2026年四川内江市威远中学九年级下学期第二次模拟测数学试题

**基本信息** 以天舟六号航天、积石山地震救灾等时代情境和《孙子算经》文化素材为载体，覆盖函数、几何等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|科学记数法、众数中位数、圆锥侧面积|结合春节游客量考查科学记数法，体现数据意识| |填空题|8题44分|因式分解、分式方程增根、正方形动态问题|16题以正方形内动点为背景，考查几何直观与空间观念| |解答题|8题80分|反比例与一次函数综合、运输方案设计、抛物线综合|26题结合地震救灾物资运输，考查方程与不等式的模型应用；28题抛物线平移与菱形存在性问题，培养创新意识|

威远中学2026届初三下期第二次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．的倒数是（   ） A． B． C．2026 D．-2026 2．2025年春节假期，内江市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，春节假期首日，全市共接待游客人次．将用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，，则∠3的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34 6．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在直角坐标系中，的边在y轴上，，，点C在上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 10．如图，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，若，，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 ( 11 题图 ) ( 10 题图 ) 11．如上图，为圆O一条弦，交于N，交劣弧于点D，在圆上取一点C，连接交于M，连接，若，M平分，且，则（   ）   A． B． C． D． 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（    ） A． ②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④ 2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13． 分解因式：x3﹣6x2+9x= 14.若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 15．如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为    16．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17.（8分，每小题各4分）计算或化简： （1）计算： （2）化简： 18. （8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，． (1)请判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 19.（9分）天舟六号是世界现役运输能力最大的货运飞船，5月10日，由中国航天科技集团五院研制的天舟六号货运飞船由长征七号遥七运载火箭发射升空，随后顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为庆祝我国航天事业取得的辉煌成就，学校开展了航天知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（），并绘制出如图不完整的统计图． (1)求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整； (2)若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？ (3)现学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发荣誉证书，在不知道证书内姓名的情况下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率． 20.（8分）22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h． (1)求学校到红色文化基地A的距离？ (2)哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）． 21.（11分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． B卷（共60分） 3、 填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 若α、β是方程的两个实数根，则 ． 23．若关于的不等式组有且只有两个整数解，关于的一次函数的图像不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 24.如图，在边长为4的正方形中，为对角线上一点，过点分别作，，则阴影部分面积的最小值为 ．    25.如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则线段的长等于 ，等于 ． 4、 解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．） 26．甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表： 批次货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． (1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载）．已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 27．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 28．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点P作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 威远中学2026届初三下期第二次模拟测试题 数学试题答案 A卷（共100分） 1-6:BBBBDA 7-12:AABBAC 1．B 【详解】解：的倒数是，故选：B． 2．B 【详解】解：，故选：B． 3．B 【解答】解：A、，原式计算错误，故本选项错误；B、，原式计算正确，故本选项正确；C、原式计算错误，故本选项错误；D、，原式计算错误，故本选项错误；故选：B． 4．B 【详解】解：∵， ∴，∵，，∴．故选：B． 5．D 【详解】29，32，33，35，35，40，这组数据的众数：35，这组数据的中位数：．故选：D． 6．A 【详解】解：从左边看，左边一列上下两个正方形，右边一列下边是一个正方形．选项A符合题意， 故选：A． 7．A 【详解】解：依题意，得：．故选：A． 8．A 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，，∴，故选：A． 9．B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入中得：，故选：B． 10．B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，故选：B． 11．A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵M平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选：A． 12．C 【详解】解：由图象可得：，， 对称轴是直线， ，即， ， ，故①错误，不符合题意； 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象可得一个交点，关于直线对称， 另一个交点， 方程必有一个根大于2且小于3，故②正确，符合题意； 对称轴是直线，， ，故③错误，不符合题意； ， ， 令，， ， ， ，故④正确，符合题意； 对于任意实数，都有， 对于任意实数，都有，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的是②④⑤，故选：C． 13．x（x﹣3）2 【详解】解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 14． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得，故答案为：． 15． 【详解】解：由作法可得垂直平分， ， ， ． ，， ， ， 如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形， ， ， ， 16．-3 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴点F在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P， 连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3， ∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6， ∴OG＝9， ∴OP＝， ∴FP＝-3， ∴BE＋FE的长度最小值为-3， 故答案为：-3． 17．（1）；（2）1-a 【详解】解：（1）===； （2）=== 18．(1)，证明见解析 (2)． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴，，， 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 19．(1)人，条形图见详解；(2)有人；(3)； 【详解】（1）解：由图知：B组有人，占抽样人数的，A组有6人，D组有人， 所以本次抽取的学生有：（人）， C组学生有：（人）， 条形统计图补完整如图所示：   （2）解：（人）， 答：这次竞赛成绩在A组的学生有人； （3）根据题意，画出树状图如下：   可知总的情况有6种，刚好每个同学拿到的证书恰好都是自己的情况只有1种， 即所求概率为：， 故所求概率为：． 20．(1)学校到红色文化基地A的距离为60km． (2)第二组先到达目的地，理由见解析． 【详解】（1）过点B作BD⊥ AC于D， 依题意得：∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=45°．             在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠DCB，              ∴BD=CD， 设BD=x，则CD=x， 在Rt△ABD中，∠BAC=30°， ∴，， ∴， ∴，                       在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°， ∴， ∴，                                    ∵， ∴， ∴， ∴， 即学校到红色文化基地A的距离为60km． （2）第二组先到达目的地， 理由： 由（1）知：，， ∴，                        第一组用时： (h)； 第二组用时： (h)， ∵， ∵<1.5， ∴第二组先到达目的地， 答：第二组先到达目的地． 21．(1)； (2)4 (3)点E的坐标为 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， xx令，则，令，则， ∴的面积 ； （3）解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 22．4 【详解】解：∵α方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵α、β是方程的两个实数根， ∴， ∴．故答案为：4． 23. 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴， ∵关于的一次函数的图像不经过第二象限， ∴， ∴， 综上所述，的范围是：， ∴所有满足条件的整数的值之和为：．故答案为：． 24．4 【详解】解：如图，连接，   ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∴当最小时，阴影部分的面积最小，此时， ∵， ∴， ∴时，， ∴用阴影部分的面积最小值为． 25. /0.5 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． ∴ 故答案为：①；② 26．(1)每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资 (2)共有3种运输方案，安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元 【详解】（1）设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资， 依题意得：，解得：． 答：每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资． （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车， 依题意得：， ∴． 又∵m，n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车； 方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车； 方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车． （3）选择方案1所需费用（元）； 选择方案2所需费用（元）； 选择方案3所需费用（元）． ∵， ∴安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元． 27．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是的直径， ， ∵平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵是半径， 是的切线； （2）证明：∵， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∵平分， ， ， ， 在中，， ∴， ， ∴， ∴． 过点作于点，如图2， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴根据勾股定理可得：， ∴． 28．(1) (2)当时，的周长有最大值，为 (3)点的坐标为：或或或 【详解】（1），， ，， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， ； （2）解：， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，有最大值，为，此时，， 当时，的周长有最大值，为； （3）解：的图象向左平移2个单位， 联立方程得，， 解得，， ， ， 又， 设 以点，，，为顶点的四边形为菱形， 为等腰三角形， ， ， ， 当时， ，即：， 解得：， ； ②当时， ，即：， 解得：， 或； ③当时，，即：， 或（舍去）， 综上，点的坐标为：或或或． 第13页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $