第十六章一元二次方程单元测试B卷 2025-2026学年北京版八年级下册数学

第十六章 一元二次方程 单元测试B卷 一、选择题 1．一元二次方程的解是（    ） A．， B． C． D．， 2．把一元二次方程化为一般形式，则它的一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，原方程变形为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 5．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 8．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．若方程较大的根为，方程较小的根为，则（    ） A．2016 B．2017 C． D． 10．如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 11．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有两种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 12．已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知关于的方程两根为、，则______． 14．设a、b是方程的两个实数根，则的值为______． 15．已知是方程的一个根，则代数式的值是_____． 16．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____． 三、解答题 17．一元二次方程的一个根是，求另一个根及k的值． 18．（1）计算：； （2）解方程：． 19．某厂一月份的产值是50万元，第一季度总产值是182万元，求：平均月增长率． 20．某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，6月份的生产成本是324万元．假设该公司5，6，7月每个月生产成本下降的百分率都相同． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)求7月份该公司的生产成本． 21．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 22．用适当的方法解下列方程 (1)； (2)． 23．先化简，再求值，其中x的值是一元二次方程的解． 24．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 25．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六章 一元二次方程单元测试B卷》参考答案： 1．A 【分析】先移项，然后利用开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案． 【详解】解：化为一般式为： ∴故一次项系数为-3，常数项为：-1 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：（a,b,c是常数且a≠0），在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 【详解】解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的，时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，此题分，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，方程化简为，是一元一次方程，有实数解； 当时，方程为一元二次方程，有两个实数根， ∴ ∴， ∴的取值范围是， 故选：B ． 7．C 【分析】运用配方法将原方程转化为，运用直接开平方法可以转化为两个一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， ∴或 ∴另一个一元一次方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意可得，， 故选：． 9．B 【分析】分别用因式分解法求解两个方程，得到m和n的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：，， ∴， 又∵ ∴， 解得：，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 10．B 【分析】如图所示，连接交于O，利用菱形的性质得到，，设，则，利用勾股定理得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．A 【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 此时都不符合题意， 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验不符合题意， 综上：若，，则没有围法，故A符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验符合题意， 综上：若，则有两种围法，故B不符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验都符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验都不符合题意， 若，则有两种围法，C不符合题意， 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验都不符合题意， 综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 12．D 【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出的取值范围，再代入方程即可求解． 【详解】解：变形得，， ∵为正整数， ∴存在正整数，使得①， ∴，即， ∴②， 设关于的方程为③，方程有两个正整数解， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值为，可证为时方程③无正整数根， ∴当时，方程得，，解得，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键． 13． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出即可． 【详解】解：关于的方程两根为、， ． 故答案是：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 14． 【分析】根据一元二次方程的解定义得出，求出，再根据根与系数的关系得出，代入即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为x1，x2，那么． 15． 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 16．## 【分析】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键． 先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 设的两个根为，， 由根与系数的关系可知，，， ∴， ∵，均大于1且小于2， ∴，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 17．另一个根是5，k的值为 【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解得a，再把代入方程求得k． 【详解】解：设它的另一个根是a，则 ， 解得， 把代入方程，得 ， 解得． 答：另一个根是5，k的值为． 【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系，． 18．（1）0；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，平方差公式，零指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式，零指数幂进行计算，即可解答； （2）根据解一元二次方程-因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴，． 19．平均月增长率为 【分析】设平均月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设平均月增长率为，根据题意，得 解得（舍去） 答：平均月增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 20．(1)每个月生产成本下降的百分率为 (2)7月份该公司的生产成本为291.6万元 【分析】（1）设每个月生产成本下降的百分率为是．根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）设每个月生产成本下降的百分率为是． 根据题意得：． 解方程，得，（不合题意，舍去）． 所以． 答：每个月生产成本下降的百分率为． （2）万元． 答：7月份该公司的生产成本为291.6万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程 （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ∴， 解得，． 22．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）用公式法求解即可； （2）方程整理后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：方程整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 23．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则和解一元二次方程是解题的关键． 先根据分式混合运算法则计算，即可化简，再求出方程的根，然后选择使分式有意义的值代入化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 解方程得，， ∵时，原分式没有意义， ∴， 当时，原式． 24．（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 25．(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $