2.重难题型卷(一) 平行线-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下RJ5E 2.重难题型卷（一）》 地 平行线 尽 州 题型一 判定与性质的综合问题 岩期 1.如图，直线a,b被c,d所截，∠1+∠2=180°，∠3=60°，则 ∠4的度数为( A.30° B.45° C.60° D.120° 6 第1题图 第2题图 2.(期中·北京一零一中学)如图，在四边形ABCD中，E是CB 製 延长线上一点，下列推理正确的是( ) A.如果∠1=∠2，那么AB∥CD B.如果∠3=∠4，那么AD∥BC C.如果AD∥BC,那么∠2=∠5 D.如果∠6+∠BCD=180°，那么AD∥BC 3.开放性试题如图，已知AC∥BD,请添加 靴 一个条件，使得AB∥CD,则添加的条 件是 4.(期中·首师大附中)如图，已知线段AB与 D 线段AC,点O为AB上一点，∠A=60° 第3题图 (1)按要求完成下列画图： 在AB下方画射线BE,使∠OBE=60°，连接CO并延长交射 茶 线BE于点D, 崇 (2)求证：∠C=∠CDB. 证明：.'∠A=60°，∠OBD=60°，∴.∠A=∠OBD, ∴.AC∥BD( 加 阳 ∴.∠C=∠CDB( C 胞 第4题图 5.(月考·北京一零一中学)已知：如图，AB∥CD,AD和BC交于 点O,E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD= 180°.求证：∠EFC=∠A, B 第5题图 6.(期中·北京八中)如图，已知∠BAC=90°，DE⊥AC于点H, ∠ABD+∠CED=180°. (1)求证：BD∥EC. (2)连接BE,若∠BDE=30°，且∠DBE=∠ABE+50°，求 ∠CEB的度数. B H 第6题图 —5 题型二折叠问题 7.如图，图①是AD∥BC的一张纸条，按图①→图②→图③ 的方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平， 若图③中∠CFE=18°，则图②中∠AEF的度数为( ① ② 第7题图 A.114° B.108° C.120° D.126° 8.操作与实践（期中·北京三十五中）学习了平行线后，小龙 同学想出了“过已知直线外一点P画这条直线的平行线的 新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸片得到的（如图 ①~④) 请你观察图①~④，完成下面的填空题和选择题 盗印 ③ 第8题图 第一次折叠后（如图②所示），得到的折痕AB与直线m之 间的位置关系是 ；将正方形纸片展开，再进 行第二次折叠（如图③所示），得到的折痕CD与第一次折 痕之间的位置关系是 ；再将正方形纸片展开 (如图④所示)，可得第二次折痕CD所在的直线即过点P的 已知直线m的平行线.从图中可知，小明画平行线的依据 有( ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行， A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 9.(期中·北京二中分校)如图，将长方形 D M/ ABCD折叠，折痕为EF,BC的对应边 B'C与CD交于点M,若∠AEB=30°， B 则∠DFE的度数为 E 第9题图 10.(期中·北师大附中)如图，在三角形ABC 中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连 接CD,将三角形BCD沿CD翻折得到 三角形ECD,使DE∥AC,CE交AB 于点F若∠B=a,则∠DCB的大小是 第10题图 (用含a的代数式表示) 题型三“拐点”问题 11.（期中·北京交大附中)直角三角板和直尺按如图所示放置， 若∠1=20°，则∠2的度数为( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 30 ⑦ 第11题图 第12题图 12.学科融合物理如图①，当光线从空气斜入射到某种透明 的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数 比为3：2.如图②，在同一平面内，两条光线同时从空气斜 射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为， B,在液体中两条折射光线的夹角为y,则a,B,y三者之间 的数量关系为( A号(a4B)=7 B.号(a+B)=120-7 C.a+B=y D.a+f+y=180° 13.(期中·清华附中上地学校)如图，AB∥CD,CE交AB于点 F,∠C=54°，∠AEC=14°，则∠A= D 第13题图 第14题图 14.（期中·北京十三中分校)有一种生活中常见的折叠拦道闸， 可将其抽象为几何图形，如图所示，BA垂直地面AE于点A, CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD= 15.(期中·北京一零一中学)某学生上学路线如图所示，他总共 拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第 一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯∠1的 度数是 1509 120 第15题图 16.(期中·北京一六一中学)如图，AB∥CD,点E,F分别在直 线AB,CD上，点O在直线AB,CD之间，∠EOF=a. (1)如图①，若a=100°，求∠BEO+∠DF0的值 (2)如图②，直线MN交∠BEO,∠CFO的平分线分别于点M, N,求∠EMN-∠FNM的值.（用含a的代数式表示) A E BA E BA 0 N< G/ DC ① ② ③ 第16题图 (3)如图③，EG在∠AEO内，∠AEG=n∠OEG,FK在 ∠DFO内，∠DFK=n∠OFK.直线MN交FK,EG分别于 点M,N,若a=130°，∠FMN-∠ENM=40°，则n的值 是 题型四旋转问题 17.(月考·北京十二中改编)一副直角三角尺叠放如图①所 示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺 ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互 相平行.如图②，当∠BAD=15时，BC∥DE.则∠BAD (0°<∠BAD<180°，点B在直线AD的上方)其他所有可能 —6 符合条件的度数为 ① ② 第17题图 18.(期中·人大附中)已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别 交于点E,F,∠AEF=120°，EG平分∠AEF (1)将线段EG沿EF平移得到线段FH(E的对应点为F), 在图①中完成平移作图，并写出∠CFH的度数为 (2)如图②，若FM平分∠EFD,求证：EG∥FM (3)射线EF从EF开始，绕点E以每秒6°的速度逆时针旋 转，EG平分∠AEF,同时直线CD从CD开始，绕点F以每 秒18°的速度逆时针旋转，若直线EG和直线C'D'相交所夹 的锐角为30°，直接写出运动时间t秒(0≤t≤15)的值 拒绝盗印 (② 第18题图由(1)知DH∥AC,.∠BHD=∠ACB=60°. 24.(1)【证明】：AC∥DE,∴.∠D+∠ACD=180° .∠D+∠BAC=180°， .∠BAC=∠ACD, .AB∥CD. (2)【解】如图，·AC∥DE, .∴.∠ACE=∠CED=35°. CE平分∠ACD, .∴.∠ACD=2∠ACE=70° AB⊥BC,.∠B=90° 第24题答图 AB∥CD, .∠BCD=180°-∠B=90°， ∴.∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°-70°=20， 25.【獬】探究：(1)：AB∥DE,∴.∠1=∠3. BC∥EF,∠3=∠2，∴.∠1=∠2. (2)作图如图所示 ∠1+∠2=180° A 分析：：AB∥DE, D ∠1=∠3. B 11 23C :BC∥EF, F ∴.∠3+∠2=180°， 第25题答图 .∠1+∠2=180° 归纳：相等或互补 26.【解]1(1)36mn-) 2 (2)35 (3)把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点 的个数为36， 36-24=12, ①12=10+1+1，则可以看作，有5条直线两两互相平行，其余 4条直线不平行，但每两条互相平行，如图①； ① ② 第26题答图 ②12=6+6，即有4条直线分别平行，另4条直线分别平行，但 这两组直线不平行，如图②， 27.【解】(1)①补全图形如图①所示 ②如图①，过点P作PJ∥AE, 由平移的性质可得AE∥BC,AB∥ED, ∴∠AED=∠EDC=∠B=40°. :EP,CP分别平分∠AED,∠ACB, ·.∠PCB=3∠ACB=30,LAEP=3∠AED=20°. PJ∥AE,AE∥BC,∴.PJ∥BC, .∠EPJ=∠AEP=20°，∠CPJ=∠PCB=30°， ∴∠EPC=∠EPJ4∠CPJ=50°. (2)∠EPC=7a+30或120°+2a 分析：若∠B=a, 由(1)②可知，∠EPC=∠AEP+∠BCP LAEP=3∠AED=2∠EDC=2B=3a,∠BCP=30, 真题圈数学七年级下RJ5E ∠EPC=3a+30, 如图②中，同法可得∠EPC=120°+号a 如图③中，同法可得∠EPC=120°+2a 综上所述，∠EPC=5a+30°或120°+a D B ③ 第27题答图 28.【解】(1).：射线OC平分∠BOD, ∴.∠BOC=∠COD. :∠A0C+∠C0D=180°， .∠A0C+∠B0C=180°， .射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”. (2)88 分析：，射线OE为∠BOC与LBOE的“互补线”， ∠BOC+∠BOE=180°. 又，∠A0C+∠BOC=180°， ∴.∠AOC=LBOE. :∠A0C+∠AOD=180°，且∠AOD=136°， .∠A0C=180°-∠AOD=180°-136°=44°， ∴.∠BOE=44°，∠B0D=44°， ,∴.∠DOE=∠BOE+∠BOD=44°+44°=88° (3)∠BOC+∠EOF的度数是定值. :射线OB为∠BOC与LAOC的“互补线”， .∠AOC+∠BOC=180°. :射线OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC, ∴.∠AOE=∠EOC,∠BOF=∠FOC. ,∴.∠AOE+∠EOC+∠BOF+∠FOC=180°. .2∠B0F+2∠E0C=180°， ∴.∠B0F+∠E0C=90°. :∠EOC=∠EOB+∠BOF+∠FOC, ∴.∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC=90°， .2∠BOF+∠EOB+∠FOC=90°. :2∠BOF=∠BOC,∠EOB+∠FOC=∠EOB+∠BOF= ∠E0F,.∠BOC+∠EOF=90°， ∴.∠BOC+∠EOF的度数是定值，等于90° 2.重难题型卷（一）平行线 1.C【解析如图，：∠1+∠2=180°， ∴.a∥b, e ∴.∠3=∠5=60°， .∠4=∠5=60°. 故选C 2.C 3.∠C=∠B(答案不唯一)【解析】 第1题答图 AC∥BD, 答案与解析 ∴.∠C=∠BDF ∠C=∠B,∴.∠B=LBDF, AB∥CD. 故答案为LC=∠B.(答案不唯一) 4.【解(1)如图所示. (2)内错角相等，两直线平行两直 线平行，内错角相等 5.【证明】AB∥CD,.∠A=∠D :∠CEF+∠BOD=180°， 第4题答图 ∠BOD+∠DOC=180°， .∴.∠CEF=∠DOC..EF∥AD. .∠EFC=∠D.∴.∠EFC=∠A. 6.(1)【证明】.DE⊥AC,∠AHE=90 ∠BAC=90°，∠BAC=∠AHE, .BA∥DE, ∴.∠ABD+∠BDE=180°. :∠ABD+∠CED=180°， ∠BDE=LCED,.BD∥EC (2)【解如图， 由(1)可得，∠ABD+∠BDE=180°， ∠BDE=30°， .∠ABD=180°-∠BDE=180°-30° D =150°. ∠DBE=∠ABE+50° 第6题答图 ∴.∠ABD=∠ABE+∠DBE=∠ABE+∠ABE+50°=2∠ABE+ 50°=150°，∴.∠ABE=50°， .∠DBE=∠ABE+50°=50°+50°=100°. BD∥EC,.∠DBE+∠CEB=l80°， .∠CEB=180°-∠DBE=180°-100°=80°. 7.A【解析如图，设∠MFE=x, H M 第7题答图 :纸条沿EF折叠， .∠MFE=∠MFE=x,∠NEF=∠NEF, .∠MFC=∠MFE-∠CFE=x-18. 纸条沿MF折叠，∴.∠CFM=∠MFC=x-18°. 而∠MFE+∠MFE+∠CFM=180°， .x+x+x-18°=180°，解得x=66°」 :N∥MC,∴.∠NEF=180°-∠MFE=180°-66°= 114°，.∠AEF=∠NEF=114°.故选A. 8.垂直垂直C 9.75°【解析】由折叠的性质可得∠BEF=∠BEF, ,'∠AEB'=30°，∠AEB+∠BEF+∠BEF=180°， ·∠BEF=号×(180°-30°)=75°. CD∥AB,.∠DFE=∠BEF=75° 故答案为75°. 10.90°，L【解析】：将三角形BCD沿CD翻折得到三角 2 形ECD,·∠B=LE=a,∠BCD=LECD=∠ECB, DE∥AC,.∠E=∠ACE=a,.∠ECB=∠ACB-∠ACE =90-a,∠DCB=3/ECB-=90°a. 2 故答案为90°-@ 2 11.C【解析】如图，过点E作EF∥AB,则AB∥EF∥CD, .∠1=∠3，∠2=∠4. 由题意可知∠3+∠4=60°，.∠1+∠2=60°. :∠1=20°，∠2=40°.故选C. Q A 3099 D G 第11题答图 第12题答图 12.B【解析】如图所示，过B,D,F分别作水平线的垂线，则 PC∥ED∥QG, .∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+LDFG 由题意可得，∠D8C=号ABP=号(90P-a, ∠DrG=子∠HQ-3(90°， ∠BDF=2(90°-a)+2(90°-B)=号(180°-a-f), 即7=120°-3(a+8,3(aB)=120-7 故选B. 13.40【解析】如图，过点E作EM∥AB,∴.∠MEA=∠A ,AB∥CD,∴.EM∥CD,∴.∠MEC=∠C. ,∠AEC=14°，∠C=54°，∠MEC=∠MEA+∠AEC, ∴.∠A=∠MEA=∠MEC-∠AEC=∠C-∠AEC=40° 故答案为40. M D 第13题答图 第14题答图 14.270【解析】过点B作BF∥AE,如图，：CD∥AE, .BF∥CD,.∠BCD+∠CBF=180°. :AB⊥AE,.∠BAE=90°.：AE∥BF,∠ABF+∠BAE =180°，.∠ABF=90°， .∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°= 270°.故答案为270. 15.90°【解析】如图，过点A作AD∥EF, ∴.∠DAE+∠E=180°， A 故∠DAE=180°-150°=30°. B120/个150°-D F 由题可知EF∥BC, AD∥BC, 第15题答图 .∠DAC=∠C=120°， .∠1=∠DAC-∠DAE=120°-30°=90°. 故答案为90° 16.【解(1)如图①，过点O作OP∥AB, AB∥CD,∴AB∥OP∥CD, ∴.∠BEO+∠EOP=180°，∠DFO+∠FOP=180°， ..∠BEO+∠EOP+∠DFO+∠FOP=360°， 即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°. .·∠EOF=100°，∴.∠BEO+∠DF0=260°. E 0 K.M N H ② 第16题答图 (2)如图②，过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD ,EM平分LBEO,FN平分∠CFO, .设∠BEM=∠OEM=x,∠CFN=∠OFN=y AB∥CD,∠EOF=a, 由(1)得∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°， ·2xa+(180°-2y）=360,xy=90°-2a MK∥AB,NH∥CD,AB∥CD, ∴AB∥MK∥NH∥CD, ∴.∠EMK=LBEM=x,∠HNF=LCFN=y,∠KMN=∠HNM, ∴.∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠HNM4∠HNF) =+∠K-∠My=xy=90-号a 故∠EMN-∠PMM的值为90°-号a (3)4 分析：同(2)理得∠FMN-∠ENM=∠MFD-∠AEN,∴.∠MFD- ∠AEN=40°，∴.n∠OFK-n∠OEG=40°，即n(∠OFK-∠OEG) =40°. 由(1)可知∠BEO+∠EOF+∠OFD=360°， .∴.180°-n∠OEG-∠OEG+130°+n∠OFK+∠OFK=360°， .∴.180°+40°+130°+∠OFK-∠OEG=360°， ∴.∠OFK-∠0EG=10°，.n=4. 17.45或60°或105°或135°【解析】分情况讨论： ①如图①，当∠BAD=∠DAE=45时，AC∥DE; B 第17题答图① ②如图②，当∠DAB=∠B=60时，BC∥AD; >C D 第17题答图② ③如图③，当时∠EAB=∠B=60°，BC∥AE, 则∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°； E 第17题答图③ 真题圈数学七年级下RJ5E ④如图④，当∠E=∠EAB=90时，AB∥DE, 则∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135° 第17题答图④ 故答案为45或60°或105°或135°. 18.(1)【解】如图，线段FH即所求. ② 第18题答图 60° 分析：AB∥CD, .∠AEF+∠EFC=180°， .∴.∠EFC=180°-120°=60°. ,EG平分∠AEF, ∠GBF=AEF=方x120=60 由作图可知EG∥FH, .∴.∠GEF+∠EFH=180°， .∠EFH=120°， ∴.∠CFH=∠EFH-∠EFC=60° (2)【证明】：AB∥CD, ∴.∠DFE=∠AEF=120° :EG平分∠AEF, ∴ZGBF=ABF=3×120°=60 :FM平分∠EFD, ∴∠EFM=∠DFE=60, .∠GEF=∠EFM, .EG∥FM (3)【解】2或6或14 分析：设直线EG和直线CD相交于点H,直线EG和直线CD 相交所夹的锐角为30°， 分三种情况： ①当0°≤18°t≤120时，∠EHF=30°，如图②， 由旋转可知：∠FEF'=(6t)°，∠CFC'=(18t)°， :EG平分∠AEF, .∠AEG=号120+6)=(60+3)°. 过点H作HM∥AB, AB∥CD,.HM∥AB∥CD, ∴.∠EHM=∠AEH,∠FHM=∠CFH ∴.∠EHF=∠EHM-∠FHM=∠AEH-∠CFH, ∴.30°=(60+31)°-(18)°，解得1=2； 答案与解析 ②当18°>120°且6°tK60时， ∠EHD'=30°，如图③， ③ 第18题答图 则∠EHF=150°，∠CFH=∠DFC'=(180-18t)°，∠AEH= (60+3t)°， 同①理得LEHF=∠AEH+∠CFH, .150=(60+3t)°+(180-18t)°，解得t=6; ③当6°t≥60°且t≤15时，∠EHF=30°，如图④， 则∠CFH=(18t-180)°，∠AEH=(60+3t)°， 同①理得∠EHF=∠AEH-∠CFH,∴.30°=(60+3t)°-(181 180)°，解得t=14. 综上，若直线EG和直线CD相交所夹的锐角为30°，运动时间 t秒的值为2或6或14. 3.第八章学情调研 题号 1 2 3 45678 答案 1.A 2.D【解析】无理数有√5，π，6,2.123122312223…，共4个。 故选D 3.C【解析】6=4，±16=±4，-27=-3，V-4)2=16 =4,C选项正确.故选C. 4.C【解析】A.实数分为正实数、负实数和0，故A选项错误； B.一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故B选项错误； C.所有的无理数都可以用数轴上的点表示，故C选项正确； D.两个无理数的和不一定是无理数，有可能是有理数，例如π+ (-元)=0,0是有理数，故D选项错误 故选C. 5.C【解析】-π<0；2<V5<3;3<V13<4;4<17<5.根据数 轴可知，被覆盖的数在3与4之间.故选C. 6.C【解析】，m2+1(m为实数)≥1， .m2+1一定有平方根； 当m=0时，m2+1有最小值1； 当m=元时，m2+1是无理数； m2+1的算术平方根大于等于1.故选C. 7.D【解析】A.根据绝对值的性质可知，两个数的绝对值相等， 则这两个数相等或互为相反数，故A选项错误； B.平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负 数，故B选项错误； C.两个数可能互为相反数，如a=-3,b=3,故C选项错误； D.根据立方根的定义，显然这两个数相等，故D选项正确. 故选D. 8C【解析D当=6时，x=K丘，不合题意。 。1 16 ②当=时x=±x=-号时，xK,且G无意义，不 合题意x=合时，G=分r<K反，符合题意. ③当x=6时，2=6<，不合题意.故选C 1 9.√2（答案不唯一） 10.√2【解析】64=4，√4=2,2是有理数，√2=√2，即输出 的y是√2，故答案为√2 11.0或1 12.1【解析】：(x-3)2+Vy+2=0,(x-3)2≥0，Vy+2≥0， ∴.x-3=0,y+2=0,解得x=3,y=-2, .x+y=3-2=1.故答案为1. 13.-1(答案不唯一，a<0即可) 14.n=)m【解析]诺一个棱长为m的立方体的体积缩小为原 来的g,则P=日m,即m=号m故答案为n=3m 15.1-√5【解析】.正方形的面积为3， ∴正方形的边长为√5，即圆的半径为√5， .点A表示的数为1-√3. 故答案为1-√5. 16.4√7+1【解析】：2<√7<3， ∴.2+√7的整数部分为2+2=4,5-√7的整数部分为2， .5-√7的小数部盼为5-√7-2=3-√万. 故a=4,b=3-√7，则1b-al=√7+1. 故答案为4；√7+1. 17.【解】(1)原式=3-4+√5-2=√5-3. 2)原武=4×}2-2=12-2=-3 18.【解】(1).2x3=-16,.x=-8, ∴.x=-2. (2).25(x2-1)=24, 21=器， 2=器x=士子 19.【解】因为a是1的算术平方根，所以a=1. 因为b是8的立方根，所以b=2. 所以b-a=2-1=1, 所以b-a的平方根为士1. 20.【解】1<3<4， .1<V3<2. 又10+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1, .x=11,y=5-1. ∴.x-y=11-(V3-1)=12-√5. .x-y的相反数是√5-12. 21.【解】由题意得，ab=1,c+d=0,e=√2，f=64, 原式=3×1+号+（万）244=号0+244=号 22.【解】.一个正数的两个平方根分别为a-1,2a+7, .(a-1)+(2a+7)=0, 解得a=-2. 则2(a2-a+1)-(a2-2a)+3=2a2-2a+2-a2+2a+3=a2+5, 当a=-2时，原式=(-2)2+5=9.