解析】：关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根， ∴.<0，即22-4×1×c<0,解得c>1,∴.c可取的最小整数是 2.故答案为2. 11.【解】(1)根据题意，得4=b24ac≥0， 即(-2)2-4(2m-1)≥0，解得m≤1. (2)当m=1时，方程为x2-2x+1=0, 解得x,=x2=1.(注：m的值不唯一) 12.(1)【证明】.x2-(k+4)x+4k=0, .4=[-(k+4)]2-4×4k=2+8k+16-16k=(k-4)2≥0， .不论k为何值，该方程总有两个实数根. (2)【解】：x2-(k+4)x+4k=0,∴.(x-4)(x-k)=0, 解得x1=4,x2=k .该方程有一个根小于2，.k<2. (3)【解】由题意得x,=3或x2=3,将x=3代人x2-(k+4) x+4k=0,得k=3. 13.A 14.D【解析】依题意得八、九月的产量分别为52(1+x),52(1+x)2, .52+52(1+x)+52(1+x)2=196中的x表示的意义是该厂八、 九月平均每月的增长率.故选D. 15.【解】设这个生物体视网膜厚度的周平均增长率为x, 根据题意得150(1+x)2=216, 解得x,=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：这个生物体视网膜厚度的周平均增长率为20% 16.【解】(1)设这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长 率为x, 根据题意得256(1+x)2=400, 解得x1=0.25=25%,x2=-225(不合题意，舍去). 答：这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率为25%， (2)400×（1+25%)=500(万人)： 答：预计第三年A地区公民出境旅游的总人数为500万人 17.D 18.2【解析】设道路宽为xm,根据题意得(20-x)(32-x)=540, 整理得x2-52x+100=0,解得x,=50(舍去)，x2=2.故答案为2 19.1【解析】设空白区域的宽度应是xdm,则(25-5x)(8-2x)= 120,解得x1=1,x2=8(不合题意，舍去)， ∴.空白区域的宽度应是1dm.故答案为1. 20.【解】设相同的宽度为x米，则长方形装饰板的长为(4-2x)米， 宽为(3-x)米. 依题意，得(4-2x)(3-x)=4. 整理，得x2-5x+4=0,解得x,=1,x2=4. 又.4-2x>0,.x<2,.x=1. 答：相同的宽度应该是1米. 21.【解】设截去的小正方形的边长为xcm, 根据题意列方程，得(12-2x)(8-2x)=32. 整理，得x2-10x+16=0,解得x1=8,x2=2. x1=8不合题意，舍去. 答：截去的小正方形的边长为2cm. 22.【解(1)6-3x 2 5 2)依题意，得x·6-3x=1.5, 2 整理得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1, y=6-,3x=6-3x1=15. 2 答：窗框的高为1m,宽为1.5m 23.【解】(1)10 分析：设与墙垂直的一面为xm,则另一面为(26-2x+2)m, 根据题意得26-2x+2≤8，解得x≥10， .长方形车棚与墙垂直的一面至少为10m. (2)能. 设小路的宽为a米，根据题意，得(8-2a)(10-a)=66.5, 整理得4a2-56a+27=0,解得a1=13.5>8(舍去)，a2=0.5. 答：小路的宽为0.5米 10.阶段学情调研（二） 题号12345678 答案CC AADACA 1.C2.C3.A 4.A【解析】x2+ax-1=0,∴.4=a2-4×1×(-1)=a2+4. 不论a为何值，a2+4>0,.>0, .方程有两个不相等的实数根.故选A 5.D【解析】y=a-2k+4,∴y-4=k(x-2). 当x-2=0,即x=2时，一次函数的图象恒过定点」 把x=2代入y-4=k(x-2),得y=4.故定点为(2,4).故选D. 6.A 7.C【解析】依题意得关于x的方程x2+3x+c=0的两根是x,= 1,x2=-4,则c=1×(-4)=-4,则原方程为x2-3x-4=0,整 理，得(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4.故选C 8A【解析】当1≤x<2时，22=1， 解得x1=V2,x2=-V2(舍去)： 当0≤x<1时，22=0，解得x=0; 当-1≤x<0时，22-1，方程没有实数解； 当-2≤<-1时，22=-2，方程没有实数解. 所以方程[x]=)2的解为0或巨.故选A 9.y10.y=x-3(答案不唯一)11.15 12.1或-7【解析】：x2=9,x=3或x=-3. 当x=3时，y=-x+4=-3+4=1; 当x=-3时，y=x-4=-3-4=-7. ∴.输出结果y=1或-7.故答案为1或-7. 13.120°【解析】如图，连接BD, ,BO间的距离为45cm, .3BD=45,.BD=15cm ,四边形ABCD是菱形， AB=15 cm, .AB=AD=15cm,AD∥BC, .AB AD=BD, 第13题答图 ∴△ABD是等边三角形，∴.∠A=60°， .∴.∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120° 故答案为120°. 14.1.5【解析】，D为AB的中点，∠AFB=90°，AB=5, ·DF=)AB=25.:DE是△ABC的中位线，BC=8, .DE=4,∴.EF=4-2.5=1.5.故答案为1.5. 15.450(1-x)2=288 16.0【解析】设直线AB的解析式为y=ac+b(k≠0)， 将点A(1,1),B(-2,2)的坐标分别代入，得 k+b=1, -2k+b=2, 解得{ k二了直线B的表达式为y=-3x+ 6= 真题圈数学八年级下5E 设点Q的坐标为aa+号引-2≤a≤1)， ·这个点的对应方程为r+ax-写a+号=0 4=4x1x(传知+引(a+)-号. :-2≤a≤1，-含≤a+号≤ 2<5 0≤(a+号≤940 ∴线段AB上任意点的对应方程没有实数根.故答案为0 17.【解】(x+4)2=5(x+4),(x+4)2-5(x+4)=0,(x+4)(x+4-5)=0, x+4=0或x44-5=0,所以x1=-4,x2=1. 18.【解】(1)③(2)计算结果错误 (3)a=2,b=-1,c=-3, ∴.4=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=1+24=25>0, x=爱-毕=多=山 2×2 19.【证明】，∠DMC=∠AME,∠AME=∠CNE, ∴.∠DMC=∠FNC,∴.DE∥BF ,四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,.DF∥EB,.四边形DEBF是平行四边形 20.【解】(1)一次函数y=c+b(k≠0)的图象如图所示. (2)①y<-3②-1<x<0 Ay D M E B∠w 第20题答图 第21题答图 21.【解】(1)补全图形如图所示 (2)三角形的中位线平行于第三边 22.【解】(1)从函数图象可知10t水应交22元， 那么当0<x≤10时，每吨水的价格是22÷10=2.2（元）. ,8×2.2=17.6(元)， ∴.小乐家五月用水8t,应交水费17.6元. (2)由题图可得10t内（包括10t)每吨2.2元，当y=36时， 10<x<20. 当x>10时，设y与x的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 将(10,22入(20,57)代入y=x+b中， 20+6=57解得=35 得10k+6=22, 1b=-13. .y与x的函数表达式为y=3.5x-13. 把y=36代入y=3.5x-13,得3.5x-13=36,解得x=14. 答：三月用水14吨 23.【解)：关于x的一元二次方程+(m-1)x4m2-3=0 有两个不相等的实数根， ÷4=(m-102-4X1×m2-3=-2m44>0, 解得m<2,∴.m的取值范围为m<2. (2),m为非负整数，且m<2,.m可以为0或1. 当m=0时，4=-2m+4=-2×0+4=4,此时方程的根都是 有理数，不符合题意，舍去； 当m=1时，1=-2m+4=-2×1+4=2,此时方程的根都是 无理数，符合题意 .m的值为1. 24.【解】设扩建后广场的长为3x米，宽为2x米 依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,