3.4 问题解决活动：最短距离 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦最短距离问题，以“将军饮马”（轴对称转化）为基础，延伸至“将军遛马”（平移转化），通过实际问题抽象为数学模型，搭建从单点到双点、从对称到平移的转化思想学习支架。 其亮点在于以生活实例（如地铁通道、天桥修建）引导学生用数学眼光抽象问题，通过严谨推理（如对称点、平移点证明）培养推理意识，总结“化折为直”解题步骤提升应用意识。学生能掌握图形变换方法，教师可依托系统案例提升教学效率。

问题解决活动：最短距离 在七年级下册的时候我们学过利用转化的思想解决问题： ①作点B关于河边直线 l 的对称点B'， ②连接AB'，与直线 l 相交于点C. 则点C即为所求. 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 “将军饮马”问题 如图，将军从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 如何选择饮马点C，可以使得将军所走的路径最短呢？为什么？ B A B' C l 你能证明AC+BC最短吗? 问题1 2 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 “将军饮马”问题 证明:如图，在直线l上任取一点C'(与点C不重合). 连接AC'，BC'，B'C'，由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C’. ∴AC+BC=AC+B'C=AB’， AC'+BC'=AC'+B'C’. 在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C’， ∴AC+BC<AC'+BC’， 即AC+BC最短. 3 居民区 工厂 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧,现要,沿着地铁线路修建一条地下通道,居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。 已知该地下通道长度为am,那么地下通道的两个出入口应该设计在何处,才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短?请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度)。 问题2 4 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 上述问题可以抽象成怎样的数学问题?试着写一写,画一画。 理解问题 居民区 工厂 已知一条直线 l (地铁线)，直线 l 两侧有两点A(居民区)、B(工厂)， 在 l 上找两个点M和N，使得MN＝a(固定值). 求AM＋MN＋NB的最小值. 由于MN是固定长度a，所以我们的问题实际上就转化为： 如何选择点M 和N，使得AM＋NB的值最小. 5 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 (1)你以前遇到过类似的问题吗? 拟定计划 我们学过“将军饮马”问题：在直线同侧有两点，找直线上的一个点使距离和最短；以及“两点之间，线段最短” 等问题. (2)解决这个问题最大的困难是什么? 最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离(确定一线段)无法通过直接连接A，B两点(确定一个点)来得到所求点的位置. 你能将这个问题转化成前面的问题(1)吗? 6 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 (3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、 通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗? 拟定计划 我们可以尝试把工厂沿着平行于地下通道的方向平移，平移的距离等于地下通道的长度a，通过这样的平移操作，原本被地下通道分割开的两段路，就能够在平移后连接起来，这样就可以利用 “两点之间，线段最短” 的原理来找到最短路线. 7 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 实施计划 （1）写出你的解决方案 M' ①平移变换(“移动”工厂)：将工厂点B沿着平行于地铁线 l 的方向，向居民区A的一侧平移 a m，得到一个新的点B'； ②连接对应点(寻找“最短”线段)：忽略中间的地下通道，直接连接居民区A和平移后得到的点B'，连接AB'； ③确定第一个入口(M'点)：线段AB'与地铁线 l 相交于一点M'； B' N A B M l a 8 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 N' ④确定出口(N'点)：从刚刚找到的点M'出发，沿着地铁线 l 向原来工厂B所在的方向移动a m，找到另一个点，标记为N'； ⑤确认最终路径：现在，描出最终的最短路线，从A出发，到M'点进入地下通道，从N'点走出通道，最后到达工厂B. 路径为A→M'→N'→B. 实施计划的关键是通过平移将被地下通道分离的线段转化为可利用“两点之间，线段最短” 原理的连续线段，从而确定最短路径的端点. M' B' N A B M a l a 9 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 证明:将点B水平向右平移a个单位到点B′，连接BN,B′M 由平移可知BB′=MN，且BB′∥MN ∴ 四边形BB′MN为平行四边形。 ∴ BN=B′M ∴ AM + MN + NB = AM+MN + MB′ ＞ MN+AB′ （2）说明你的方案的合理性 又∵△AMB′中， AM+ MB′ ＞ AB′ ∴只有当A、M、B′三点共线时， AM+ MB′ = AB′最小 10 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 归纳总结 解决实际“最短距离”问题的一般过程： 1.将实际问题中的地点、路线等抽象为数学中的点、线，明确已知条件和目标； 2.利用平移等图形变换，将分散的折线路径转化为可直接应用 “两点之间，线段最短” 的连续线段； 3.通过连接转化后的点，找到与已知直线的交点，确定最短路径的关键端点. 11 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 新课引入 “将军遛马”问题 通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么? 回顾反思 (1)解决这类最短路径问题可以将一个定点(定线段) 进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答. (2)解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决 12 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 解决问题 1.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁, 现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直.那么，天桥建在何 处才能使由甲到乙的路线最短? 解:如图所示，记甲单位所在位置为点A， 乙单位所在位置为点B，将点A沿竖直 向下的方向平移，平移距离等于桥长， 到达点A1，连接A1B，与道路靠近乙单 位的一侧交于点B1，过点B1建桥即符合要求. 甲 乙 A A1 B1 13 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 解决问题 2.如图，某护城河在CC'处直角转弯，河宽均为5 m，A，B到外河岸的距离都为5 m，从A处到达B处，需经两座桥：DD'，EE'(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从A处到B处所走的路程最短？ E □ G 解：如图，作法如下： 过点A作AF垂直于河岸，AF等于河宽；过点B作BG垂直于河岸，则AF＝BG＝河宽(即相当于将桥平移到AF，BG的位置) 连接GF，分别与河岸相交于点E'，D'； 过点D'作D'D垂直于河岸于D，过点E'作E'E垂直于河岸于E. 由作图可知AD＋DD'＋D'E'＋EE'＋BE＝FD'＋AF＋D'E'＋BG＋GE'， ∴最短路径为AF＋FG＋BG， ∴D'D，E'E即为两座桥的位置. E' □ F D' D 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(5，4)，点E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为 . 解决问题 (2，0) 由题意知A(0，4)，E(5，2)，由平移得A′(2，4)， 由对称可知A″(2，-4). 设直线A″E的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 将A″(2，-4)，E(5，2)代入， 得解得 即直线A″E的函数表达式为y=2x-8. 令y=0，得0=2x-8，解得x=4，即Q(4，0)， 故P的坐标为(2，0). 15 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 16 $