8.第十六章 一元二次方程学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步 调研卷 八年级下5E 导 8.第十六章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 名期 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.(期末·清华附中)下列方程中，属于一元二次方程的是() A4=2 B.x2-xy=2 C.x2-2x-3=0 D.2（x-1)=x 2.（期末·顺义区)一元二次方程2-3t-1=0配方后可化为( A.(t-3)2=10 B.（t-3)2=4 c(-= -= 圾 3.若x=-1是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则下列式子成立的是( A.a+b+c=0 B.a-b+c=0 C.a+b-c =0 D.-a+b+c=0 4.(期末·顺义区)方程(x+2)(x+1)=x+2的解为() A.x1=0,x2=2 B.x1=0,x2=-2 C.x1=-1,x2=-2 D.x=x2=-1 5.（期末·平谷区改编)若a是关于x的一元二次方程2x2-x+2026=0的一个实数根，则4052+ 4a2-2a的值是( ) 部 A.4052 B.0 金C.-4052 D.-2026 6.情境题（期末·昌平区）初二某班第一次体育模拟测试的平均分为95分，经过专业的体育指导 和训练，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试 的平均分达到99分.设该班每次测试的班级平均分较上次的增长率相同，均为x,则可列方程 为( ) A.95（1+x)=99 B.95(1-x)=99 C.95(1+x)2=99 D.95（1-x)2=99 7.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数，则x的值是( ) 警0 A.-1或3 B.1或-3 C.1或3 D.-1和-3 H 8.(月考·北京一零一中学)关于x的方程(x2-2x)2+2（x2-2x)+k=0,有下面5个说法： 题均 ①存在实数k,使得方程无实数根；②存在实数k,使得方程的实数根都相同； ® ③存在实数飞，使得方程恰有2个不同实数根；④存在实数k,使得方程恰有3个不同实数根； 国 ⑤存在实数k,使得方程恰有4个不同实数根 其中正确说法的个数是( A.0 B.2 C.3 D.5 2 二、填空题（共16分，每题2分） 9.（期末·东城区改编)一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数分别是 10.（(期末·通州区)如果一元二次方程x2-9=0的两根分别是a,b,且a>b,那么a的值是 11.（期末·顺义区)已知x=1是方程x2+mx-2=0的一个根，则m= ,方程的另一个根 是 12.开放性试题（期末·门头沟区）一元二次方程的两个根分别是x,x2,其中x+x2=2,x,·x2<0, 写出一个满足此条件的方程： 13.(期中·人大附中)点A(2,0)和点B(0,1)都在一次函数y=+b（k≠0)的图象上，则关于 x的方程x（a+b)=0的解是 14.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根，且其面 积为12，则该菱形的边长为 15.(期中·清华附中)若实数x,y满足(x2+y2)（x2+y2-4)=5,则x2+y2= 16.新定义试题（期中·北京三中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得 到一个新的实数a2+2b-3.例如把(2，-5)放入其中，就会得到22+2×（-5)-3=-9，现将实数对 (m,-3m)放入其中，得到实数4，则m= 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 17.(期中·北京十一学校)解一元二次方程：2x2-3x-2=0（公式法) 拒绝盗印 18.(期中·北京十五中)小敏与小霞两位同学解方程3（x-3)=(x-3)2的过程如下框： 小霞： 小敏： 移项，得3（x-3)-（x-3)2=0, 两边同除以(x-3),得 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0. 3=x-3, 则x-3=0或3-x-3=0, 则x=6 解得x1=3,x2=0 (1)你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”： 小敏( )小霞( ) (2)写出你的解答过程. 19.(期末·北京二中分校)把关于x的一元二次方程22-4x+m=0配方，得到(x+p)2=) (1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值. (2)求此方程的解. 20.(月考·北京四中)关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值 刺 品 21.(期中·北京景山学校)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,点P从B点 出发以每秒1cm的速度向C点运动，同时点Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中 一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为ts. (1)用含t的代数式表示CP,CQ的长，并直接写出t的取值范围. (2)多长时间后△CPQ的面积为6cm2? 第21题图 2 22.（中考·北京)已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. 23.(期中·大兴亦庄实验中学节选)已知x,和x,是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，求下列各 式的值 (1)x+8x2-5. (2)-x-+片 x 爱学子 拒绝盗印 6- 24.（月考·北京师达中学)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x-s)（x-t)= p（s≤t)的形式.现列表探究x2-4x-5=0的变形： 变形 t p (x+1)(x-5)=0 -1 5 0 共蝴 x(x-4)=5 0 4 J 扭 (x-1)(x-9)=8 9 8 岩期 (x-2)2=9 2 2 9 回答下列问题： (1)表格中g的值为 (2)观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 (3)记r+hx+c=0的两个变形为(x-3,(x-4)=p,和(x-3,(x-,)=p,(p,≠p,)求-的值 S1-S 梨 精品图书 25.（期末·北京二中分校)一商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售 出2件 (1)若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元 (用含x的代数式表示). (3)在正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 咖 阳 品 27 26.思维探索（期中·北京汇文中学改编）古代著作中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的 方法，以x2-2x-3=0为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为x2-2x=3,即x（x-2)=3. 第二步：构造一个长为x,宽为(x-2)的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示. 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为 ,小正方形边长为常数 ,长方 形面积之和为常数 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 两边开方可求得x,=3,x2=-1. (1)上面横线上应依次填入 (2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程x2-x-3=0. x-2 x-2 ① ② 盗印必 第26题图 关爱学子 拒绝盗印 27.方法探索（期末·北京三帆中学）请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以把x=代入已知方程，得 +-1=0 化简，得y2+2y-4=0,故所求方程为y+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程x2+3x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数。 (2)已知关于x的一元二次方程a2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元 二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数， 题 精品图书 金星教育 2 28.新定义试题（期中·北京十一学校）定义：若x,x,是方程a2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根， 若满足K=:·,则称此类方程为“差积方程”，例如：气-引(x-1)=0是差积方程 (1)下列方程是“差积方程”的是 .(填序号) ①6x2-5x+1=0; ②3x2+8x+4=0; ③x2-4x=0. (2)若方程x2-（m+2)x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程ax2+bx+c=0（a≠0)为“差积方程”时，写出a,b,c满足的数量关系并证明. 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 8-的坐标为(m,mn), ∴.0≤mn≤2n. ,n为正整数，.0≤m≤2. 若矩形ABCD的“n倍点”在CD上，则矩形ABCD的“n倍点” 的坐标为(2,2n),.m≤2≤m+2,解得0≤m≤2. 若矩形ABCD的“n倍点”在BC上，则矩形ABCD的“n倍点” 的坐标为(m+2,mm+2n),.0≤mm+2n≤2n,即-2n≤mm≤0. n为正整数，∴.-2≤m≤0. 根据定义，AB上不可能存在矩形ABCD的“n倍点”. 综上所述，m的取值范围是-2≤m≤2. 8.第十六章学情调研 题号 12 3456 7 8 答案 BBBC A C 1.C2.D 3.B【解析】当x=-1时，a-b+c=0.故选B. 4.B【解析】(x+2)(x+1)=x+2,整理，得x(x+2)=0, .x=0或x+2=0,.x1=0,x2=-2故选B. 5.B【解析】.a是关于x的一元二次方程2x2-x+2026=0的 一个实数根，.2a2-a+2026=0,2a2-a=-2026,∴.原式= 2(2a2-a)+4052=2×（-2026)+4052=0.故选B. 6.C 7.A【解析】.代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数， .(3-x)+(-x2+3x)=0,即(3-x)-x(x-3)=0, 即(x-3)(x+1)=0,解得x,=3,x,=-1.故选A 8.C【解析】令m=x2-2x,则原方程可变形为m2+2m+k=0, ∴.b2-4ac=4-4k当k>1时，方程无实数根，故①正确； 当k=1时，m2+2m+1=0,解得m,=m,=-1,即x2-2x=-1, 解得x,=x2=1,·存在实数k,使得方程实数根都相同，故② 正确；当<1时，关于m的方程+2m+k=0有两个不相等的实 数根，由m+2m+k=0,可得(m+1)2=1-k,∴.m=-1士√1-k, 即x2-2x=-1±V1-k,∴.(x-1)2=V1-k或(x-1)2=-V1-尼 (舍去)，解得x=1士-k,.存在实数k,使得方程恰有2个 不同实数根，故③正确；故不存在k的值使得方程恰有3个、4 个不同实数根，故④⑤错误.故选C 9.2,110.311.1-2 12.x2-2x-3=0(答案不唯一)【解析】：关于x的一元二次方 程的两个根分别是x,x2,其中x+x2=2,x·x2<0,方程的 两根可以为x,=3,x2=-1,方程可以是x2-2-3=0.故 答案为x2-2x-3=0(答案不唯一). 13.×=0,5=2【解析]根据题意知2k+6=0,衡 1 解得{ k=2 1b=1, b=1, _1 则原方程为x x+1=0,则x=0或-7x1=0, 解得x1=0,x2=2.故答案为x1=0,x2=2. 14.√13【解析】设菱形的对角线长分别为a,b,根据根与系数的 关系得ab=10,b=m:菱形的面积为12，六b=2, .m=ab=24,獬方程x2-10x+24=0,得x1=4,x2=6, 即菱形的对角线长分别为4,6，∴.菱形的边长为V22+32=√3 故答案为√13 15.5【解析设x2+y2=z,则原方程变为z(z-4)=5, 整理，得z2-4z-5=0,.(z-5)(z+1)=0, 解得21=5，乙=-1.x2+y2=z≥0，x2+y=5. 故答案为5. 16.7或-1【解析】根据题意，得m2+2×(-3m)-3=4, 解得m1=7,m2=-1.故答案为7或-1. 17.【解】2x2-3x-2=0,a=2,b=-3,c=-2 .1=(-3)2-4×2×(-2)=25>0, 真题圈数学八年级下5E =土c-3法酒=2= 。1 2a 18.【解】(1)×× (2)移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0. 则x-3=0或3-x43=0,解得x1=3,x2=6. 19.解11)22-4=-m,2-2x=-受 2-2x+1=-%+1,x-l)2=-咒+1 .m=1,p=-1. 2,5=22 2)6x-102=2x=2+ 20.【解)设方程的公共根为x=1,则广+1+1=0① 2-t-b=0,② 由②，得b=2-t,③ 将③代入①，得+1=0，解得t=-1, 当t=-1时，b=2. 21.【解】(1)CP=(8-t)cm;CQ=tcm. t的取值范围为0≤t≤6. (2)依题意得(8-t)t=6, 整理，得P-8t+12=0,解得t=2,t=6. 答：经过2s或6s时，△CPQ的面积为6cm2. 22.（1)【证明】.=16m2-4×1×3m2=4m2≥0， .该方程总有两个实数根 (2)【解】设关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0的两个实 数根分别为x,x2,则有x+比2=4m,x2=3m2 由题意得比-x,=2, .(x,-x2)2=(x+x2)2-4xx2=16m2-12m2=4,解得m=±1. .m>0,.m=1. 23.【解】x,和x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根， x+5=3,x2=1,x=3x-1,x+=3或=3-x x22 (1)x+8x2-5=x1·x+8x2-5=x,(3x-1)+8x2-5 =3x2-x+8x2-5=3(3x-1)-x,+8x2-5=9x-3-x,+8x2-5 =8(x+x)-8=8×3-8=24-8=16. 2号*=s+ -2-(x+x,2)=32-2-3 x2 =9-2-3=4. 24.【解】(1)3(2)s+1=4 (3)由(2)的结论得到s,+1=-b,32+42=-b, 小s4=书，即1-5=-(，3，专点=-1 S1-S2 25.【解】(1)(50-3)×(30+2×3)=1692（元）. 答：若某天该商品每件降价3元，当天可盈利1692元 (2)2x(50-x) (3)根据题意，得(50-x)(30+2x)=2000, 整理，得x2-35x+250=0,解得x1=10,x2=25 ,商场要尽快减少库存，.x=25. 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 26.【解】(1)(2x-2)212(2x-2)2=16 (2)第一步：将原方程变形为x2-x=3,即x(x-1)=3. 第二步：构造一个长为x,宽为(x-1)的长方形，长比宽大1，且 面积为3. 第三步：用四个这样的长方形围成一个 x x-1 大正方形，中间是一个小正方形，如图 所示. 第四步：将大正方形边长用含x的代数 式表示为(2x-1), 小正方形边长为常数x-(x-1)=1, 长方形面积之和为常数4×3=12 由观察可得，大正方形面积等于四个长 方形与小正方形面积之和， 第26题答图 答案与解析 得方程(2x-1)2=13, 两边开方可求得x=仍+，与=仍+中. 2 27.【解】(1)设所求方程的根为y,则y=-x, 把x=y代人方程x2+3x-2=0,得y2-3y-2=0, 即所求方程为y2-3y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y=1, 把x=号代人方程ax-bxe=0,得a·子b:号+e=0, y 化简，得cy2-by+a=0,即所求方程为cy2-by+a=0. 28.【解1(1)①② 分析：①6x2-5x+1=0,即(2x-1)(3x-1)=0, 解得无=方=了 :传司引对-51=0是差积方程 ②3x2+8x+4=0,即(3x+2)(x+2)=0, 解得X=2名=-号 2+到-2x(引348x4=0是差积方程 ③x2-4x=0,即x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4. :10-4≠10×4，x2-4x=0不是“差积方程” (2)m=号或m=-2. 分析：方程的解为x1=2,x2=m, ,x2-(m+2)x+2m=0是“差积方程”， ∴12-m=2ml,即2-m=2m或2-m=-2m. 解得m=号或m=-2 (3)b2-4ac=c2. 证明：ax2+bx+c=0(a≠0)， 解得飞=b+-ac,5=b--4ac 2a 2a ar2+bx+c=0(a≠0)是“差积方程”， 六=k·,即原-4c a =S,即b-4ac=2 a 9.重难题型卷（三）一元二次方程与实际应用 1.B【解析】把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0, 得a2-1=0,解得a,=1,a,=-1. 而a-1≠0，.a的值为-1.故选B. 2.D【解析】：方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)， .(-a)2+b(-a)+a=0.又a≠0，∴等式的两边同除以a, 得a-b+1=0,故a-b=-1.故选D. 3.D【解析】将x=a代人方程x2-3x+m=0得a2-3a+m=0, 同理，将x=-a代人方程x2+3x-m=0得a2-3a-m=0, ∴.m=0,a2-3a=0,即a(a-3)=0,.a=0或3.故选D. 4.C【解析】：等腰三角形三边长分别为a,b,4,∴.a=b,或a, b中有一个数为4.当a=b时，有4=(-6)2-4(n+1)=0,解 得n=8,此时方程为x2-6x+9=0,解得x,=x2=3,此时三 角形的三边长分别为3,3,4，满足条件.当a,b中有一个数为4 时，有42-6×4+n+1=0,解得n=7,此时方程为x2-6x+8=0, 解得x,=2,x2=4,此时三角形的三边长分别为2,4,4，满足 条件.故选C. 5.0或16【解析】设两个根为x,x2,由一元二次方程根与系数 的关系得5+名6-a两式相加，得托场，=6，(x+1) xx2=a, (G+1)=7,两根都是整数，1=或+1=-1 x2+1=1x2+1=-7, 三二6或8…a=西=0或16，故答案为0或16 6.【解】把x=n代入方程得mm2-4n-5=0,即mn2-4n=5, 代入已知等式得5+m=6,解得m=1. 7.【解】m是方程x2-2x-3=0的一个根，.m2-2m-3=0, ,∴.m2-2m=3,∴.（m-2)2+(m+3)(m-3)=m2-4m+4+m2-9= 2(m2-2m)-5=2×3-5=1. 8.【解】·x,x2是方程2x2-x-5=0的两根， 5 杯，=25=-2 (1)1+1=+= x x2 x X2 2二5 2 20+5+5)=56)+25=-3+5×号+25=25. 9.D【解析】，'关于x的方程x2-2x+b=0有两个不相等的实 数根，∴.a≠0,1=(-2)2-4ab>0,.4-4ab>0,∴.ab<1. D选项符合题意.故选D. 10.2【解析】：关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根， ∴.<0，即22-4×1×c<0,解得c>1,∴.c可取的最小整数是 2.故答案为2. 11.【解】(1)根据题意，得4=b24ac≥0， 即(-2)2-4(2m-1)≥0，解得m≤1. (2)当m=1时，方程为x2-2x+1=0, 解得x,=x2=1.(注：m的值不唯一) 12.(1)【证明】.x2-(k+4)x+4k=0, .4=[-(k+4)]2-4×4k=2+8k+16-16k=(k-4)2≥0， .不论k为何值，该方程总有两个实数根. (2)【解】：x2-(k+4)x+4k=0,∴.(x-4)(x-k)=0, 解得x1=4,x2=k .该方程有一个根小于2，.k<2. (3)【解】由题意得x,=3或x2=3,将x=3代人x2-(k+4) x+4k=0,得k=3. 13.A 14.D【解析】依题意得八、九月的产量分别为52(1+x),52(1+x)2, .52+52(1+x)+52(1+x)2=196中的x表示的意义是该厂八、 九月平均每月的增长率.故选D. 15.【解】设这个生物体视网膜厚度的周平均增长率为x, 根据题意得150(1+x)2=216, 解得x,=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：这个生物体视网膜厚度的周平均增长率为20% 16.【解】(1)设这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长 率为x, 根据题意得256(1+x)2=400, 解得x1=0.25=25%,x2=-225(不合题意，舍去). 答：这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率为25%， (2)400×（1+25%)=500(万人)： 答：预计第三年A地区公民出境旅游的总人数为500万人 17.D 18.2【解析】设道路宽为xm,根据题意得(20-x)(32-x)=540, 整理得x2-52x+100=0,解得x,=50(舍去)，x2=2.故答案为2 19.1【解析】设空白区域的宽度应是xdm,则(25-5x)(8-2x)= 120,解得x1=1,x2=8(不合题意，舍去)， ∴.空白区域的宽度应是1dm.故答案为1. 20.【解】设相同的宽度为x米，则长方形装饰板的长为(4-2x)米， 宽为(3-x)米. 依题意，得(4-2x)(3-x)=4. 整理，得x2-5x+4=0,解得x,=1,x2=4. 又.4-2x>0,.x<2,.x=1. 答：相同的宽度应该是1米. 21.【解】设截去的小正方形的边长为xcm, 根据题意列方程，得(12-2x)(8-2x)=32. 整理，得x2-10x+16=0,解得x1=8,x2=2. x1=8不合题意，舍去. 答：截去的小正方形的边长为2cm. 22.【解(1)6-3x 2 5 2)依题意，得x·6-3x=1.5, 2